专题06 数列（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题06数列 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1数列基本量的计算 （5年2考） 2025天津卷：绝对值数列求和 2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项； 1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。 2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。 3. 数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等. 考点2 数列通项 （5年4考） 2025天津卷：求通项公式 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 考点3数列求和 （5年5考） 2025天津卷：错位相减求和 2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求； 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 考点01 数列基本量的计算 1.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2.（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【解析】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则，故选C. 考点02 数列通项 3．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 考点03 数列求和 5.（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和 【解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为.． 6．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以 . 7．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．24 B．28 C．36 D．48 【答案】B 【解析】设公比为，则， 所以， 所以. 故选：B 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 3．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【解析】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 4．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 5．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【解析】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 7．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【解析】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 8．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 9．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【解析】当时，，可得， 因①， 可知时，②， 用①-②得：， 等式两边同乘，得到，即， 即当时，数列是公差为3的等差数列， 所以，又，所以， 又因为，则 整理得，即， 因为数列是正项数列，所以， 所以，所以 故选：A 10．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 .故选：D. 二、填空题 11．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【解析】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 12．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 【答案】 【解析】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 三、解答题 13．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 【解】（1），， ，， 又，， ，， 由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列， ， 从而数列的通项公式为 （2）由（1）知， ， ， 设， 则， 两式相减得， 整理得， . 14．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然外递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 15．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 【解】（1）因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，所以， 又因为，所以，； （2）设， 在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ， 当时，；当时，， 所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； （3）当时，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 因为，， 所以， 即. 16．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 17．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 【解】（1）设，，，， 由已知，， 所以， 所以， 所以，，所以， 又因为， 所以，所以， 所以，， 所以； （2）（ⅰ）由已知，在此区间内，∴， 因为， 所以即为， ∴. ， 所以即为， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. （ⅱ）记， ①， ②， ①-②为， ， . 18．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． （2）为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． （3），， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 19．（2025·天津红桥·二模）已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 【解】（1），又 所以是以为首项，以为公比的等比数列． （2）由（1）知，即 . （3）由（2）知，对任意，有， 取， 则. 20．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以， 所以， . （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调； 当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或， 当时，，易知在单调递增； 当时，，易知在不单调， 所以， 所以， . （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1， 当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值， 所以的最大值为1，最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06数列 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1数列基本量的计算 （5年2考） 2025天津卷：绝对值数列求和 2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项； 1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。 2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。 3. 数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等. 考点2 数列通项 （5年4考） 2025天津卷：求通项公式 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 考点3数列求和 （5年5考） 2025天津卷：错位相减求和 2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求； 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 考点01 数列基本量的计算 1.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2.（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 考点02 数列通项 3．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 考点03 数列求和 5.（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和 6．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 7．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 一、单选题 1．（2025·天津红桥·一模）等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A．24 B．28 C．36 D．48 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 3．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 4．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 5．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 7．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 8．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 9．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 10．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 12．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 三、解答题 13．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 14．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 15．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 16．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 17．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 18．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 19．（2025·天津红桥·二模）已知数列 的首项 (1)证明：数列 为等比数列； (2)证明：对任意的 (3)证明: 20．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$