专题14 导数（上海专用）【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题14 导数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 利用导数求函数极值存在的参数范围 聚焦极值与参数的关联，要求学生通过导数分析极值存在的条件，进而确定参数取值范围，侧重对导数工具性和函数本质的理解 未来命题可能会紧密联系现实场景，比如资源优化配置、最值优化等实际问题，要求学生先将实际问题抽象为函数模型，再通过导数求解最值或分析变化趋势，突出导数的实际应用价值，契合高考对数学应用能力的考查导向。 用导数判断或证明函数的单调性及求函数的最值 一方面将单调性与 “最近点” 这类特殊问题结合，打破常规考查角度；另一方面引入新定义题型，考验学生对导数概念的灵活迁移能力 导数与数列综合 实现导数与数列知识的跨界融合，不再局限于导数对单一函数的分析，而是考查其在数列相关问题中的辅助分析作用，提升了知识综合运用的要求 考点01 利用导数求函数极值存在的参数范围 1．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 考点02 用导数判断或证明函数的单调性及求函数的最值 2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 考点04 导数与数列综合 4．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 5．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 二、填空题 2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 4．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 5．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 三、解答题 6．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 7．（2025·上海松江·二模）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 8．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 9．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 10．（2025·上海·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，证明：恒成立. (3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由. 11．（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 12．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 13．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 14．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 15．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 16．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 17．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 18．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 19．（2025·上海·三模）设定义域为的函数，对于，定义 (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 20．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 21．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 导数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 利用导数求函数极值存在的参数范围 聚焦极值与参数的关联，要求学生通过导数分析极值存在的条件，进而确定参数取值范围，侧重对导数工具性和函数本质的理解 未来命题可能会紧密联系现实场景，比如资源优化配置、最值优化等实际问题，要求学生先将实际问题抽象为函数模型，再通过导数求解最值或分析变化趋势，突出导数的实际应用价值，契合高考对数学应用能力的考查导向。 用导数判断或证明函数的单调性及求函数的最值 一方面将单调性与 “最近点” 这类特殊问题结合，打破常规考查角度；另一方面引入新定义题型，考验学生对导数概念的灵活迁移能力 导数与数列综合 实现导数与数列知识的跨界融合，不再局限于导数对单一函数的分析，而是考查其在数列相关问题中的辅助分析作用，提升了知识综合运用的要求 考点01 利用导数求函数极值存在的参数范围 1．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 考点02 用导数判断或证明函数的单调性及求函数的最值 2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 【答案】 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 考点04 导数与数列综合 4．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 5．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列。 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·三模）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 【答案】C 【详解】由题意得，因为，所以， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 因为，所以， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 又，所以， 所以无解，A错误； 若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误. 故选：C. 二、填空题 2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【答案】 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 4．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 【答案】 【详解】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 5．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当时， 所以，， ， 解得，不符合题意，所以在上无解. ②当时，， 所以，，， 令，所以， 即 令，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 此时在上有唯一解； ③当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以在上有两解， 即在上有两解， 即在上有两解. 令 所以，即 解得， 综上①②③，所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 6．（2025·上海普陀·二模）已知，对于函数，，设集合，，记. (1)若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； (2)设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； (3)设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【详解】（1）由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. （3）对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 7．（2025·上海松江·二模）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 【详解】（1）的定义域为， 由，得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 则，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 又， 则切线方程为，整理得. （2）的定义域为，， 令，其对称轴为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，的两根为， 且， 则当或时，，； 当时，， . （ii）当时，的对称轴，且， 则在上恒成立，即在上恒成立. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）已知，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 令，则只需证， 先证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即； 再证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 综上，得证. 8．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 9．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【详解】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 10．（2025·上海·三模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，证明：恒成立. (3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由. 【详解】（1）由题设，可得， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 故函数有唯一的极值点，当时取得极大值. （2）当时，， 令，，则， 令，则， 当时，，于是在上严格递增， 所以，于是在上严格递增， 故，即， 所以，原不等式成立. （3）存在唯一的点对关于对称，证明如下： 假设存在，设，，， 于是，，即， 设，则， 显然，即存在，其中， 令，则，即在上单调递减， 于是时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减. 且，，， 于是，存在唯一的使得，即存在唯一的点对、满足题意. 11．（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 【详解】（1）因为，求导得， 所以在上为单调递增函数，因此； （2）因为，所以，而， 因为，表示过点， 斜率为的直线，故是在处的切线， 而存在极值点，又因为，所以， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，此时与在上均为单调递增函数， 因此当时，恒成立， 即， 当时，则有，显然成立，当时，则有， 因为，所以； 当时，此时 此时，不符题意舍去； 综上，实数的取值范围为； （3）证明：先证明必要性（）： 若为上的单调递增函数，则任取， 由题意可得， 因为，所以或或或， 因为为上的单调递增函数， 所以或或或， 所以，所以或成立． 同时对为上的单调递减函数，同理可证． 下面证明充分性（）： 当与其中一式成立时，不可能为常值函数， 先任取，总有或 假设存在，使得， 记，则， 因为存在，则或， 不妨设，则，否则当， 此时，矛盾； 进而可得，则，，因此①． 最后证明为上的单调递减函数，任取，且，需考虑如下情况： 情况一：若，同上述可得，， 所以． 情况二：若，则， 否则，，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 所以． 情况三：若，则，否则， 记，否则， 记， 则，， 同理若，所以， 由①可得：． 情况四：若，同上述可得，． 综上，恒成立．（当为上的单调递增函数时，同理可证） 12．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 13．（2025·上海闵行·二模）已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 【详解】（1）是， 存在， 由函数新定义有满足. （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，函数为递减函数；当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， 若为在区间上的“分割数对”，既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为. （3）对任意，考虑， 则不是在上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，则， 所以，结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数有且仅有一个，则. 14．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 15．（2025·上海长宁·二模）已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． (1)已知，求． (2)已知，若集合只有一个元素，求a的值； (3)已知，其中且，求证：集合是一个区间． 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 可化为，整理可得， 即，解得或， 所以. （2）函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 令，所以即的解集， 若集合只有一个元素，即方程有唯一解， 且函数在该点处与轴相切. 因为， （i）当时，恒成立，在上单调递增， 所以，无解，故不成立； （ii）当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 即，解得. 经检验，当时， ， 所以只有一个解，且， 符合题意，故a的值为1； （3）函数的定义域为， 由题意可知即不等式（且）的解集， 即（且）的解集 令， 则， ①当时，恒成立，单调递增，当 所以的解集，即集合必是一个区间； ②当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； ③当时，令，解得 所以在上单调递增，在和单调递减， 且，所以的解集，即集合必是一个区间； 16．（2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 17．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【详解】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 18．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【详解】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“1函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 若函数是函数的“函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数，因为函数为偶函数，所以， 则，即所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是的1函数，因此，又，. 因此函数是函数的“1函数”， 所以，即恒成立，用代换有， 综上可知，记则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 19．（2025·上海·三模）设定义域为的函数，对于，定义 (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 【详解】（1）由题设， 由化简得， 解得， 故． （2）因为， 代入定义得：， 构造函数， 故， 令， 当时，， 所以存在，；所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点， 故当时，是一段闭区间， 因此， 特别地，当时，，，， 故仍是一段闭区间， 故； 当时，， 故当且仅当时，． 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且； （3）证明：假设，若， 则，因此矛盾， 故， ①先证充分性： 引理：对任意，当满足时，， 已知，． 假设， 设，任取，，则， 因为函数是严格增函数， 所以，即， 所以， 由此， 因此考虑构造， 当， 则， 而， 所以函数是严格减函数，，故矛盾， 即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，， 联立上式可得． 而，，又因为是严格减函数， 则．由于，， 所以，故． 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，因此充分性得证． ②再证必要性： 因为函数是上的严格增函数且， 当时，； 当时，， 因此， 因此必要性得证． 综上，函数是上的严格增函数”当且仅当“. 20．（2025·上海金山·三模）若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数” (2)若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【详解】（1）因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2），则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． （3）充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 21．（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，(*)， 设，即，代入(*)可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． / 学科网（北京）股份有限公司 $