2.1 二次函数 教学设计 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

该初中数学教学设计基于新课标“问题情境-建立模型-求解验证”思路，系统梳理二次函数概念、表达式及实际应用。通过果园产量、银行储蓄等情境，结合一次函数对比，构建“实际问题-变量关系-函数模型”知识网络，串联自变量因变量识别、表达式书写等关键知识点。 其特色在于“情境探究-例题精讲-分层巩固”复习模式，如果园增种问题从变量分析到函数建模，递进变式为共享单车增长率问题，培养数学抽象与模型观念。课前回顾旧知、课中互动问答、课后梯度练习实现分层教学，配合教学反思中的学情评价，助力学生巩固建模能力，教师提升复习针对性。

初中数学北师大版（2012）九年级下册 1 二次函数 课标分析 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本课例通过果园产量、银行储蓄等现实情境，引导学生理解二次函数的概念及其表示方法（），符合"函数"领域"探索简单实例中的数量关系和变化规律"的课程目标。教材设置"做一做""想一想"等探究活动，体现"问题情境-建立模型-求解验证"的教学思路，培养学生用二次函数刻画变量关系的能力，达成"结合具体情境体会函数意义"的学业要求。例题设计由浅入深，从具体问题抽象出二次函数模型，符合第三学段"能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系"的核心素养要求。 教材分析 本节课通过橙子树增种问题、银行储蓄问题和两数之积等问题，引导学生从实际情境中抽象出变量之间的二次函数关系，认识形如（）的函数表达式，并理解其结构特征。教学过程以问题驱动，通过设问、探究、归纳逐步建立二次函数概念。这些内容与学生已有的代数、方程、函数观念紧密相连，特别是与一次函数的对比学习有助于深化对函数本质的理解。本节课的作用在于帮助学生初步建立二次函数的概念模型，提升从现实问题中提炼数学关系的能力，发展符号意识和函数思想，为后续研究二次函数的图象与性质、解决最优化等实际问题奠定基础，同时增强数学建模和逻辑推理能力。 学情分析 九年级学生已学习过一次函数、整式的乘法及一元二次方程等基础知识，具备一定的代数运算和实际问题建模能力，能够理解变量之间的对应关系，这个年龄段的学生抽象思维逐步发展，能通过具体情境归纳数量关系，但对函数概念的理解仍需借助直观实例支撑，本节课要求学生从实际问题中识别自变量与因变量，建立形如的函数模型，理解二次函数的基本形式及其现实意义，帮助学生实现从“数”到“式”再到“函数”的过渡，提升数学建模能力，同时通过增种树木、储蓄利息、两数之积等问题情境激发探究兴趣，为后续学习二次函数的图象与性质奠定基础。 教学目标 1. 能识别实际问题中的变量关系，理解自变量与因变量的意义，掌握二次函数的基本概念，提升数学抽象与模型观念核心素养，增强从现实情境中提炼数学问题的能力。 2. 会根据数量关系写出二次函数表达式，如总产量、本息和、面积等，发展符号意识与数学建模能力，提高将实际问题转化为函数关系的能力。 3. 理解（）是二次函数的一般形式，能判断一个函数是否为二次函数，强化代数表达的准确性，培养逻辑思维和数学语言表达能力。 4. 初步认识自变量取值范围受实际意义限制，体会函数中变量间的依赖关系，发展数学建模意识和实际问题分析能力。 重点难点 重点：理解二次函数的概念，能根据实际问题列出二次函数关系式。 难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，确定自变量取值范围。 课前任务 1.知识回顾： 上节课我们学习了函数相关概念，请回忆什么是函数、自变量与因变量。并思考一次函数的表达式是什么样的。通过回顾巩固函数基础知识。 2.预习教材： 阅读教材关于二次函数的内容，了解橙子树种植问题、银行储蓄本息和等实例，明确二次函数（）的形式，将重点及疑问记录在预习笔记上。 3.问题思考： 生活中还有哪些类似橙子树产量的问题，可以用二次函数表示？比如销售利润问题，尝试思考如何设变量，列出类似二次函数的表达式，课上交流。 课堂导入 同学们，我们来看这样一个生活场景。小明想用一段长为 20 米的篱笆围成一个矩形花园。在这个过程中，矩形的长和宽是会变化的，花园的面积也会跟着改变。