专题13 数列（上海专用）【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题13 数列 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 数列基本量计算 以选填题为主，聚焦基础知识点，比如等差数列中首项、公差的求解，以及数列极限的基础运算，侧重对公式记忆和基础运算能力的考查。 数列与其他知识的交叉考查会愈发频繁。2024 - 2025 年已连续出现数列与函数的综合题，后续大概率会拓展到与不等式、概率等知识的融合，要求学生用跨模块思维解题，比如通过函数单调性分析数列的增减性，或结合不等式证明数列的取值范围。 数列递推公式与前 n 项和 选填题考查前 n 项和的基本量计算，难度适中；同时涉及递推公式相关的基础推导，初步体现对逻辑推理的简单要求，贴合数列核心知识的考查方向。解答题环节融入前 n 项和公式的综合计算，对知识灵活运用能力有一定要求。 数列与函数、导数综合应用 选填题保障基础考查，聚焦数列基本量的求解；解答题则强化综合属性，把数列和函数知识深度融合，重点考查知识整合能力，题目难度较前几年有所提升，区分度逐渐显现。对学生的逻辑推理和知识迁移能力提出更高要求。 考点01 数列基本量计算 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 2．（2021·上海·高考真题）在无穷等比数列中，，则的取值范围是 3．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 考点02 数列递推公式与前 n 项和 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 5．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 6．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个. 7．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 8．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 考点03数列与函数、导数综合应用 9．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 10．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 11．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 一、单选题 1．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 2．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 3．（2025·上海·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 5．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 6．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 二、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 8．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 9．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 10．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 11．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 12．（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 13．（2025·上海黄浦·三模）一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为 ． 14．（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为 15．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    16．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 三、解答题 17．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 18．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 19．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 21．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 22．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 23．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 24．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 数列 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 数列基本量计算 以选填题为主，聚焦基础知识点，比如等差数列中首项、公差的求解，以及数列极限的基础运算，侧重对公式记忆和基础运算能力的考查。 数列与其他知识的交叉考查会愈发频繁。2024 - 2025 年已连续出现数列与函数的综合题，后续大概率会拓展到与不等式、概率等知识的融合，要求学生用跨模块思维解题，比如通过函数单调性分析数列的增减性，或结合不等式证明数列的取值范围。 数列递推公式与前 n 项和 选填题考查前 n 项和的基本量计算，难度适中；同时涉及递推公式相关的基础推导，初步体现对逻辑推理的简单要求，贴合数列核心知识的考查方向。解答题环节融入前 n 项和公式的综合计算，对知识灵活运用能力有一定要求。 数列与函数、导数综合应用 选填题保障基础考查，聚焦数列基本量的求解；解答题则强化综合属性，把数列和函数知识深度融合，重点考查知识整合能力，题目难度较前几年有所提升，区分度逐渐显现。对学生的逻辑推理和知识迁移能力提出更高要求。 考点01 数列基本量计算 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2．（2021·上海·高考真题）在无穷等比数列中，，则的取值范围是 【答案】 【详解】解：无穷等比数列，公比，，， ， ， ，，． 故答案为：，，． 3．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 考点02 数列递推公式与前 n 项和 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 【答案】189 【详解】由题意得， 故答案为：189. 5．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 6．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个. 【答案】98 【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，，1，，中，，， 其余各项均不相等， ，1，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 7．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 8．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足. (1)求可能值； (2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： (3)若成立，求数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以或，所以可能值为7或9； （2）因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， （3）因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 考点03数列与函数、导数综合应用 9．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 10．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 11．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 一、单选题 1．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 2．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 3．（2025·上海·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 5．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 6．（2025·上海杨浦·二模）设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（    ）. A．507 B．1013 C．1519 D．2025 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则第项满足， 每个二次函数满足， 变形为， 对于固定的，这是一个关于的二次方程，最多有两个整数解，因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的值. 所以总共2025个值需要覆盖，因此需要个，但为整数，所以需要1013个. 故选：B 二、填空题 7．（2025·上海奉贤·二模）已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件． 【答案】充要 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 8．（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 9．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 10．（2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 11．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 12．（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 13．（2025·上海黄浦·三模）一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为 ． 【答案】 【详解】由点A出发，经过偶数次移动只能到达点，经过奇数次移动后只能到达， 考虑移动（为偶数）次返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次可回到， 则考虑移动次后所在点，把这4个点分成两类，点和点， 若在点，路径数为，再移动2次返回到只有3种折返路径； 若在（路径数为）中的一个，再移动2次返回路径数， 每个点处都有2条路径（）， 因此移动（为偶数）次返回到的路径数， 即，累加得，总路径数为， 因此青蛙跳跃（为偶数）次后恰好回到的概率， 所以六次跳跃后回到顶点A的概率为 故答案为： 14．（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为 【答案】 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 15．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    【答案】 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    16．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 【答案】 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 三、解答题 17．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 18．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 19．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 20．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 21．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 22．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 23．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【详解】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 24．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，(*)， 设，即，代入(*)可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． / 学科网（北京）股份有限公司 $