天津市天津市蓟州区第一中学2025年中考数学统练（6月5日）

蓟州第一中学中考数学统练（6月5日） 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是(   ) A． B． C． D． 3．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 4．“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（    ） A． B． C． D． 5．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 6．计算2cos60-sin45+cot60的结果是（） A． B． C． D． 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．某同学的抽屉里有8本外观、大小完全相同的练习本，其中数学练习本和语文练习本各有3本，英语练习本有2本，现从中随机抽出一本练习本是数学练习本的概率是 ． 14．计算: . 15．计算的结果等于 ． 16．请写出一个图象经过第二、三、四象限且与轴交于点的一次函数的解析式 ． 17．如图，点是正方形边上一点，是线段上一点，过点A作的垂线交延长线于点，且，连接，．    （1）的度数为 °； （2）若，，则的值为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，以为直径的半圆的圆心为O． （Ⅰ）的长等于 ； （Ⅱ）设P是半圆上的动点，Q是线段的中点．当的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 19．解不等式组组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 20．某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． (1)本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________； (2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 21．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA． （1）若，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，交AD于点E，，求（用含的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若，，求线段DE的长． 22．“天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学乘坐摩天轮时发现，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得C处的俯角是66°，测得A处俯角63.6°，已知摩天轮最低点A距离地面的高度AC=10米，求小宇此时所在B处距离地面高度．（参考数据：tan63.6°≈2.0，tan66°≈2.25．） 23．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时7分钟同时到达点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离（米）与他们的行走时间（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）、两点之间的距离是__________米，甲机器人前2分钟的速度为___________米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段所在直线的函数解析式； （3）若线段轴，则此段时间，甲机器人的速度为_________米/分； （4）直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 24．已知，在平面直角坐标系内有四边形，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中，且点B坐标为，y轴上有一点D，将沿折叠，点A的对应点E在x轴上． (1)如图1，求线段的长度和点D的坐标； (2)将四边形沿x轴向右平移，得到四边形形，点A，O，E，B的对应点分别为．当点到达点C时停止平移．设，四边形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 25．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 答案与解析 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2．任何数与0相乘都得0；3．多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正号；当负因数的个数为奇数个时，积的符号为负号；并把绝对值相乘．掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 2．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可. 【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示： ， 故选A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置. 3．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】估算确定出的范围，即可求出所求． 【详解】解：∵4＜5＜9， ，即， 则在和1之间， 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数的估算方法是解本题的关键． 4．“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解定义，掌握图形结合分析思想是解题的关键． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选： D． 5．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：1000亿． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 6．计算2cos60-sin45+cot60的结果是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把特殊角的函数值代入计算即可． 【详解】解：2cos60-sin45+cot60 故选B． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值是计算，理解并掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把第二个分式变形后根据同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解：原式= = = =． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点，位于第四象限内，点位于第二象限内， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意得： ， 故选：A． 10．如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：由作法得平分 ， ∵平分， ， ． 故选：C． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即①错误；由旋转可知，由于，即推出，即②错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即③错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即④正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故①错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵ 为钝角， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵DE+DC＞CE， ∴，故③错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 12．