专题01 集合与常用逻辑用语（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1：集合的交并补运算 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、 1、集合与充分必要条件相关内容是每年高考的必考板块。在题型方面，主要以选择题形式呈现。就考查情况而言，其内容、频率、题型及难度都较为稳定，未出现较大波动。 2、该部分重点聚焦于集合间的基本运算，其中集合的交、并、补运算是考查的核心要点。考生需熟练掌握这些运算规则，能够准确判断不同集合在交、并、补运算下的结果。此外，充分必要条件的判断也是重要考查内容。考生要清晰理解充分条件、必要条件以及充要条件的概念，并能依据具体条件关系进行准确判断。备考时，考生应针对这些重点内容加强练习，提升解题能力，以从容应对高考相关题目。 考点2：充分必要条件的判断 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、 考点3：新定义问题 （5年2考） 2025北京卷、2024北京卷 考点01 集合的交并补运算 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 充分必要条件的判断 6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 新定义问题 11．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·北京·三模）设是非零平面向量， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·北京丰台·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 16．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 18．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 19．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1：集合的交并补运算 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、 1、集合与充分必要条件相关内容是每年高考的必考板块。在题型方面，主要以选择题形式呈现。就考查情况而言，其内容、频率、题型及难度都较为稳定，未出现较大波动。 2、该部分重点聚焦于集合间的基本运算，其中集合的交、并、补运算是考查的核心要点。考生需熟练掌握这些运算规则，能够准确判断不同集合在交、并、补运算下的结果。此外，充分必要条件的判断也是重要考查内容。考生要清晰理解充分条件、必要条件以及充要条件的概念，并能依据具体条件关系进行准确判断。备考时，考生应针对这些重点内容加强练习，提升解题能力，以从容应对高考相关题目。 考点2：充分必要条件的判断 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、 考点3：新定义问题 （5年2考） 2025北京卷、2024北京卷 考点01 集合的交并补运算 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 5．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：. 故选：B. 考点02 充分必要条件的判断 6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 9．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 10．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 考点03 新定义问题 11．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 12．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【解析】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1．（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 2．（2025·北京·三模）设是非零平面向量， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据题意，若，则与共线， 不防假设，则对任意的都有，进而成立， 故无法判定，充分性不成立， 若，则，所以， 故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·北京·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，, 则. 故选：A 4．（2025·北京朝阳·二模）已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于集合，，化简得，所以. 所以集合. 对于集合，，根据指数函数的性质可得. 所以集合. 所以. 故选：A. 5．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为或， 又， 所以. 故选：A. 6．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 7．（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则， 又，所以. 故选：B. 8．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 10．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则必有， 由，则，可得， 又，根据基本不等式有， 若且，则有，即是的充分条件， 若，则，此时满足，但不成立， 所以是的非必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以， 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 12．（2025·北京丰台·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， 则. 故选：A. 13．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B 14．（2025·北京东城·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且， 则. 故选：A 15．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解析】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 16．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①代入可得符合题意，故①正确； ∵对恒过点， 当时，，当时，，当时，， 由此我们可知的点集是由曲线绕A点往上直到点扫过的区域，如图： ∴，故②正确； ，，，故③错误； 有图易得，故④正确. 故选：C. 17．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【解析】（1）由题意可得，， 所以. （2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使越大，则可考虑一组数据更集中， 一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使取到最大值，对应极端情况，取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则， 下证：的最大值为2： 法1：（反证法）假设，则，不妨设， 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去；若： 因为，所以，可得 则，与性质②矛盾，舍去； 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去． 所以，同理可得，所以. 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法2：（一般性证明）设，不妨设， 则， 所以，（7分） 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法3：（枚举法） 取为1，2，3，则只能为1，2，3，此时； 取为1，2，4，则只能为1，2，4，此时； 取为1，2，5，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，4，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，5，则可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时或2； 取为1，4，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，3，4，则可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时或2； 取为2，3，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，4，5，则只能为2，4，5，此时； 取为3，4，5，则只能为3，4，5，此时． 综上，的最大值为2． （ii）考虑极端情况，显然， 若为偶数，取为， 取为 则 解得成立； 若为奇数，取为， 取为 则 解得，与为奇数矛盾，舍去， 所以的最小值为30， 当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到． 证明： 记， 则， ，设 则有，其中分别表示集合的元素个数 由（i）可得， 所以（＊） 又因为，所以，进一步有， 将代入（＊）中可得 ， 再次代入（＊）中可得，解得， 另一方面，当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时． 所以的最小值为30． 18．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【解析】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 19．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【解析】（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个， ∴或． 当时，；当时，． 所以的所有可能取值为2，3． （2）假设中不存在等于1的项,则． 又，所以． 当时，由，则存在，使得． 所以，与假设矛盾． 当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等. ①若中有两项为2，一项为3， 则，与假设矛盾． ②若中有两项为2，一项为， 则，与假设矛盾． ③若中有一项为2，两项为3， 则，与假设矛盾． ④若中有一项为2，两项为， 则，矛盾． 综上，假设不成立，所以中存在等于1的项． （3）假设均为有限集合， 当时，, 则当时，（*） 令,下证当时，. 否则假设，则,与（*）矛盾. ∴当时，, ∵已知数列是无穷正整数数列， 所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾， ∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$