专题03导数及其应用（4大考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题03导数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1导数切线方程 （5年5考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 2020天津卷：利用导数求切线的方程、利用导数证明不等式； 1.利用导数求切线方程是高考中的重点内容，需要掌握基本初等函数的求导公式、切点的性质。 2.不等式恒成立的考查内容比较综合，一般结合导数与函数的单调性求解函数的最值问题等 3.不等式的证明问题难度系数比较综合，通常需要结合求导、不等式放缩、同构等方法进行考察 考点2 不等式恒成立求参数 （5年2考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 考点3 不等式证明 （5年4考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2020天津卷：利用导数求切线的方程、利用导数证明不等式； 考点01 导数切线方程 1．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 考点02 不等式恒成立求参数 2．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 考点03 不等式证明 3．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 4．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 5．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 6．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 7．（2024·天津河北·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； (3)设，且，求证：. 8．（2024·天津北辰·三模）已知，曲线在点处的切线为. (1)当时，求直线的方程； (2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且； (3)在（2）的条件下，令，求的取值范围. 9．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 10．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 11．（2024·天津武清·模拟预测）已知（，且）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上单调递增； (3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围. 12．（2024·天津·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对时，，求正实数的最大值； (3)若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性． (2)若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 14．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03导数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1导数切线方程 （5年5考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 2020天津卷：利用导数求切线的方程、利用导数证明不等式； 1.利用导数求切线方程是高考中的重点内容，需要掌握基本初等函数的求导公式、切点的性质。 2.不等式恒成立的考查内容比较综合，一般结合导数与函数的单调性求解函数的最值问题等 3.不等式的证明问题难度系数比较综合，通常需要结合求导、不等式放缩、同构等方法进行考察 考点2 不等式恒成立求参数 （5年2考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2021天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析； 考点3 不等式证明 （5年4考） 2024天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求函数的最值(含参)； 2023天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题； 2022天津卷：求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点； 2020天津卷：利用导数求切线的方程、利用导数证明不等式； 考点01 导数切线方程 1．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的值； (3)若，证明． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 考点02 不等式恒成立求参数 2．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 考点03 不等式证明 3．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知： ，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 4．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 5．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 6．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由处的导数得到切线的斜率，由处的函数值得到切线上的点，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）构造新函数，求导之后对导数再求导，得到在上单调递增，从而，从而恒成立得证； （3）利用进行放缩，再结合（2）中的得到，乘公比错位相减法求和. 【详解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令，，则，， 令，则在上恒成立，故在单调递增， 其中，故在上恒成立，故在上单调递增， 故，即恒成立． （3）设，证明． 令，， 因为，所以在上单调递减， 所以，从而，． 由于， 所以． 由（2）知，（），所以． 设，①，则，② ①－②得 ， 所以． 【点睛】方法点睛：利用放缩法证明不等式 放缩法就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，将不等式的一边或两边进行放大或缩小，也就是对代数式进行恰到好处的变形，使问题便于解决．放缩法大致分为以下几类． （1）将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小． （2）利用均值不等式或其他的不等式放缩数式． （3）不等式两边同时加上或减去某一项． （4）把代数式中的一些项进行分解再重新组合，这样就可以消去一些项便于求解，这也是我们常用的裂项法． 7．（2024·天津河北·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； (3)设，且，求证：. 【答案】(1). (2)（i）的单调递增区间是，单调递减区间是 ； 极大值，没有极小值； （ii）. (3)证明见解析. 【分析】（1）求导数得，可求得切线方程； （2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值； （3）利用分析法和放缩法，可求出结果. 【详解】（1）时， ，整理得. 曲线在点处的切线方程为. （2）（ⅰ） 令，解得 . ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 函数单调递增区间是，单调递减区间是 有极大值，没有极小值； 的极大值 （ⅱ） 设， ， 令，解得. ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 而 的最小值为. （3）当时，要证 两边同时取对数，即证， 即证，两边同时乘以， 即证， 而， 由（2）可知， 令，则，代入上式，得 ， ， . 【点睛】求解函数单调区间的步骤: (1)确定的定义域: (2)计算导数; (3)求出的根; 4)用的根将的定义域分成若干个区间， 考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间： ，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 8．（2024·天津北辰·三模）已知，曲线在点处的切线为. (1)当时，求直线的方程； (2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且； (3)在（2）的条件下，令，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）设，，利用零点存在定理证明存在使得即可； （3）设，则计算可得. 令，则命题即要研究有正根的充要条件. 再对分类讨论，利用高阶导数研究的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即； （2）由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记，则 . 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且； （3）对，设. 则， ， . 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以，又由于对有 ， 故对有，从而当时，有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面我们取，就有 ， 所以在上存在零点，故，得； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，将取值范围问题转化为函数的零点存在性问题，然后即可使用导数研究零点的存在性. 9．（2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线在处的切线斜率为， 又，所以切线方程为. （2）记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 10．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 由可得，解得. （2）函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. （3）由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 11．（2024·天津武清·模拟预测）已知（，且）. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：在上单调递增； (3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式求切线方程； （2）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明. （3）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 则， 要证明在上单调递增， 只需证明在上恒成立， 则只需证，即只需证. 设，则只需证 因为，所以在单调递增， 所以时，即时，成立， 所以，所以在上单调递增. （3），即，两边取对数得：，即 设，令，得， 当时，，单调递减. 又因为，所以，在单调递减， 由，则在恒成立，即， 上式等价于，即， 由在单调递减，所以. 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 12．（2024·天津·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对时，，求正实数的最大值； (3)若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)个实数根，理由见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分和两种情况，结合隐零点问题，分析的单调性，确定使得对恒成立时正实数的值即可； （3）先结合隐零点问题的处理方法，求得的取值范围，再将原问题转化为求方程的实数根的个数，然后构造函数，并再次运用隐零点证明有唯一零点，进而得解. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 则曲线在处的切线方程为 （2）由题意知，，令， 所以， 因为，所以，而为正实数， 所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增，且， ①当时，在区间上恒成立， 所以函数在上单调递减，此时，符合题意； ②当时，，， 由零点存在定理知，，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有，不符合题意， 综上，正实数的最大值为 （3）方程实数根有且只有一个，理由如下： ， 所以，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即， 两边同时取对数得，， 而在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以，在上单调递减，所以 因为，且， 所以方程的实数根等价于的实数根， 设，其中，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 两边取对数得，，即， 又，且， 所以， 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即函数只有唯一零点， 故方程的实数根有且只有一个，即方程实数根有且只有一个. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨论得到的单调性， 第三问的关键是将方程的实数根等价于的实数根，构造函数，结合导数研究根的个数. 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性． (2)若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间； （2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解； ②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． （2）解：①因为函数，可得， 令，解得， 设，可得， 因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，故可作出的大致图象，如图所示， 结合图象可得，，即实数的取值范围为． ②由函数有两个零点，所以， 令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根， 只需证明， 不妨令，由得， 要证，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，原不等式成立． 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 14．（2024·天津·二模）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性； （3）由极大值，求出的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式. 【详解】（1）当时，，则， 又，则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （3）证明：由（2）可知，当时，存在极大值，且极大值为， 则，即， 整理得，从而，设，则． 令，所以， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 而，所以的根为， 从而． 因此，即证成立， 也就是证，即证， 也就是证，设，即证． 设， 当时，，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增． ，即恒成立， 恒成立． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$