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 二、填空题 13．某同学的抽屉里有8本外观、大小完全相同的练习本，其中数学练习本和语文练习本各有3本，英语练习本有2本，现从中随机抽出一本练习本是数学练习本的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，据此即可解答． 【详解】解：∵一共有8本练习本，数学练习本有3本， ∴从中随机抽出一本练习本是数学练习本的概率， 故答案为：． 14．计算: . 【答案】-x3. 【分析】根据同底数幂除法的法则进行计算. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查同底数幂的除法，熟记同底数幂的除法法则是关键. 15．计算的结果等于 ． 【答案】3 【分析】利用平方差公式解答． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．请写出一个图象经过第二、三、四象限且与轴交于点的一次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，根据题意确定出的取值范围和的值，即可求解． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， 又∵与轴交于点， 即， 故可写出一个满足，的一次函数解析式为； 故答案为：（答案不唯一）． 17．如图，点是正方形边上一点，是线段上一点，过点A作的垂线交延长线于点，且，连接，．    （1）的度数为 °； （2）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据四边形是正方形得到，，结合，得到，即可得到，结合角度关系即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，易得，根据勾股定理即可求出、结合三角函数即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵，由勾股定理可求得， ∵，由勾股定理可求得， ∵， ∴， ∴，在中，， ∴， 故答空1答案为：，故答空2答案为：；    【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理全等三角形判定与性质，解直角三角形形，解题的关键作出辅助线及根据正方形的性质的到线段角度关系． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，以为直径的半圆的圆心为O． （Ⅰ）的长等于 ； （Ⅱ）设P是半圆上的动点，Q是线段的中点．当的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理求解即可； （2）Q是线段的中点，要使的面积最大，则面积最大，找到平行于的切线与的交点即可，作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【详解】（Ⅰ） （Ⅱ）如图， ①根据网格的特点找到点，则，，同理作正方形， ②取格点，，则为的中点， ③连接交于点，点即为所求 ④作，则四边形是矩形，连接，交于点，则点即为所求 故答案为：作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的性质与判定，圆的性质，找到点是解题的关键． 三、解答题 19．解不等式组组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1)x＞-1 (2)x<2 (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式得到x＞-1和x<2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得x＞-1； 故答案为：x＞-1； （2）解：解不等式②，得x<2； 故答案为：x<2； （3）解：在数轴上表示出来如图所示： ； （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20．某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． (1)本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________； (2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数； (3)根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 【答案】(1)50，34； (2)平均数是3.3，众数是4，中位数是3； (3)全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=即可得到答案； （2）根据平均数、众数和中位数的概念代入数据进行求解即可； （3）先求出参加活动的次数大于3的学生的占比，再乘以总人数即可． 【详解】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=； 故答案为：50，34． （2）观察条形统计图，， ∴这组数据的平均数是3.3． ∵在这组数据中，4出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4． ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间位置的两个数都是3， ∴， ∴这组数据的中位数是3． （3）∵在统计的这组样本数据中，参加活动的次数大于3的学生人数占36%+10%=46%， ∴估计全校学生中参加活动的次数大于3的人数约占46%， ∴； ∴全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图数据的分析，用样本估计总体，平均数、中位数和众数的概念，利用数形结合的思想解答是解决本题的关键． 21．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA． （1）若，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，交AD于点E，，求（用含的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，若，，求线段DE的长． 【答案】（1）35°；（2）；（3） 【分析】（1）连结AD，BC，可得，再由C为弧ABD中点，可得到．从而得到，再由AB为圆O直径，得到 ，即可求解； （2）连BC，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）连接CO并延长交AD于F，由垂径定理推论，可得，．再由（2），，从而得到，进而得到 ，再由勾股定理可得，再由．可得，解得，即可求解． 【详解】解：（1）连结AD，BC， ∵， ∴， ∵C为弧ABD中点， ∴ ， ∴． ∴， ∵AB为圆O直径， ∴ ， ∴ ； （2）连BC， ∵点C为弧ABD中点， ∴ ， ∴， ∵AB为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）连接CO并延长交AD于F， ∵C为弧ABD中点， ∴，． 由（2）， ∴， 由∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ， ∴ , ∴ ∵，， ∴． ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．“天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学乘坐摩天轮时发现，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得C处的俯角是66°，测得A处俯角63.6°，已知摩天轮最低点A距离地面的高度AC=10米，求小宇此时所在B处距离地面高度．（参考数据：tan63.6°≈2.0，tan66°≈2.25．） 【答案】小宇此时所在B处距离地面的高度为90米． 【分析】延长CA交BD于E，在Rt△CBE和在Rt△ABE中根据三角函数的定义得到AE=BE•tan63.6°，CE=BE•tan66°，由AC=10可得BE•tan66°-BE•tan63.6°=10米，进而求出BE=40米，AE=80米，即可求得CE． 