专题02 函数及其性质（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题02 函数及其性质 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1函数奇偶性的应用 （5年1考） 2024天津卷：函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性； 1.函数奇偶性是函数的重要性质，主要考查奇偶函数的定义与奇偶函数的性质。 2.函数图像问题主要主要结合了函数的单调性与奇偶性，做这类问题时，需要通过函数的性质与特殊值进行结合. 3.指对运算是指对幂函数的知识点，考查难度比较简单，其中难度较高的是换底公式的灵活运用，在复习时，需要作为重点，反复练习. 4．指对比较大小的考点，需要节课函数的单调性与指对幂的化简，有时也结合函数的奇偶性等，难度有难有易，复习时需要把函数性质，数形结合作为重点复习方向. 5.函数零点问题，是重难点，几乎每年都会考查，难度系数高，涉及的知识面会很广，需要扎实的数学功底. 考点2 函数图像问题 （5年3考） 2025天津卷:函数图像的辨析 2023天津卷：函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式； 2022天津卷：函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性； 考点3指对运算 （5年2考） 2022天津卷：对数的运算、对数的运算性质的应用； 2021天津卷：运用换底公式化简计算； 考点4 指对比较大小 （5年5考） 2024天津卷：比较指数幂的大小、比较对数式的大小； 2023天津卷：比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小； 2022天津卷：比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小； 2021天津卷：比较指数幂的大小、比较对数式的大小； 考点5 函数的方程与零点问题 （5年5考） 2025天津卷:函数的零点所在区间的的判定 2024天津卷：函数与方程的综合应用根据函数零点的个数求参数范围、已知方程求双曲线的渐近线； 2023天津卷：根据函数零点的个数求参数范围； 2022天津卷：根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围； 2021天津卷：根据函数零点的个数求参数范围； 考点01 函数奇偶性的应用 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 考点02 函数图像问题 2.（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A．B．C．D． 4．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 考点03 指对运算 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 考点04 指对比较大小 7．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 10．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点05 函数的方程与零点问题 11.（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 12．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 14．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 15．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（2025·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 6．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津河东·二模）我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 10．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．B．C．D． 11．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 13．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数，则 ；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ． 14．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 15．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 16．（2025·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 17．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 18．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 19．（2025·天津和平·二模）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 20．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数及其性质 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1函数奇偶性的应用 （5年1考） 2024天津卷：函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性； 1.函数奇偶性是函数的重要性质，主要考查奇偶函数的定义与奇偶函数的性质。 2.函数图像问题主要主要结合了函数的单调性与奇偶性，做这类问题时，需要通过函数的性质与特殊值进行结合. 3.指对运算是指对幂函数的知识点，考查难度比较简单，其中难度较高的是换底公式的灵活运用，在复习时，需要作为重点，反复练习. 4．指对比较大小的考点，需要节课函数的单调性与指对幂的化简，有时也结合函数的奇偶性等，难度有难有易，复习时需要把函数性质，数形结合作为重点复习方向. 5.函数零点问题，是重难点，几乎每年都会考查，难度系数高，涉及的知识面会很广，需要扎实的数学功底. 考点2 函数图像问题 （5年3考） 2025天津卷:函数图像的辨析 2023天津卷：函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式； 2022天津卷：函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性； 考点3指对运算 （5年2考） 2022天津卷：对数的运算、对数的运算性质的应用； 2021天津卷：运用换底公式化简计算； 考点4 指对比较大小 （5年5考） 2024天津卷：比较指数幂的大小、比较对数式的大小； 2023天津卷：比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小； 2022天津卷：比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小； 2021天津卷：比较指数幂的大小、比较对数式的大小； 考点5 函数的方程与零点问题 （5年5考） 2025天津卷:函数的零点所在区间的的判定 2024天津卷：函数与方程的综合应用根据函数零点的个数求参数范围、已知方程求双曲线的渐近线； 2023天津卷：根据函数零点的个数求参数范围； 2022天津卷：根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围； 2021天津卷：根据函数零点的个数求参数范围； 考点01 函数奇偶性的应用 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 考点02 函数图像问题 2.（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，且， 函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误； 当时，函数单调递增，故B选项错误； 故选：D. 4．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A. 考点03 指对运算 5．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】原式 ， 故选：B 6．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 ，， . 故选：C. 考点04 指对比较大小 7．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 9．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故. 故答案为：C. 10．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， ，， . 故选：D. 考点05 函数的方程与零点问题 11.（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 12．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 13．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 14．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 15．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2025·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，且，则， 故，故选：D. 2．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是奇函数， 函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是； 对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是，故选：B 3．（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， 因为函数为偶函数，则，即， 可得对任意的恒成立，则，故选：B. 4．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，即； 又，所以，故选：D． 5．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，，所以满足，故选：C. 6．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，， ，即，， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即.故.故选：D. 7．（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， ，，且，故.故选：A. 8．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 9．（2025·天津河东·二模）我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 【答案】D 【解析】∵， ∴，∴是31位数. 故选：D. 10．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A 11．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点､两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 二、填空题 12．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 【答案】 【解析】由已知有，即， 则由，可得， 即，解得． 同理，有， 解得，或， 故，或， 因此． 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，不符合题意； 当时，有，不符合题意． 综上，方程所有解的和为． 13．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数，则 ；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 81 【解析】由，则， 所以. 作出函数在区间上的图象，如图所示： 设，由图象可知要使方程在区间上有3个不等实根， 则直线应位于与之间或直线的位置， 所以实数的取值范围为或，所以或. 14．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 15．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 16．（2024·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】,,． 【解析】依题意画出的图象如图所示： 因为函数， 所以， 当直线与相切时， 由，得， ，解得， 由图可知，①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意； ②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意； ③时，当经过函数图象上的点时，恰好经过函数图象上的点， 则要使方根恰有2个不同的实数根， 只需，即，故； ④当时，函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意； ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意． 综上，或． 所以的取值范围为：,,． 17．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 18．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，由可得， 可得， 所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由可得或， 结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根， ，由韦达定理可得，， 因为，则， 、为方程的两根，即方程的两根， ，可得，故， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 所以， 令，， 所以， 对任意的，，则， 即对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且，， 故当时，， 因此，的取值范围是. 19．（2025·天津和平·二模）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为恰有两个不同的零点，所以有2个交点， 先判断与交点的个数， 令，即，， 所以与无交点； 判断与交点的个数， ，即， 令，解得或， 所以当或，与有2个交点； 判断与交点情况， 令，即，解得或，其中， 所以与有2个交点； 判断与交点情况， ，即， 令，解得或， 当或时，与有2个交点； ①当时，与有2个交点， 如图所示，符合题意； ②当时，与有1个交点， 如图所示，不合题意； ③当时，如图所示，无交点，不符合题意； ④当时，如图所示，无交点，不符合题意； ⑤当时，如图所示，无交点，不符合题意； ⑥当时，， 如图所示，只有1个交点，不符合题意； ⑦当时，与有一个交点， 与有一个交点， 如图所示，符合题意； 综上所述，， 20．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若，则等价于，解得或， 当或时，函数是二次函数， 其零点不超过两个， 从而必然有且， 的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4， 如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点， 从而， 所以时，， 即，解得， 当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点， 从而， 所以时，， 即，解得或， 综上所述，所求为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$