专题08直线、圆与圆锥曲线（6大考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题08 直线、圆与圆锥曲线 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1点到直线的距离 （5年1考） 2024天津卷：求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线； 1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。 2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。 3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。 考点2 直线与圆弦长问题 （5年4考） 2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 2021天津卷：切线长 已知切线求参数； 2020天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 考点3 双曲线标准方程 （5年3考） 2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程； 2023天津卷：求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程； 2020天津卷：根据双曲线的渐近线求标准方程； 考点4 双曲线离心率 （5年1考） 2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 双曲线中的通径问题； 考点5 抛物线标准方程 （5年1考） 2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线； 考点6 椭圆综合 （5年5考） 2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围； 2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数； 2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形(四边形)的面积； 2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程； 2020天津卷：讨论椭圆与直线的位置关系； 考点01 点到直线的距离 1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 考点02 直线与圆弦长问题 2．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 4．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 考点03 双曲线标准方程 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点04 双曲线离心率 9．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 考点05 抛物线标准方程 10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 考点06 椭圆综合 11．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 13．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 14．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 15．（2020·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 16．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 17．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 20．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 24．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 25．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 26．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 27．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 28．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 29．（2024·天津·模拟预测）若直线与圆交于两点，则 . 30．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 31.（2024·天津河西·二模）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 33．（2024·天津河北·二模）设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 34．（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 35．（2024·天津滨海新·三模）已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 36．（2024·天津北辰·三模）已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 直线、圆与圆锥曲线 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1点到直线的距离 （5年1考） 2024天津卷：求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线； 1.直线在高考的考查主要包含了，直线的方程，点到直线的距离等。 2.圆在高考的考查主要包含了，圆的方程，圆的弦长，切线问题等。 3.圆锥曲线在高考的考查主要包含了，椭圆、双曲线与抛物线的标准方程，椭圆与双曲线的离心率，以及圆锥曲线的综合问题。 考点2 直线与圆弦长问题 （5年4考） 2023天津卷：由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 2022天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 2021天津卷：切线长 已知切线求参数； 2020天津卷：已知圆的弦长求方程或参数； 考点3 双曲线标准方程 （5年3考） 2024天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程； 2023天津卷：求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程； 2020天津卷：根据双曲线的渐近线求标准方程； 考点4 双曲线离心率 （5年1考） 2021天津卷：已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 双曲线中的通径问题； 考点5 抛物线标准方程 （5年1考） 2022天津卷：根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线； 考点6 椭圆综合 （5年5考） 2024天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围； 2023天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数； 2022天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形(四边形)的面积； 2021天津卷：根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的切线方程； 2020天津卷：讨论椭圆与直线的位置关系； 考点01 点到直线的距离 1．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 考点02 直线与圆弦长问题 2．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 3．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 4．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 考点03 双曲线标准方程 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得． 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题． 考点04 双曲线离心率 9．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 考点05 抛物线标准方程 10．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 考点06 椭圆综合 11．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 13．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：， 离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 14．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 15．（2020·天津·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 16．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 由题意得，设一条渐近线的方程为， 所以，由勾股定理得， 因为垂直于渐近线，所以， 因为，所以，而， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 化简得，所以，故，则B正确. 故选：B 17．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解． 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 18．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 19．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： 一：求出，代入公式计算； 二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 20．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为， 由双曲线的定义可知， 可得， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 21．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 22．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，设，，在双曲线上可得，联立渐近线与抛物线方程可得进而可得，代入可得，可求的值. 【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为， 由过的焦点，可设，， 又在双曲线上，可得， 由，解得 由过的焦点， 可得，即有，代入， 可得，解得， 则. 故选：C. 23．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可. 【详解】由题意得，因为圆与直线相切， 且与圆相切于点，所以将代入中， 得到，解得，所以圆方程为， 化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1， 所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切， 当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为， 当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为. 故答案为：（或） 24．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 25．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 26．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 【答案】 （或） 【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上， 若是虚轴长的倍，则，即， 所以该双曲线的一条渐近线为（或）； 由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点， 则， 可得，结合对称性可知， 又因为点A在双曲线上，则，即， 可得，整理可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：（或）；. 27．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 . 【答案】4 【分析】 由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解． 【详解】 如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 28．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案. 【详解】依题意可知抛物线的焦点为， 圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， ∴圆心坐标为， 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则， 又∵，∴ 则圆的标准方程为． 故答案为：． 29．（2024·天津·模拟预测）若直线与圆交于两点，则 . 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以， 故答案为： 30．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 31.（2024·天津河西·二模）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 【答案】(1) (2)直线方程为，点的坐标为 【分析】（1）由的周长借助椭圆的定义可求，再结合椭圆的离心率求得，进而求得椭圆C的标准方程； （2）联立直线和椭圆的方程，表示出的中点的坐标，根据，表示出点的坐标，再由列出等式，求出，即得解． 【详解】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义， ，所以， 又椭圆C的离心率为，即，∴， ∴， ∴椭圆C的标准方程为.    （2）设，，的中点为，， 联立，整理得， 因为直线与椭圆C交于M，N两点，故，解得， ，， 则，代入，∴，故， 因为是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴， 故，即，解得，故， 由，故，即， 又，， 所以， 经计算，，因为，所以， 所以直线的方程为，点的坐标为.    32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)因此存在直线满足条件． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解，即可结合的关系求解， （2）联立方程可得坐标，即可根据根据，即可求解. 【详解】（1）依题意，，解得， 又因为，所以． （2）设直线的方程为，椭圆的方程为 ， 设点 ，联立方程组，整理得， 解得，①， 直线AF方程为， 设点， ，联立方程组，解得，②， 又因为， 设，则有， 即，所以，所以． 所以，则有， 代入①②有，解得， 由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 33．（2024·天津河北·二模）设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆经过点和长轴长是短轴长的2倍，得到和求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P的横坐标，再由，设直线的方程为与直线联立，求得Q的坐标，然后根据由 即求解. 【详解】（1）解：椭圆经过点，即， 将点坐标代入方程，得， 解得 椭圆的方程为 . （2）如图所示： ，由题意可知，直线的斜率存在，且不为0. 直线的方程为 联立消去，得， 解得或， 点与点不同， ， 直线的方程为 直线 联立，解得 垂直于直线 在直角和直角中， 即 代入 化简得 解得 的值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的基本思路是根据点B坐标设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，设直线的方程，与直线联立，求得Q的坐标，通过由而得解. 34．（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆焦点与顶点的坐标与离心率的定义计算即可得答案； （2）设出直线l的方程，联立曲线方程后可得与坐标有关的韦达定理表达式，结合三角形面积公式表示出面积后借助基本不等式计算即可得答案. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，又， 解得，，， 所以椭圆C的方程为； （2）由题意可得直线的斜率不为，故可设直线l的方程为， ，，则， 联立直线l与椭圆C的方程，得， 由于直线过椭圆内一点，故必有，则． 又，， 易知与同号， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为，此时直线l的方程为． 35．（2024·天津滨海新·三模）已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析，. 【分析】（1）根据已知条件，列出关于a，b，c的方程组即可求解； （2）①根据面积关系可得，从而得，据此即可求解；②联立QC和AB的方程，求出Q点坐标，联立QC和椭圆方程，结合韦达定理求出P点坐标，求出BP的方程，从而可求N的坐标，再根据斜率计算公式即可求解． 【详解】（1）由题意得，又，解得， 椭圆的标准方程为． （2）①由（1）可得，点（）在椭圆上，代入椭圆方程得， 连接，∵， ， ，∴， ∴直线的方程为，联立， 解得或（舍去）， ． ②设直线的斜率为，则直线的方程为：， 又，，直线的方程为， 由，解得， ∴， 由，得， ， 则，∴， 则， ， 依题意、不重合，∴，即， ∴， 直线的方程为， 令，即，解得， ， ， 为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到，再求出，最后计算相关斜率再作差即可. 36．（2024·天津北辰·三模）已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 （1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程； （2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程． 【详解】（1）， ，所以， 因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1， 所以椭圆方程为． （2） 如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ， 联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2， 所以，. ， ， 因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，， ，， 点O到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即m2＝3， 因为m＞0，所以时，取得最大值为， 因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大， 所以或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$