【详解】解：延长CA交过B点的水平线BD于点E， 根据题意，∠CEB=90°，∠EBC=66°，∠EBA=63.6°，AC=10米． 在Rt△CBE中，∠EBC=66°，， 即CE=BE•tan66°， 在Rt△ABE中，∠EBA=63.6°，， 即AE=BE•tan63.6°， ∵AC=CE-AE，AC=10米， ∴BE•tan66°-BE•tan63.6°=10米， ∴BE==40（米）， ∴AE=BE•tan63.6°≈40×2=80（米）， ∴CE=AE+AD≈90（米）． 答：小宇此时所在B处距离地面的高度为90米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，读懂题意，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键． 23．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时7分钟同时到达点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离（米）与他们的行走时间（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）、两点之间的距离是__________米，甲机器人前2分钟的速度为___________米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段所在直线的函数解析式； （3）若线段轴，则此段时间，甲机器人的速度为_________米/分； （4）直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 【答案】（1）70，95；（2）；（3）60；（4）或或． 【分析】（1）根据函数图像即可求解； （2）依题意求出F点坐标，根据待定系数法即可求解； （3）根据y的应用及线段轴即可得到此时甲乙速度相同； （4）根据题意分0＜t＜2,2≤t＜3,4≤t＜7，分别根据速度与路程的关系及函数的特点即可求解． 【详解】解：（1）、两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为（70+2×60）÷2=95米/分； 故答案为：70；95； （2）当t=3时，甲、乙两机器人之间的距离=（3-2）×（95-60）=35米， ∴F（3,35） 设线段的解析式为y=kx+b 把E（2,0），F（3,35）代入y=kx+b（k≠0） 得 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）若线段轴，则此段时间甲乙方向相同，甲机器人的速度等于乙的速度，故为60米/分； 故答案为：60； （4）设t时，两机器人出发多长时间相距28米 ①0＜t＜2时，依题意可得60t+70-95t=28 解得t=； ②2≤t＜3, 依题意可得35t-70=28 解得t= ③4≤t＜7，依题意得G（4,35），H（7,0） 设直线GH的解析式为y=mx+n（m≠0） 把G（4,35），H（7,0）代入得 解得 ∴直线GH的解析式为y=-x+． 令y=28，解-x+=28 ∴t=x= 综上，t=或或时，两机器人出发多长时间相距28米． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、待定系数法的应用． 24．已知，在平面直角坐标系内有四边形，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中，且点B坐标为，y轴上有一点D，将沿折叠，点A的对应点E在x轴上． (1)如图1，求线段的长度和点D的坐标； (2)将四边形沿x轴向右平移，得到四边形形，点A，O，E，B的对应点分别为．当点到达点C时停止平移．设，四边形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①；② 【分析】（1）过点作，易知四边形为矩形，可得，，，由勾股定理可求得，由折叠可知，，，由等腰三角形的性质可得，可得，设，则，由勾股定理，求解即可得到点的坐标； （2）分当，当，当，进行讨论求出与的函数关系式；①在所求的函数关系式中找到四边形与重叠部分的图形为五边形即可求解；②根据函数关系式结合求每段函数的的取值范围进行讨论即可． 【详解】（1）过点作， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵点的坐标为，， ∴，，， 由勾股定理可得：， 由折叠可知，，， ∴， 又∵， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴点的坐标为； （2）由（1）可知，，则， ∵，，， ∴，， 当时，则由平移可知，，，，则， 当，此时，如图，不与相交，与交于点，过作， ∴， 则， 此时四边形与重叠部分的图形为四边形， 重叠部分的面积， 即：； 当，此时，如图，与相交于点，与交于点，过作，同上， ，则， 此时四边形与重叠部分的图形为五边形， 重叠部分的面积 即：； 当，此时，如图，与相交于点，与交于点，过作，同上， 则，， 此时四边形与重叠部分的图形为四边形， 重叠部分的面积 即：； 综上：， ①由上可知，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，； ②（i）当时，， ∴当时，随的增大而增大， 当时，，当时，， 即：； （ii）当时，， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，，当时，，当时，， 即：； （iii）当时，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， 即：； 综上：当时，． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，翻折与勾股定理，二次函数与动态几何，数形结合，分情况讨论是解决问题的关键． 25．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先根据对称性，求出，，，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点G作轴于点H，根据，得出，证明，得出，设，则，，得出，求出结果即可； （3）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （4）先求出新抛物线的解析式为：，得出新抛物线的对称轴为直线，连接，，则交y轴于点，先证明四边形为平行四边形，得出，说明当最小时，最小，最小，根据两点之间线段最短，得出当点M在点处时，最小，即最小值为的长，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，与x轴交于点A，，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴点， 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点G作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； （3）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为， 当时，如图所示： 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点H的坐标为； 当时，过点H作轴于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴此时点H的坐标为； 综上分析可知：点H的坐标为或； （4）解：， ∵， ∴将抛物线射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为：， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， 连接，，则交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵点N在直线上，轴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在点处时，最小， 即最小值为的长， ∵点G为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 试卷第36页，共37页 试卷第35页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $$