精品解析：江西省九江市修水县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级质量评估 数学 说明： 1．范围：下册第一章至第三章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式的变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，则 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是( ) A. B. C. D. 5. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点．若，则的度数是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2024个单位长度后得到的点的坐标为________． 8. 命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_______． 10. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为_______． 11. 如果关于的不等式组无解，则常数的取值范围是_______． 12. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组： 14. 一部电梯的额定载重量为1300千克．两人要用这部电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的质量分别为70千克和90千克，每箱货物的质量为60千克，他们每次最多可以搬运货物多少箱？ 15. 已知，关于，的二元一次方程组． （1）求该方程组的解（用含的式子表示）； （2）若该方程组的解是非负数，不大于3，求整数的最小值． 16. 已知，在中，，，．先将绕点逆时针旋转得到，如图1，再将沿射线的方向平移，使点落在线段上的点处，得到，如图2．试问： （1）在图1中，直线与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）在图2中，求的长． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中画出边的高； （2）在图2中画出线段，且． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： （1）直线的表达式及点C的坐标； （2）关于x的不等式的解集． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置均在小方格的格点上，每个小方格的边长为1． （1）画出关于y轴对称的并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． 20. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据有理数乘法（除法）法则可知：若（或），则或；若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集． 解：原不等式可化为：（i）或（ii）．由（i）得，；由（ii）得，， ∴原不等式的解集为或． 请你运用所学知识，结合上述材料回答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 22. 某公交公司计划通过政府采购的方式采购一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，4辆A型汽车与5辆B型汽车的采购价共计150万元，2辆A型汽车和1辆B型汽车的采购价共计60万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆的采购价； （2）该公司计划恰好用200万元购进A，B两种型号的汽车（两种型号的汽车均要购买），并使得购进的B型汽车的数量多于A型汽车的数量，请写出该公司的采购方案． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，点O是内一点，连接，，． （1）如图1，是等边三角形，且，，．将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 旋转角是____°； 线段的长为____； 求的度数； （2）如图2，是等腰直角三角形（），，，，求的长．小聪借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小聪的思路解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级质量评估 数学 说明： 1．范围：下册第一章至第三章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列不等式的变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意； B、若，且时，则，故该选项不正确，符合题意； C、若，当时，则，正确，故此选项不符合题意； D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集；根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1求得解集，进而将解集表示在数轴上，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则， 在数轴上表示，如图， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：如图，绕原点逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标为． 故选：D． 5. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．找出不在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可得，不在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值为， 不等式的解集是． 故选：A． 6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点．若，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，则．由题意得，则，进而可得． 【详解】解：由旋转得，，， ． ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2024个单位长度后得到的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 再向下平移2024个单位长度后得到的点的坐标为． 故答案为：． 8. 命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________． 【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义写出即可． 【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”． 故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称横纵坐标都要互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为： 10. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转得到，，，即可得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 11. 如果关于的不等式组无解，则常数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组解集的表示方法，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 【详解】解：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 【答案】2或4或8 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组： 【答案】 （1），解集在数轴上表示如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解不等式①，得 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为 14. 一部电梯的额定载重量为1300千克．两人要用这部电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的质量分别为70千克和90千克，每箱货物的质量为60千克，他们每次最多可以搬运货物多少箱？ 【答案】每次最多可以搬运货物19箱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们每次可以搬运货物x箱，根据电梯的额定载重量为1300千克，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设每次可以搬运货物箱． 