精品解析：吉林省延吉市2024～2025学年下学期九年级期中测试数学试题

九年期中测试数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则“□”中应填写的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 9. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 10. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 11. 如图，长方形纸片ABCD，点E为边AB上一点，连接CE、DE．将∠AED沿ED对折，点A落在点A′处；将∠BEC沿EC对折，点B落在点B′处．若∠A′EB′＝α．下列结论：①若∠AED＝48°，∠BEC＝58°，则∠CED＝72°；②∠AED+∠BEC﹣∠CED＝α；③若∠CEA′＝2∠DEB′＝α，则∠DEB′＝15°；④若A′E平分∠CEB′，则∠DEB′＝90°﹣α．其中一定正确的有 _____（填序号即可）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 如图，，，，．求证：． 14. 五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 16. 某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? （3）请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 17. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 18. 北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 20. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 21. 如图，在菱形中，，．动点从出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动．过点作交边或于点，在的左侧作，使，，设点的运动时间为（秒）． （1）直接写出的长度；（用含的代数式来表示） （2）若点落在内部，求的取值范围； （3）求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值； （3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围； ②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年期中测试数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则“□”中应填写的运算符号是（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算．根据有理数的加减乘除运算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 4. 小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据和都是等腰三角形且，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】解：，， 和都是等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：． 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，结合勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：画出图形，如图所示： 由勾股定理可得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减；先通分再相减即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式等于零列关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 9. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．熟练掌握性质是解题的关键； 根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆． 故答案为：两点确定一条直线． 10. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得． 【详解】解：的长为：， 故答案为：． 11. 如图，长方形纸片ABCD，点E为边AB上一点，连接CE、DE．将∠AED沿ED对折，点A落在点A′处；将∠BEC沿EC对折，点B落在点B′处．若∠A′EB′＝α．下列结论：①若∠AED＝48°，∠BEC＝58°，则∠CED＝72°；②∠AED+∠BEC﹣∠CED＝α；③若∠CEA′＝2∠DEB′＝α，则∠DEB′＝15°；④若A′E平分∠CEB′，则∠DEB′＝90°﹣α．其中一定正确的有 _____（填序号即可）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用平角定义计算∠CED即可判断①错误；根据折叠得到∠AED＝∠A′ED，∠BEC＝∠B′EC，推出∠A′ED+∠B′EC﹣∠CED＝α，即可判断②正确；求出∠CED＝2.5α，得到∠AED+∠BEC＝3.5α，列得2.5α+3.5α＝180°，求出α＝30°，即可判断③正确；根据角平分线证得∠BEC＝∠B′EC＝2α，求出∠BEC+∠CEA′＝3α，得到∠AEA′＝2∠DEA′＝180°﹣3α，即可判断④错误． 【详解】解：①若∠AED＝48°，∠BEC＝58°， 则∠CED＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝74°，故①错误； ②由折叠可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEC＝∠B′EC， ∵∠A′ED+∠B′EC﹣∠CED＝α， ∴∠AED+∠BEC﹣∠CED＝α；故②正确； ③若∠CEA′＝2∠DEB′＝α， 则∠CED＝2.5α， ∴∠AED+∠BEC＝3.5α， ∴2.5α+3.5α＝180°，解得α＝30°， ∴∠DEB′＝15°；故③正确； ④若A′E平分∠CEB′， 则∠B′EA′＝CEA′＝α， ∴∠BEC＝∠B′EC＝2α， ∴∠BEC+∠CEA′＝3α， ∴∠AEA′＝2∠DEA′＝180°﹣3α， ∴∠A′ED＝90°﹣α 则∠DEB′＝∠A′ED﹣∠A′EB′＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α， 故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】此题考查了折叠的性质，角平分线的性质，角度的和差计算，正确理解折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，先利用平方差公式、去括号法则计算，然后合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 如图，，，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴． ∴． ∵ ∴，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，由为公共边，利用可得出，利用全等三角形的对应角相等得到，再利用同角的余角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得出与平行． 【详解】略 14. 五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） 【答案】参加游玩的家长5人，学生4人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是关键；设参加游玩的家长为x人，学生为y人，根据人数共9人，购票930元列出方程组，求解即可． 【详解】解：设参加游玩的家长为x人，学生为y人， ∴， 解得． 答：参加游玩的家长5人，学生4人． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点作图即可； （2）过点D作的垂线与的交点即为所求； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：过点D作的垂线，与相交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：取格点G，连接，交于点M， 由图可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查作图的应用与设计、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 16. 