暑假预习专题07 反证法（2知识+2题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题07 反证法 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式，(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 知识点1 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 知识点2 反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 考点一．反证法的概念辨析 例1（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 1-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 1-4（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 考点二．反证法证明 例2（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【分析】根据反证法证明的规则求解即可. 【详解】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 2-1（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2） 设，求证中至少有一个不小于． 2-2（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 2-3（23-24高一上·上海静安·阶段练习）（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 2-4设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 1．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 2．已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A．曲线与无公共点 B．曲线与至少有一个公共点 C．曲线与至多有一个公共点 D．曲线与的公共点的个数无法确定 3．如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”，那么首先假设方程 4．（反证法证明）设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 5．（反证法证明）用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程有实根． 6．（反证法证明）证明：是无理数. 1．（分析法证明、反证法证明）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 2．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 3．（反证法证明、集合新定义）设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（    ） A．当时，集合的积集 B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集 4．在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题07 反证法 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式，(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 知识点1 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 知识点2 反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 考点一．反证法的概念辨析 例1（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 1-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 1-4（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 考点二．反证法证明 例2（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【分析】根据反证法证明的规则求解即可. 【详解】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 2-1（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先假设均大于等于，则，再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明； （2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知矛盾，即得证. 【详解】解：（1）假设均大于等于， 则， 则， 且互不相同， ， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 这与均大于等于矛盾， 故假设不成立， 则且互不相同时， 中至少有一个小于． （2）， ， ， ， 则， 故， 假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于． 2-2（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可； （2）举例说明即可. 【详解】（1）不妨设， 记，，共13个数. 假设不存在满足条件的k， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而①， 又因为 ，这与①矛盾. 故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解. （2）例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 2-3（23-24高一上·上海静安·阶段练习）（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于； （2）已知，判断 “”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析 【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题； （2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论. 【详解】（1）证明：假设则， 与已知条件矛盾， 所以中至少有一个小于； （2）由（1） 可得“”可以推出“中至少有一个小于”， 反之不一定成立， 例如：，，，则， 所以“”是“中至少有一个小于”的充分非必要条件. 2-4设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数． 【答案】证明见解析 【分析】假设不是奇数，然后推出为偶数，这与题设矛盾，即可证. 【详解】证明：假设不是奇数，则是偶数，设， 则，因为，所以，则是偶数，即为偶数， 这与题设为奇数矛盾，所以假设不成立，即是奇数. 1．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 【答案】C 【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可. 详解：①的命题否定为，故①的假设正确. 或”的否定应是“且”② 的假设错误， 所以①的假设正确，②的假设错误，故选C. 点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定. 2．已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（    ） A．曲线与无公共点 B．曲线与至少有一个公共点 C．曲线与至多有一个公共点 D．曲线与的公共点的个数无法确定 【答案】A 【解析】利用反证法，假设曲线与有公共点，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线与有公共点，则和同时成立， ， 点在曲线上，这与已知条件点不在曲线上矛盾. 假设不成立， 所以曲线与无公共点. 故选：. 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义. 3．如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”，那么首先假设方程 【答案】没有实数根 【分析】考察反证法的一般步骤，先假设命题的否定是正确的 【详解】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实数根． 故答案为：没有实数根 4．（反证法证明）设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】证明见解析 【分析】结合数论知识以及反证法即可得证. 【详解】用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 5．（反证法证明）用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程有实根． 【答案】证明见解析. 【知识点】反证法的概念辨析 【详解】试题分析： 利用反证法，假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，则判别式的值均为负值，据此可得：，明显不存在这样的m，则原命题成立． 试题解析： 要证命题的否定为：关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根， 假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根， 则有△=25﹣4m＜0，且△′=1﹣8（6﹣m）=8m﹣47＜0． 解得m＞，且，矛盾， 故假设不正确，原命题得证． 点睛：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的． 6．（反证法证明）证明：是无理数. 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明 【分析】即证是无理数，假设是有理数，则可设，其中m与n是互素的正整数，推出矛盾，假设不成立，故是无理数. 【详解】因为，假设是有理数. 则可设，其中m与n是互素的正整数. 于是.两边平方，得.（*）， 所以是3的倍数. 又因为n是正整数， 所以n是3的倍数. 设（t为正整数）， 代入（*）式得， 所以是3的倍数. 又因为m是正整数， 所以m是3的倍数. 这与m与n是互素的正整数矛盾， 因此假设是有理数不成立. 即是无理数，故是无理数. 1．（分析法证明、反证法证明）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【答案】证明见解析； 【分析】（1）通过移项做差，利用分析法证明不等式即可. （2）利用反证法证明不等式即可. 【详解】（1）要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 2．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 3．（反证法证明、集合新定义）设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（    ） A．当时，集合的积集 B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集 【答案】C 【分析】利用积集的定义可判断A，设，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断B和C，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断D. 【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有， 即，故A错误； 对于B，设，不妨设， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误； 对于C，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，故D错误. 故选：C. 4．在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】由不等式的性质证明不等式、反证法证明 【分析】（1）假设是有理数，可设，互质，且，分析可知2为的公约数，即可得矛盾； （2）根据题意可得，假设均小于，可得，即可得矛盾. 【详解】（1）假设是有理数，可设，互质，且， 可得，可知为2的倍数，则为8的倍数， 可知为2的倍数，即2为的公约数， 这与互质相矛盾，所以是无理数. （2）因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$