专题08 直线、圆与圆锥曲线（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题08直线、圆与圆锥曲线 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1点到直线的距离 （5年1考） 2024天津卷：求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线； 1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。 2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。 3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。 考点2 直线与圆弦长问题 （5年4考） 2025天津卷：由直线和圆相交，根据弦长求半径 2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 2021天津卷：切线长 已知切线求参数； 考点3 双曲线标准方程 （5年2考） 2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程； 2023天津卷：求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程； 考点4 双曲线离心率 （5年2考） 2025天津卷：求离心率； 2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 双曲线中的通径问题； 考点5 抛物线标准方程 （5年1考） 2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线； 考点6 椭圆综合 （5年5考） 2025天津卷：求椭圆方程，圆锥曲线中的证明问题 2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围； 2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数； 2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形(四边形)的面积； 2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程； 考点01 点到直线的距离 1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【解析】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 考点02 直线与圆弦长问题 2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 3．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 5．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 【答案】5 【解析】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 考点03 双曲线标准方程 6．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 8．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. ． 考点04 双曲线离心率 9．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 10．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 考点05 抛物线标准方程 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 考点06 椭圆综合 12.（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 13．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 14．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 15．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 16．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 一、单选题 1．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得，故选D 2．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 3．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 4．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由双曲线的一条渐近线为直线l：有， 又，的一个焦点为到直线的距离为， 所以，所以双曲线， 设，由在上，所以， 由， 故选：B.    5．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意如图：    点，其中一条渐近线为即， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 因为为直角三角形，所以， 在中，， 即， ∵，∴，∴， 即的离心率为， 故选：D. 6．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】①当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 化简可得，由，则； ②当时，由，则， 由，则，所以， 即，由，，则， 由，则方程不成立.故选：D. 二、填空题 7．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 【答案】 【解析】 抛物线的焦点为，即圆心为， 且圆过点，则，所以圆的方程为. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长为. 8．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 9．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 10．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 【答案】3 【解析】圆C：的圆心，半径， 则点到直线的距离， 因此圆上的点到直线距离的最大值为，又， 所以的面积的最大值为. 11．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由题意知，焦点，则抛物线， 直线，设，， 联立消去y并整理得，则，所以 所以． 则以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 三、解答题 12．（2025·天津·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 13．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． (1)求椭圆C方程． (2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 【解】（1）设动点，则， 所以有， 因为，所以，即，当且仅当时取到最小值， 又因为，所以，当且仅当时取到最大值， 故椭圆C方程为； （2） 由图可知：，设，又由 则， 因为三点共线，可得， 则， 所以， 设直线方程为，与椭圆，消得： ， 设交点， 则有 由 ， 令，则，由，可知， 根据对勾函数可知：恒成立， 所以只需要解，因为， 所以， 解得， 而， 因为，所以， 即. 14．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 【解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得 则，故椭圆的方程是. （2）设直线，且 联立 则，即得，且， 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； 又，， 则 ， 为定值9. 15．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． (1)求椭圆离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 【解】（1）， 由条件可知，又， 可得：， 所以. （2）由（1）可知：， 椭圆方程为，设， 当时，直线，， 设夹角为，则， 由， 所以，所以， 所以， 当时，设 联立椭圆方程：，化简整理得： ， 由，整理得到：， ，， 故， 又， 所以， 由垂直关系易知直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以 由 ，解得：， 所以， 所以， 综上 16．（2025·天津和平·二模）已知椭圆（）的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右顶点分别为、，设点B为椭圆上的点（异于点、），直线与直线交于点C，以BC为直径的圆与直线交于另一点D（异于点B），直线CD与x轴相交于点E，试证明点E为定点并求出点E的坐标. 【解】（1）依题意，所以，又因为，解得， 所以椭圆方程为. （2）方法（一）由（1）得，， 设点（），则有① 直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为，与联立，所以点， 因为以BC为直径的圆与直线交于另一个点D，所以， 所以直线CD的斜率为，因此直线CD的方程为， 令，则点E的横坐标为②， 又因为①式，有代入②式，解得， 所以直线CD与x轴相交于定点E，点E的坐标为. 方法（二）依题意直线斜率存在，设直线的方程为，点， 由方程组，整理得. 由韦达定理有，， 代入，解得，即，又因为， 所以直线，即的斜率为， 直线与联立，所以点， 因为以BC为直径的圆与直线交于另一个点D，所以，所以， 所以直线CD的方程为，令，得点E的横坐标为， 所以直线CD与x轴相交于定点E，点E的坐标为.    17．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【解】（1）由题意可得：，解得：， 故，，， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 18．（2025·天津河东·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为. (1)求椭圆方程及； (2)证明：； (3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离. 【解】（1）由已知，，设椭圆左焦点，则， 因为，， 由，得， 所以椭圆方程为，； （2）设点，因为点在椭圆上，得， 由两点间距离公式得， 化简得； （3）由（2）可知，，所以， 根据三角形两边之差小于第三边得, 所以当三点共线时取最大值， ，设直线：， ，得：， ，∴， 通过图象可得，当直线时，椭圆上任意点到直线的距离最大， 即椭圆上任意点到直线的最大距离为. 19．（2025·天津南开·一模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点． (1)求的方程； (2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率． 【解】（1）设的方程为且， 将两点代入得，解得， 故的方程为． （2）依题意，设直线， 联立，消去整理得， 则，即，且． 直线，直线， 令，则， 令，则， 由，得，即， 整理得， 因为，所以，解得， 所以直线的斜率为． 20．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【解】（1）由椭圆的离心率为，得，则，半焦距， 又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为， 由，得，于是，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，直线不垂直于轴， 设直线的方程为，， 由消去得，，， ， 于是，而， ，因此，设， 则，解得， 于是， 所以与的面积之比的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08直线、圆与圆锥曲线 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1点到直线的距离 （5年1考） 2024天津卷：求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线； 1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。 2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。 3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。 考点2 直线与圆弦长问题 （5年4考） 2025天津卷：由直线和圆相交，根据弦长求半径 2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 2021天津卷：切线长 已知切线求参数； 考点3 双曲线标准方程 （5年2考） 2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程； 2023天津卷：求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程； 考点4 双曲线离心率 （5年2考） 2025天津卷：求离心率； 2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 双曲线中的通径问题； 考点5 抛物线标准方程 （5年1考） 2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线； 考点6 椭圆综合 （5年5考） 2025天津卷：求椭圆方程，圆锥曲线中的证明问题 2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围； 2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数； 2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形(四边形)的面积； 2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程； 考点01 点到直线的距离 1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 考点02 直线与圆弦长问题 2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 3．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 考点03 双曲线标准方程 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点04 双曲线离心率 9．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 10．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 考点05 抛物线标准方程 11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 考点06 椭圆综合 12.（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 13．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 14．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 15．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 16．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 一、单选题 1．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 7．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 8．（2025·天津·二模）已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 9．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 10．（2025·天津和平·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 . 11．（2025·天津宝坻·二模）抛物线的焦点恰好是圆的圆心，过点且倾斜角为的直线与交于不同的A，B两点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 三、解答题 12．（2025·天津·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 13．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． (1)求椭圆C方程． (2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 14．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 15．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． (1)求椭圆离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 16．（2025·天津和平·二模）已知椭圆（）的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右顶点分别为、，设点B为椭圆上的点（异于点、），直线与直线交于点C，以BC为直径的圆与直线交于另一点D（异于点B），直线CD与x轴相交于点E，试证明点E为定点并求出点E的坐标. 17．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 18．（2025·天津河东·二模）已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为. (1)求椭圆方程及； (2)证明：； (3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离. 19．（2025·天津南开·一模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点． (1)求的方程； (2)过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率． 20．（2025·天津河西·一模）已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$