某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? （3）请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 （3）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的增减性解题即可； （3）根据实际情况分析解答即可． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 根据图象，得， 所以，函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴p随V的增大而减小． ∴要使气球不会爆炸，． ∴气体的体积应不小于． 【小问3详解】 解：由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 17. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 【答案】（1）69737 （2）8424 （3）＜ （4）① 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与折线图中获取信息，中位数的含义，方差的含义，理解统计图体现的信息是解本题的关键． （1）先把数据按照从小到大排序，再结合中位数的含义可得答案； （2）利用总额减去商品零售额可得答案； （3）根据折线图可得数据的波动幅度可得答案； （4）根据折线图与条形图逐一分析即可． 【小问1详解】 解：将我国社会消费品零售总额按从小到大的顺序排列为52130，66064，69737，74426，77067，则最中间的数据为第3个数据，即中位数是69737亿元， 【小问2详解】 2023年上半年我国的餐饮收入为：（亿元）． 【小问3详解】 由折线统计图可以看出2019年上半年﹣2023年上半年餐饮收入增长率的波动比较大，故方差也比较大． ∴． 【小问4详解】 从条形统计图可以看出从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加，故①正确． 2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，说明2020年上半年的餐饮收入和商品零售额比上年减少，并不是小于0，故②不正确． 2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，说明餐饮收入和商品零售额增长速度减慢，但仍在增加，并不是逐年减少．故③不正确． 故答案为：①． 18. 北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切函数得，可求，由等腰三角形的性质得，即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：角楼的高度为． 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】（1） 描点并连线如图所示： 这些点分布在同一直线上 （2），弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 （3）购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； 【小问3详解】 设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 20. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由； （2）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积． 【答案】（1） ，，理由： 延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，； （2） ， 证明：设，交于， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即：； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，得出，延长交于点，进而求出，从而证明即可； （）设，交于，设，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到； （）由（）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 21. 如图，在菱形中，，．动点从出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动．过点作交边或于点，在的左侧作，使，，设点的运动时间为（秒）． （1）直接写出的长度；（用含的代数式来表示） （2）若点落在内部，求的取值范围； （3）求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式． 【答案】（1） （2）当时，点F落在的内部； （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情形：，，分别利用直角三角形求解即可； （2）如图2中，求出当点F落在边上时t的值，可得结论； （3）分三种情形：当时，重叠部分是，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠部分是，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，如图， ∵菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，； 当时，如图， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图，当点F落在边上时， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，当时，点F落在的内部； 【小问3详解】 解：当时，重叠部分是， ∴， 当时，重叠部分是四边形，如图， ； 当时，重叠部分为，如图， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值； （3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形． ①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围； ②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①或；②或或或． 【解析】 【分析】（1）将抛物线化为顶点式即可得解； （2）先求出，进而求得直线为，令得，解得，得，从而求得，从而即可得解； （3）①抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大得，都在对称轴的右侧时，分两种情况列不等式组求解；②当在的左边时，由题意得，，点的纵坐标为，则，，先求出，证明，得，求解即可，当在的左边时，由，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图， ∵顶点坐标为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 设直线为， 把，代入得， 解得， ∴直线为， 令得，解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图， ∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴， 解得； 如图， ∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴， 解得； 综上：或； ②如图，当在的左边时， 由题意得，，点的纵坐标为， ∴，， ∵直线分平行四边形的面积为两部分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即， 解得 解得或． 如图，当在的右边时， 由题意得，，点的纵坐标为， ∴，， ∵直线分平行四边形的面积为两部分， ∴， ∴， 此时，，抛物线的顶点在同一直线上， ∴， 解得：或． 综上：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，解不等式组，熟练掌握二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $