专题06数列（3大考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题06数列 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1数列基本量的计算 （5年1考） 2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项； 1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。 2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。 3. 数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等. 考点2 数列通项 （5年4考） 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和； 考点3数列求和 （5年5考） 2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求； 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和； 考点01 数列基本量的计算 1. （2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 考点02 数列通项 2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 3. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 考点03 数列求和 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 5．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 6．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 7．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 8．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 10．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 11．（2024·天津北辰·三模）已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为. （i）求； （ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（2023·天津和平·三模）等差数列的前项和为，（且），． (1)求的通项公式与前项和； (2)记，当，时，试比较与的大小； (3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与． 13．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 14．（2024·天津·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：； (3)表示不超过x的最大整数，； 求（i）； （ii）． 15．（2024·天津武清·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， (1)求数列和的通项公式; (2)，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 16．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 17．（2024·天津·模拟预测）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为，公差为，并且成等差数列. (1)当时，求，，以及； (2)证明（，，是m的多项式），并求的值； (3)当，时，将数列分组如下：（每组数的个数构成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前n项和. 18．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2024·天津红桥·二模）已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，． (1)求数列{，的通项公式； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 20．（2024·天津·二模）已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，（）． (1)求和的通项公式； (2)求； (3)设数列满足（），证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06数列 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1数列基本量的计算 （5年1考） 2023天津卷：等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项； 1.数列在高考的考查主要包含了，数列的基本量运算，主要包含了等差、等比的通项与求和运算。 2.数列的通项公式在高考中的考察主要包含了，等差等比数列的通项，前n项和与通项的关系，累加累成等。 3. 数列的求和在高考中的考察主要包含了，裂项相消法，错位相减法，分组求和法等. 考点2 数列通项 （5年4考） 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和； 考点3数列求和 （5年5考） 2024天津卷：由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求； 2023天津卷：等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公； 2022天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和； 2021天津卷：等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题； 2020天津卷：等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和； 考点01 数列基本量的计算 1. （2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 考点02 数列通项 2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 3. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 考点03 数列求和 4．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以 . 5．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 6．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 7．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 【答案】D 【分析】根据等差比数列的定义求解即可. 【详解】因为为等差比数列，所以， 所以，解得，由，解得： 故选：D 8．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题. 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 9．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法求和可得答案. 【详解】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3） ， ， . 结论得证. 10．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式； （2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和； （ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意. 【详解】（1）因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． （2）（i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4） （5） 11．（2024·天津北辰·三模）已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，. (1)求和的通项公式； (2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为. （i）求； （ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)（i）（ii）存在 【分析】（1）的通项通过基本量法求解，的通项通过令，两式作商求解. （2）（i）求出即可得出答案；     （ii）根据题意求出和的关系，在利用取值范围求出和. 【详解】（1）， 所以， ① 当时，令得：② ①②得：，所以是公差为的等差数列， 当时有：，所以 （2）（i） 因为，所以，所以 （ii），把代入得：， 所以，， 所以 因为，，所以， 当时，（舍去），当时，（舍去）， 当时，，所以存在，. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列等差数列的基本量计算，数列与不等式的综合应用.解题的关键是设出公差，列式求解求得，进而通过得求出，此外，对于探究性问题，一般解法是先假设存在，再根据已知条件推出结论或矛盾，本题在解答过程中核心是借助化简整理得.考查数学运算求解能力，逻辑推理能力. 12．（2023·天津和平·三模）等差数列的前项和为，（且），． (1)求的通项公式与前项和； (2)记，当，时，试比较与的大小； (3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， (3)； 【分析】（1）由已知，根据公式，，即可得到结果； （2）由，求得，由，求得，又时，，所以，当时，；当时，； （3）由，得，由首项，数列是公比为4的等比数列，可得，则 ，用错位相减法可求得 ，则可得． 【详解】（1）设数列公差为，由公式，， 又，有，所以．则，． （2）因为，所以有 ，， ，，， 当，时，，即， 所以，当时，；当时，． （3）因为，所以，设正项等比数列的公比为， ，所以，因为，所以， 又， ， 设①，则②， ①式-②式得， ， 所以，， 所以，. 13．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故 . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将裂项为，即可求解. 14．（2024·天津·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：； (3)表示不超过x的最大整数，； 求（i）； （ii）． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)（i）；（ii）. 【分析】(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 , 由已知列方程组求解 与 , 则数列 和 的通项公式可求; (2)把数列 和 的通项公式代入, 整理后利用裂项相消法求 ; (3)（i）由 , 求出 ，作和即可求得 （ii）利用错位相减法求 . 【详解】（1）(1)设等比数列 的公比为 , 等差数列 的公差为 , 由 ， 得 , 解得 或 (舍去)； 故 , （2）由（1）知，，，则 证明： 则 ； （3）（i） ， ， 所以. （ii）①， 则 ②， 由①-②得： . 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式, 训练了裂项相消法与错位相减法求数列的前 项和, 考查运算求解能力, 是较难题. 15．（2024·天津武清·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， (1)求数列和的通项公式; (2)，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果； （3）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为， 则，解得或（舍去）， 所以；. （2）因为，， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . （3）由题意可知：， 其中， 所以， 集合，设， 则， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，． 【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 16．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见详解. 【分析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可； （2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证. 【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，， 由题知，，解得，所以. 由，解得或（舍去），所以. （2）由（1）可知， 则， ， 两式相减得， 所以， 记，则， 所以单调递减，所以，且， 所以，即. 17．（2024·天津·模拟预测）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为，公差为，并且成等差数列. (1)当时，求，，以及； (2)证明（，，是m的多项式），并求的值； (3)当，时，将数列分组如下：（每组数的个数构成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）当时，代入等差数列的通项即可； （2）先求出数列的通项，利用通项公式求出，，，，，进而可得出数列是以为公差的等差数列，从而可求出数列的通项，即可得解； （3）由，可求得数列的通项，从而可前组中所有数之和，进而可求出，再利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）当时，由题意可知， 则， ； （2）由题意， 则， 同理，，， ， 又因为成等差数列， 所以， 故， 即数列是以为公差的等差数列， 所以， 令， 所以， 所以； （3）当，时， 数列分组如下：， 按分组规律，第组中有个奇数， 所以第组到第组共有个奇数， 注意到前个奇数的和为， 所以前个奇数的和为， 即前组所有数之和为， 所以， 因为，所以， 从而， 则， 故， 两式相减得 ， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 18．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由， ，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 19．（2024·天津红桥·二模）已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，． (1)求数列{，的通项公式； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用递推公式，等差数列，等比数列的性质解方程即可求出、、，再由基本量法写出通项即可； （2）（ⅰ）先化简可得由累乘法求出即可；（ⅱ）先裂项化简可得，再用分组求和即可. 【详解】（1）设的首项为，公差为，的公比为， 因为，， 所以， 解得或（舍）， 所以，即， 所以， 又，，即， 解得， 所以，即 （2）（ⅰ）因为，则， 则； （ⅱ）因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问对于分式形式的数列求出可采用裂项相消法. 20．（2024·天津·二模）已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，（）． (1)求和的通项公式； (2)求； (3)设数列满足（），证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的性质求得数列首项与公差，可求的通项公式，由已知可得，可求数列的通项公式； （2）由（1）的结论代入计算可求的值； （3）由已知放缩可得，进而可得，利用错位相减法可求得，可求结论. 【详解】（1）设的公差为，由题意 ，， ，， 所以， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2） ； （3）， 所以， 设， 则， ， 所以， 因为，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用放缩法得，再利用错位相减法对右边求和即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$