江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期期数学末模拟试卷3

镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数满足，则的虚部为 （ ） A. B. C. D. 2．的值为 （ ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，则 ( ) A． B． C． D． 4．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是 （ ） A． B． C．与相交 D． 5．在中，上一点，且，则 （ ） A． B． C． D． 6.已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为 （   ） A． B． C． D． 7． 在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若 的面积时，则的长为 （ ） A. B. C. D. 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 10.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是 （  ） A．存在点，，使得 B．异面直线与所成的角为60° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 11．关于函数，下列结论正确的是 （ ） A. 函数的最大值是3 B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则 C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为 D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，且，则 . 13．在平行四边形中，分别为边的中点，若,则 . 14．在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点，若异面直线MN，PB所成角的余弦值为，则PA的长为_____；三棱锥P－ABC的外接球表面积为__ ___． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，，. （1）当时，求的值. （2）若是纯虚数，求的值. （3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 17．记的内角的对边分别为，已知，点上， （1）证明：； （2）若 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由. 19．如图所示，是在沿海海面上相距海里的两个哨所，的正南方向，哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上，两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里. （1）求刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度方向上？（3）若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/小时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数满足，则的虚部为 （ C ） A. B. C. D. 2．的值为 （ A ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，则 ( B ) A． B． C． D． 4．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是 （ D ） A． B． C．与相交 D． 5．在中，上一点，且，则 （ C ） A． B． C． D． 6.已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为 （ D ） A． B． C． D． 【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如图所示，所以 ，则， 而棱台的高， 所以，则该三棱台的体积为.故选D. 7． 在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若 的面积时，则的长为 （ A ） A. B. C. D. 8．已知，，则（  A  ） A． B． C． D． 【详解】，. ，，，，， 又因为，所以， 则，所以 . .故选：A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是 （ ABD ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 【详解】由题意，所以，故A正确； 因为，所以在上的投影向量为，故B正确； ，即，所以或，故C错误；由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正确.故选:ABD. 10.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是（ BCD ） A．存在点，，使得 B．异面直线与所成的角为60° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【详解】连接.对于A选项，平面，平面，， 所以与是异面直线，所以A选项错误；对于B选项，，所以异面直线与所成的角为，由于三角形是等边三角形，所以，所以B选项正确； 对于C选项，设，根据正方体的性质可知， 由于平面，所以平面， 所以到平面的距离为. ，所以C选项正确. 对于D选项，设点到平面的距离为， ， ， 解得，所以D选项正确.故选BCD. 11．关于函数，下列结论正确的是 （ BCD ） A. 函数的最大值是3 B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则 C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为 D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为 【详解】因为 ，对于A：因为，所以，的最大值为，故A错误；对于B：，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，，在上单调递减，， 又方程在区间有两个不相等的实根，即与在区间有两个交点，，，故B正确；对于C：，为锐角，则，，，，， ，可得，当且仅当时等号成立，面积为，当且仅当时等号成立，的面积最大值为，故C正确； 对于D：，为锐角，则，，， 面积为，， 又，所以 ，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立，最小值为，故D正确．故选：BCD ． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，且，则 . 13．在平行四边形中，分别为边的中点，若,则 . 14．在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点，若异面直线MN，PB所成角的余弦值为，则PA的长为___. 2 __；三棱锥P－ABC的外接球表面积为__ ##___． 【详解】取BC中点E，连接NE，ME， 设，∴． 取AC中点F，连接NF、MF，则，因为PA⊥平面ABC，所以NF⊥平面ABC，由MF平面ABC，所以，所以 ∴，∴ 设底面△ABC外心为，由正弦定理得，过作⊥平面ABC，则三棱锥P—ABC外接球球心O一定在O1Q上，由，取PA中点R，则，∴ ∴外接球半径故答案为：2， 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，，. （1）当时，求的值. （2）若是纯虚数，求的值. （3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 15．解：（1）当时，可得； （2）由复数为纯虚数，可得，解得； （3）由， 可得在复平面上复数对应点， 因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是. 16．已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 16．解：（1）解：因为向量，，且， 则，，则，可得， 所以，，解得. （2）解：当时，，则， 因为与的夹角为锐角，则， 解得， 且与不共线，则，可得， 综上所述，实数的取值范围是. 17．记的内角的对边分别为，已知，点上， （1）证明：；（2）若 17．（1）证明：由正弦定理知： ， ， 即； （2）由（1）知， 在中，由余弦定理知， ， 在中，由余弦定理知， ， ， 化简得， ， 在中，由余弦定理知， ， 当 当， 综上所述， 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由. 18．解：（1）因为侧面是正三角形，是的中点， 所以， 因为，面面，面面面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点的中点，连接， 则且， 故， 因为面面，面面面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面所以， 则即为侧面与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱上是否存在点，当时，平面平面. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 19．如图所示，是在沿海海面上相距海里的两个哨所，的正南方向，哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上，两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里. （1）求刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度方向上？（3）若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/小时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 19．解：（1）根据点点的南偏东，在点的东北方向，可得 , 由正弦定理 结合， 可得, 即走私船与观测点的距离为海里； （2）由（1）的结论，， ， 由余弦定理， ，可知 刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上； （3）设小时缉私艇处追上走私船，则 ， 在中，由余弦定理得 ， 即化简得 ， 因此，缉私艇至少需要小时追上走私船. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$