专题03 导数及其应用（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题03导数及其应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1导数切线方程 （5年5考） 2025天津卷：导数的几何意义 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 1.利用导数求切线方程是高考中的重点内容，需要掌握基本初等函数的求导公式、切点的性质。 2.不等式恒成立的考查内容比较综合，一般结合导数与函数的单调性求解函数的最值问题等 3.不等式的证明问题难度系数比较综合，通常需要结合求导、不等式放缩、同构等方法进行考察 考点2 不等式恒成立求参数 （5年2考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 考点3 不等式证明 （5年4考） 2024天津卷：证明不等式 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 考点01 导数切线方程 1．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 考点02 不等式恒成立求参数 2．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 考点03 不等式证明 3.（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 一、单选题 1．（2025·天津·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 二、填空题 3．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 4．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 5．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 6．（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 7．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 8．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 9．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 10．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 11．（2025·天津河东·二模）已知函数，，. (1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)求函数的极值； (3)函数，若，证明：. 12．（2025·天津红桥·一模）已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)已知，证明：． 13．（2025·天津和平·一模）已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 14．（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 15．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 16．（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 17．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 18．（2025·天津滨海新·三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 19．（2025·天津和平·二模）已知函数（m，，）. (1)若函数的两个极值点为0与，求m，n的值及函数的单调区间； (2)若. （ⅰ）求证：当时，函数在区间上单调递增； （ⅱ）对，总，使得成立，求实数的取值范围. 20．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03导数及其应用 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1导数切线方程 （5年5考） 2025天津卷：导数的几何意义 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 1.利用导数求切线方程是高考中的重点内容，需要掌握基本初等函数的求导公式、切点的性质。 2.不等式恒成立的考查内容比较综合，一般结合导数与函数的单调性求解函数的最值问题等 3.不等式的证明问题难度系数比较综合，通常需要结合求导、不等式放缩、同构等方法进行考察 考点2 不等式恒成立求参数 （5年2考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 考点3 不等式证明 （5年4考） 2024天津卷：证明不等式 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 考点01 导数切线方程 1．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 【解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 考点02 不等式恒成立求参数 2．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 考点03 不等式证明 3.（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知： ，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 5．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 一、单选题 1．（2025·天津·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对应，有，故在R上单调递增， 若，即， 所以“”是“”的充要条件.故选：C 2．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】， 则， 由可得，故， 由于两切线互相垂直，因此，所以，故选：D 二、填空题 3．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 4．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意），所以的最小值为1. 5．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 三、解答题 6．（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 【解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）当时，， 则，令， 则，当且仅当时等号成立． 所以在R上单调递增． 又，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． （3），则． 当时，可证恒成立， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，． 所以． 可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去； 当时，令， 则，且． 令，则． 显然，在R上单调递增． 令，解得． ①当时，， 可得当时，，故在上单调递增． 又， 故当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意； ②当时，， 可得当时，， 故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以当时，， 在上单调递减，故不是极值点，不合题意； ③当时，， 可得当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以，则在R上单调递增． 又，所以当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以是的一个极小值点，满足题意． 综上，当且仅当时，是的极值点． 7．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 8．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 9．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3）由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 10．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 【解】（1）当时，，， 当时，，， 切线方程为，整理得， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，， 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上单调递减； 当时，方程有两根，， 若，则，， 当时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 若，则， 当和时，，当时，； 即在与上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增. （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证， 令，，则， 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以， 所以恒成立，即. 11．（2025·天津河东·二模）已知函数，，. (1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)求函数的极值； (3)函数，若，证明：. 【解】（1）易知，切线斜率为，所以， 由切线方程可得； （2）易知，， 令，即，∴， 令，∴， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值. （3）易知，则， 令，则，令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数的极大值为， 由已知，∴，，由（2）可知，证毕. 12．（2025·天津红桥·一模）已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)已知，证明：． 【解】（1）因为， 则函数在点处的切线斜率为， 又， 所以函数在点处的切线方程； （2）设，， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 则函数，所以， 当时，，即， 当时，取，观察的其中的一个零点为， 由于， 而，得， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是； （3）当时，由（2）得， 则，所以，即，则， 令，得，所以，即， 又， 令，则，且不恒为零， 所以在上单调递增，即，则， 所以， 即 ． 13．（2025·天津和平·一模）已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 【解】（1）当时，， ，由已知，所以， 即，因为， 所以，当时，，当时，， 因此，的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 当时，函数取得极大值，无极小值. （2）证明：由（1）可得当时，，即 令，可得，所以， 所以， ，原式得证. （3）已知，则，不等式为， 即桓成立， （i）当时，任意，因此满足条件. （ii）当时，，不等式两侧同时取对数， 有，等价于①， 构建新函数，令，①式等价于恒成立， 而，函数在其定义域上单调递增，因此对任意，有 成立，即任意，有， 等价于②，设， 当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调逆减， 所以，因此由（2）式可得. 综上，正实数的取值范围为. 14．（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 【解】（1）因为，所以，则，而，则， 所以在点处的切线方程是. （2）由题意，定义域为， 则， 因为，所以当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增； 若，即时在上单调递增，则，不符合题意； 若，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意； 若，即时，在上单调递减， 则，解得，不符合题意； 综上可得，不存在这样的正实数，使得在区间上的最小值为； （3）依题意，，定义域为， 则， 因为是函数的极小值点，所以，所以， 又，则， 因函数在上单调递减，而当时，，则由得， 令，则，当在上单调递减， 所以，，当且仅当时取“”,即，， 所以，所以，， 所以， 所以，得证. 15．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【解】（1）当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． （2） 在恒成立，在上单调递增. （3）令，则原不等式等价于 令 则 令， 则 由（2）知， 在恒成立 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， 16．（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 【解】（1），， 所以，， 令，解得， 所以时，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为； （2），令，， 则，， 令，则， ①当时，即时，在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 即恒成立. ②当时，即时，则存在唯一，使得， 且函数在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由题意，， 则. 令，则. 令，得在上单调递增； ，得在上单调递减. 则 则，， 当且仅当时取等号. 得在上单调递增，而，， 则不妨设 令，其中. 则.令，. 则， 得在上单调递增， 则，得在上单调递增， 有，即时， 因，则， 又，则，又注意到在上单调递增， 则. 17．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 【解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. （3）由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 18．（2025·天津滨海新·三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 【解】（1）因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； （2）若对，有，转化为， 即对都成立． 设， 因为，所以要使 必须满足，即，所以 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可． 设， 所以，且，． 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证： （3）根据题意需要分析，，在上的大小关系． 设，则， 则在区间上单调递减， 所以，即． 令，，所以，， 所以， 所以． 再证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为单调递减， 则在区间内单调递减， 因为，， 所以，，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又因为，，， ，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减． 因为，， 所以在区间内恒成立． 令，所以， 所以，，，⋯，， 所以． 对，，所以， 所以 ， 所以得证． 综上， 19．（2025·天津和平·二模）已知函数（m，，）. (1)若函数的两个极值点为0与，求m，n的值及函数的单调区间； (2)若. （ⅰ）求证：当时，函数在区间上单调递增； （ⅱ）对，总，使得成立，求实数的取值范围. 【解】（1），由已知有，解得. 当，时，， 令，解得，定义域为， ，令得或0， 令，解得或，令，解得， 所以与是函数的两个极值点，所以，， 的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）（ⅰ）证明：，代入，有， 整理得①， 当时，， 即，又，所以，因此①式即， 所以当时，在区间上单调递增； （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在上是增函数， 因此在上的最大值为， 即对任意恒成立. 设，， 则 当时，则，此时，即在上单调递减， 因此，需，所以， 当时，， ①当时，即，此时，即在上单调递增， 因此，所以在上恒成立. ②当时，即，此时，即在上单调递减， 因此，所以在上恒成立. ③当时，即， 此时当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 需满足，令， 设，， ， 当时，，即在上单调递减， 所以， 则在时恒成立，此时在恒成立. 综上所述，当时，恒成立. 即时，对，总，使得成立. 20．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 【解】（1），则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． （2）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 若在区间上恒成立，则的取值范围为． （3）由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，    则， 所以②． 综上，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$