这里面哪些是变量？哪个又是自变量，哪个是因变量呢？假设矩形的长为米，那宽是多少，面积又该怎么表示呢？其实，生活中有很多类似的情况，变量之间存在着特定的关系。就像我们今天要学习的二次函数，它在解决这类变量关系问题中有着重要作用。让我们一起走进二次函数的世界，去探索其中的奥秘吧。 二次函数 探究新知 （一）知识精讲让我们通过一个实际问题来认识二次函数。观察果园橙子产量的问题： 在这个问题中，我们发现有多个变量在变化：橙子树的棵数、每棵树结的橙子数、果园的总产量。其中，增种的橙子树数量x是自变量，而果园的总产量y是因变量。通过分析，我们得到了y与x之间的关系式： 再看银行储蓄的例子，设年利率为x，100元存款两年后的本息和y可以表示为： 从这些例子中，我们可以归纳出二次函数的一般形式：如果两个变量x，y之间的关系可以表示为（a、b、c为常数，且），那么y就是x的二次函数。我们熟悉的很多关系都是二次函数，比如正方形面积，圆面积等。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在果园橙子产量的例子中，如果增种10棵橙子树，那么果园的总产量会是多少？这个结果比原来增加了还是减少了？ 学生回答：将x=10代入函数式，得到y=60500个橙子，比原来的60000个增加了500个。 教师追问：很好！那么如果继续增加种植数量，比如增种20棵，产量会怎样变化呢？ 学生思考后回答：代入x=20，得到y=60000个，和原来一样。这说明增种数量不是越多越好，需要找到一个最佳值。 （三）设计意图 通过实际生活中的具体问题引入二次函数的概念，帮助学生建立数学与生活的联系，培养数学建模能力。通过具体数值的计算和比较，让学生直观感受二次函数的变化规律，发展数据分析观念。在师生互动中设置递进式问题，引导学生深入思考函数的变化特点，培养逻辑推理能力。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，体现了数学来源于生活又服务于生活的价值取向。 新知应用 例1题目：果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （2）假设果园增种棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ （3）如果果园橙子的总产量为个，写出与之间的关系式。 解答： （1）问题中的变量包括：增种的橙子树数量、橙子树总数、每棵树结的橙子数、橙子总产量。 · 自变量是增种的橙子树数量，记作，因为我们主动决定种多少棵树。 · 因变量是橙子的总产量，记作，它随着种树数量的变化而变化。 （2）原来有100棵树，增种棵后： · 果园共有橙子树数量为：（棵）。 · 每多种1棵树，每棵树少结5个橙子，所以增种棵后，每棵树结的橙子数减少个。 · 原来每棵树结600个，现在每棵树结：（个）。 （3）总产量 = 树的总数 × 每棵树的产量 即： 我们来展开这个式子： 所以，与之间的关系式是： 总结： 1.题目考查内容 ① 实际情境中变量的识别（自变量与因变量）； ② 用代数式表示数量关系； ③ 多项式乘法运算及化简； ④ 建立二次函数模型。 2.题目求解要点 ① 明确哪个量是由我们控制改变的（自变量），哪个量随之变化（因变量）； ② 根据题意准确表达“总数”和“单产”的代数式； ③ 正确进行两个一次式的乘法运算，并整理成标准形式； ④ 得出的关系式形如，体现二次函数的实际背景。 例2题目：银行的储蓄利率是随时间变化的。设人民币一年定期储蓄的年利率是，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期转存。如果存款额是100元，写出两年后的本息和（元）的表达式。 解答： 这是一笔100元的一年定期存款，到期后自动转存一年，即连续存两次一年期。 第一年结束时： · 利息 = 本金 × 年利率 = · 本息和 = 第二年将这笔钱再次存入一年定期，所以第二年的本金是。 第二年结束时： · 本息和 = 上一年本息和 × = · 即： 我们可以将其展开： 所以，两年后的本息和与年利率之间的关系式是： 总结： 1.题目考查内容 ① 复利计算的基本原理（本息再投资）； ② 代数式的构建与平方公式的应用； ③ 从实际问题抽象出二次函数关系。 2.题目求解要点 ① 理解“自动转存”意味着复利操作，第二年利息基于第一年本息和； ② 正确使用公式：本息和 = 本金 × （此处）； ③ 展开并乘以100，得到标准二次函数形式； ④ 注意单位统一（利率为小数形式，如5%应写作0.05，但在表达式中保留字母即可）。 例3题目：（1）两数的和是20，设其中一个数是，写出这两数之积的表达式。 （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm²吗？可能是75 cm²吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？ 解答： （1）设一个数是，另一个数就是（因为两数和为20）。 它们的积为： 也可以写成： 这是一个关于的二次函数。 （2）已知矩形周长为40 cm。 设矩形的一边长为 cm，则另一边长为： 面积为： 所以面积与一边长的关系式是： 接下来判断面积是否可能为100 cm²或75 cm²： ① 若面积为100： 此时另一边也是，是正方形，面积可以达到100 cm²。 ② 若面积为75： 解这个方程： 有两个实根： 当一边为15 cm，另一边为5 cm时，面积为75 cm²，成立。 最大面积出现在顶点处： 二次函数开口向下，顶点横坐标为： 此时面积最大值为： 所以面积最大为100 cm²，不能超过100，但可以在0到100之间取值（不包括0）。 因此，面积可能是100 cm²、75 cm²，也可能是其他小于等于100的正值。 总结： 1.题目考查内容 ① 利用和或周长条件建立两个量之间的关系； ② 将乘积或面积表示为某一变量的二次函数； ③ 解二次方程判断可行性； ④ 理解二次函数在几何最值问题中的应用（如最大面积）。 2.题目求解要点 ① 设一个未知数后，利用和或周长表示另一个量； ② 正确列出乘积或面积的表达式，化简为标准二次函数形式； ③ 通过解方程验证特定值是否可达； ④ 利用二次函数图像性质（开口方向、顶点）分析最大值或取值范围。 新知巩固 题目： 第1题：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（　　） A． B． C． D． 解答： 我们来逐步分析这个问题。 已知： · 第一个月投放单车数量为 辆； · 第二、三两个月的月平均增长率为 ，即每个月的增长率都是 ； · 要求第三个月的投放量 与增长率 的函数关系。 第一步：理解“月平均增长率”的含义 如果每月的增长率为 ，则： · 第二个月的投放量 = 第一个月的投放量 × ，即 ； · 第三个月的投放量 = 第二个月的投放量 × ，即 。 因此，第三个月的投放量 。 第二步：对照选项 选项 B 正好是 ，符合我们的推导。 所以正确答案是 B。 总结： 1.题目考查内容 本题考查的是二次函数的实际应用背景，重点在于理解“增长率”模型下的数量变化规律，并建立变量之间的函数关系。属于“增长率问题”中常见的指数型增长模型，最终表达式为二次函数形式。 2.题目求解要点 · 明确增长率的概念：每期按比例增加，使用乘法关系 ； · 连续两期增长时，需连续乘以 ，得到 ； · 注意区分“线性增长”和“指数增长”，此处虽结果是二次函数，但本质是复利式增长。 3.同类型题目解题步骤 1. 找出初始量（如本金、初始数量等）； 2. 确定增长或减少的方式（是否为百分比增长）； 3. 若为连续增长率问题，用公式： 4. 展开后判断是否为二次函数（当期数为2时，通常为二次函数）； 5. 对照选项选择正确表达式。 板书设计 二次函数 二次函数定义 表达式：（是常数，） 举例：，等 议一议：自变量取值范围 教学反思 本节课围绕二次函数的概念展开，通过果园增产、储蓄本息、两数之积、矩形面积等实际问题引导学生抽象出形如（）的函数关系，进而归纳二次函数的定义，并探讨自变量取值范围。教学设计贴近生活，问题层层递进，注重数学建模与函数思想的渗透，符合课标“从实际情境中抽象数学概念”的要求。成功之处在于以具体问题驱动学生思考，有效实现了从特殊到一般的归纳过程，帮助学生理解二次函数的本质。不足之处在于对自变量取值范围的讨论（如增种树数需满足）引导不够深入，部分学生可能忽略实际意义下的限制条件；此外，“做一做”与“想一想”环节可增加学生互评，进一步提升思维参与度。 学科网（北京）股份有限公司 $