根据题意，得， 解得． 答：每次最多可以搬运货物19箱． 15. 已知，关于，的二元一次方程组． （1）求该方程组的解（用含的式子表示）； （2）若该方程组的解是非负数，不大于3，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）整数的最小值为0 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）加减消元法求解可得； （2）根据题意列出关于a的不等式组，解不等式组即可得出答案． 【小问1详解】 解： ，得，解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为 ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴整数的最小值为0． 16. 已知，在中，，，．先将绕点逆时针旋转得到，如图1，再将沿射线的方向平移，使点落在线段上的点处，得到，如图2．试问： （1）在图1中，直线与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）在图2中，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 如图，延长交于点，交于点． 依题意可知，， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、含30度角的直角三角形、平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，可得，则，进而可得． （2）由旋转得，由题意得，则，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，． ， ， ， 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中画出边的高； （2）在图2中画出线段，且． 【答案】（1）如图所示， （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点G、H，连接交于O，连接交于T，连接并延长，交于D，则即为所求； （2）取格点M、E，连接交于F，则即为所求． 【小问1详解】 解：取格点G、H，连接交于O，连接交于T，连接并延长，交于D，则即为所求； 可证明，四边形是矩形，则点O是中点， 则，再由可得点T为的三条高的交点； 【小问2详解】 解：取格点M、E，连接交于F，则即为所求； 可证明，， 则由等边对等角和平行线的性质可推出，则． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： （1）直线的表达式及点C的坐标； （2）关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数的解析式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；解两个函数解析式组成方程组即可求解； （2）关于x的不等式的解集就是函数的图象在上边的部分自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：直线经点，， ∴， 解得， 直线的表达式为． 直线与直线相交于点， ， 解得， 点． 【小问2详解】 解：根据图象可得，关于的不等式的解集为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的位置均在小方格的格点上，每个小方格的边长为1． （1）画出关于y轴对称的并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2） 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）边的长为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）分两种情况讨论：①当为直角，②当为直角，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中， ∴边的长为． 【小问2详解】 解：由题意知， ①当为直角时，如图1， 点P与点C重合，， 即； ②当为直角时，如图2，，，． 在中，， 在中，， 即，解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据有理数乘法（除法）法则可知：若（或），则或；若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集． 解：原不等式可化为：（i）或（ii）．由（i）得，；由（ii）得，， ∴原不等式的解集为或． 请你运用所学知识，结合上述材料回答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键． （1）将化为两个不等式组，①或②求解，即可解题； （2）化为两个不等式组，①或②求解，即可解题． 【小问1详解】 解：原不等式可化为：①或②． 由①得，无解；由②得，， ∴原不等式的解集为． 【小问2详解】 解：原不等式可化为：①或②． 由①得，； 由②得，； ∴原不等式的解集为或． 22. 某公交公司计划通过政府采购的方式采购一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，4辆A型汽车与5辆B型汽车的采购价共计150万元，2辆A型汽车和1辆B型汽车的采购价共计60万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆的采购价； （2）该公司计划恰好用200万元购进A，B两种型号的汽车（两种型号的汽车均要购买），并使得购进的B型汽车的数量多于A型汽车的数量，请写出该公司的采购方案． 【答案】（1）A型汽车每辆的采购价为25万元，B型汽车每辆的采购价为10万元 （2）有两种采购方案：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；购进A型汽车4辆，B型汽车10辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键。 （1）设A型汽车每辆的采购价为x万元，B型汽车每辆的采购价为y万元，根据4辆A型汽车与5辆B型汽车的采购价共计150万元，2辆A型汽车和1辆B型汽车的采购价共计60万元建立方程组求解即可； （2）设计划购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据购进的B型汽车的数量多于A型汽车的数量列出不等式求出m的取值范围即可得到答案。 【小问1详解】 解；设A型汽车每辆的采购价为x万元，B型汽车每辆的采购价为y万元， 由题意得 解得 答：A型汽车每辆的采购价为25万元，B型汽车每辆的采购价为10万元． 【小问2详解】 解：设计划购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴m为偶数． 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴有两种采购方案：①购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；②购进A型汽车4辆，B型汽车10辆． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，点O是内一点，连接，，． （1）如图1，是等边三角形，且，，．将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 旋转角是____°； 线段的长为____； 求的度数； （2）如图2，是等腰直角三角形（），，，，求的长．小聪借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小聪的思路解答． 【答案】（1）；； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形旋转性质、等边三角形性质、直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质对应的边角之间关系是解题的关键． （1）①由题意可知旋转角是结合是等边三角形可得旋转角为； ②由旋转的性质可知，由此可得是等边三角形，从而可得； ③由旋转的性质可得，结合可证得是直角三角形，，结合是等边三角形可得； （2）由旋转的性质易得，，，由此可得是等腰直角三角形，从而可得，则，这样在中，由勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：（1）①由题意可知，旋转角是， ∵是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为； 故答案为： ②由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：8 ③∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴， 在中，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：． 理由如下： ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $