8.1 《幂的运算》 积的乘方 2024--2025学年沪科版七年级数学下册

8.1幂的运算 ——积的乘方 一、学习目标 1、积的乘方的运算.（重点） 2、积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.（难点） 复习回顾 1.计算: （1） 10×102× 103 =______ ；（2） (x5 )2=_________. x10 106 2.（1）同底数幂的乘法 ：am·an= ( m，n都是正整数). am+n （2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）. amn 第2页 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 幂的乘方法则： (m，n都是正整数) 1 温故知新 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (m，n都是正整数) am×an=am+n 第3页 (m，n正整数) (m，n正整数) = amn (am)n = =(an)m am+n am×an 第4页 同底数幂的乘法和幂的乘方结果符号如何判定？ 1.负数的奇次方为负；偶次方为正 3.判断负号是否在括号内、括号外的次数是偶还是奇 2.负数和分数作为底数要加括号 若已知一个正方形的棱长为1.1x103cm,你能计算出它的体积是多少吗？ 情境导入 1.1x103cm 这个结果是幂的乘方形式吗？ 积的乘方如何运算呢？ (1.1x103)3 思考下面两道题: (1) (2) 我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律可以进行运算. 这两道题有什么特点？ 底数为两个因式相乘，积的形式. 这种形式为积的乘方 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ (ab)2 (ab)3 （乘方的意义） （乘法交换律、结合律） （同底数幂相乘的法则） (ab)2=(ab)(ab) =(aa)(bb) =a2b2 (ab)3=(ab)(ab)(ab) =(aaa)(bbb) =a3b3 猜一猜 (ab)n =? (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn 证明： 猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数). (ab)n=anbn (n为正整数) 推理验证 例1 计算 (1) (2a)3 (2)（-5b)3 (3) (xy2)2 (4) (-2x3)4 范例解析 先算积的乘方，再算幂的乘方，最后按四则混合运算顺序依次运算. 小组讨论 如何区分同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则？ 一、注意运算形式：同底数幂相乘是乘法运算，幂的乘方(积的乘方)是乘方运算； 二、注意法则：幂的乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘；积的乘方是先将各个因式先乘方再相乘. 三、新知探究 计算式子有什么共同特点，你能发现什么规律？ 理论推演 n个 n个 n个 积的乘方定义 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 积的乘方逆用 注：指数相同才能逆用法则！ 第5页 计算： 1、(-32)2 2、-(-b4)3 3、-(-a)2.(a2)3.(-a) 4、已知2x+5y=3，求4x×32y 第6页 填空,看看运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律? (1)（2×3)2= (2) (ab)2=(ab) •(ab)=(a•a) •(b•b)=a( )b ( ); (3) (ab)3= = =a ( )b( ). 思考： (ab)n=？ 2 合作探究 第7页 对于任意底数a,b与任意正整数n, n个ab n个a n个b (ab)n = (ab)•(ab)…(ab) = a •a• … •a • b•b• … •b = a n b n 第8页 我们有 (ab)n=anbn(n为正整数) 即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 第9页 例3 计算: (1) (2x)4 ; (2) (-3ab2 c3 ) 2 ; (3) (xy2)2 ; (4) (-2x3)4. 解: (1) (2x)4= 3 例题解析 24•x4 (2) (-3ab 2c 3 ) 2 = (-3)2• (a) 2 •(b2) 2 • (c 3 )2 =9• a2 b4c6 =16x4 第10页 例3 计算: (1) (2x)4 ; (2) (-3ab2 c3 ) 2 ; (3) (xy2)2 ; (4) (-2x3)4. 解: (3) (xy2)2= x2•(y2)2 =x2y4 (4) (-2x3)4= (-2)4•(x3)4 =16x12. 第11页 例4：球的体积公式是V= πr3(r是球的半径），已知地球的半径约为6.4×103km，求地球的体积（π取3.14） 第12页 已知xm=2 ,xn=3.求下列各式的值: (1)x m+n; (2) x2m•x2n; (3) x 3m+2n. 解: (1) x m+n=x m•x n=2×3= 6; (2) x2m•x2n=(x m )2•(x n)2=(2)2×32=4× 9 = 36 ; (3) x 3m+2n=x3m•x2n=(x m)3•(x n)2=( 2 )3×32 = 8× 9 = 72 4 思维延伸 第13页 5 巩固练习 完成课本49页练习1、2题 $$