精品解析：安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高二下学期5月联考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数的运算法则求出，再求出即可. 【详解】由题意得，，则5秒时刻加速度为. 故选：B. 2. 在单层书架上有五本书，分别是《三国演义（上）》，《三国演义（下）》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》，现要求《三国演义（上）》和《三国演义（下）》放在一起，那么不同的放书顺序有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法运算求解. 【详解】两本《三国演义》要相邻， 由捆绑法得放书顺序有种. 故选：C. 3. 设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 4. 高考数学试卷从2020年开始引入多选题的考查，多选题一般有多个选项正确，全部选对得满分，有选错的不得分.现已知一道多选题有四个选项，其中有三个是正确的，小明不会做这道题，他随机选了两个选项，则他该题不得分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意四个选项中有三个选项正确， 则随机选两个不得分的情况是选到了错误选项，其概率. 故选：B. 5. 已知数列的前n项和，前n项积记为，当取最大值时，n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，再根据增减性判断与的大小关系即可. 【详解】当时，， 又，符合上式，故， 又，故数列为递减数列， 又，故时，；时，， 故当取最大值时，n的值为4. 故选：C. 6. 若随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性得，，， ∴， 当且仅当时取等号. 故选：A. 7. 经医学研究发现长期饮食油腻可能导致肥胖.据调查，某地居民大约有30%的人有肥胖情况，而该地大约有40%的人长期饮食油腻，这些人的肥胖率大约为60%.现从平时不是长期饮食油腻的人中任意选取一位居民，则他有肥胖情况的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】运用全概率公式来求解条件概率. 【详解】设“任选一位居民长期饮食油腻”，“任选一位居民有肥胖情况”， 则由题意可得：，，，， 由全概率公式，得， 解得 . 故选：A. 8. 小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（ ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率，求导求出最值时的值. 【详解】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率， 故， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，取到最大值. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的极大值点为 D. 若有三个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，即可判断AB；结合函数极值点的定义判断C；结合零点的定义求解判断D. 【详解】由题意得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 且时，，时，，故AB正确； 当时，由以上分析可知的极大值点为，故C错误； 若函数有三个零点，则有，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 某位同学在研究两个变量x，y之间的关系时，得到一组样本数据，该同学准确计算得到这两个变量之间的经验回归方程为，且，该同学在校对过程中发现有两个样本数据，测量误差很大，去除这两个数据后，重新求得经验回归方程的斜率为2.2，则下列说法中正确的是（ ） A. 变量x，y之间呈正相关关系 B. 去除两个测量误差很大的样本数据后，新的经验回归直线过点 C. 去除两个测量误差很大的样本数据后，重新求得的经验回归方程为 D. 去除两个测量误差很大的样本数据后，数据的残差为0.2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率判断A，求出新数据的样本中心点，进而求出回归方程即可判断BC，根据残差的概念计算即可判断D. 【详解】因为，，所以变量x，y之间呈正相关关系，故A正确； 当时，，设原始数据有n个， 去除两个测量误差很大的样本数据后，，， 所以新的经验回归直线过点， 则新的经验回归方程为，故B正确，C错误； 当时，，则数据的残差为，故D错误. 故选：AB. 11. 计算机使用二进制对数据进行记录和运算.现用计算机随机生成一个位字符串，则被记录为：.现有如下定义：在位字符串中，与的计算机差值记为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 位字符串共有个 B. 若，则表示与相同 C. 从位字符串中任取两个不同的字符串，则其计算机差值的概率为 D. 从位字符串中任取两个不同的字符串，记随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得，每个字符有种，结合分步乘法计数原理判断A， 由，根据定义及绝对值性质判断B；根据古典概型概率公式求计算机差值的概率；判断C，确定 的可能取值，求取各值的概率，再由期望公式求. 【详解】由题意得，每个字符有种，位字符串共有个，故A错误； 若，则，即，，⋯，，与相同，所以B正确； 从位字符串中任取两个不同的字符串，则其计算机差值的概率为，故C正确； 从位字符串中任取两个不同的字符串，记随机变量，则的分布列为（）， 故的期望为，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则________. 【答案】8 【解析】 【分析】由二项分布的均值与方差，根据方差的性质，可得答案. 【详解】∵，∴，∴， 可得，∴. 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】6075 【解析】 【分析】对题干中的式子两边求导，代入得到答案. 【详解】对两边同时求导， 可得， 在该式中，令，可得. 故答案为：6075 14. 已知曲线，若直线（）与C交于A，B两点，直线与C交于M，N两点，其中A，M两点位于x轴上方，O为坐标原点，若的面积为，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数（）是奇函数，且，在和上单调递增，，的图象也关于原点对称，故A，B关于原点对称，M，N也关于原点对称，四边形为平行四边形，计算面积即可. 【详解】函数（）是奇函数，图象关于原点对称， 且，在和上单调递增， 直线，都是过原点的直线，图象也关于原点对称，如下图所示： 故A，B关于原点对称，M，N也关于原点对称，所以四边形为平行四边形， ∵，∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知数列为等差数列，且公差，其前项的和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先由等差数列的性质和等比中项求出公差，再由基本量法可得； （2）求出等差数列的前项和，再由列项相消法证明可得. 【小问1详解】 已知数列的公差为，由，，成等比数列得：， 即，∴， ∴，∴或， ∵，∴， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求其焦点坐标，由抛物线方程求抛物线焦点坐标，列方程求可得结论； （2）设点，，，结合导数几何意义求方程，证明A，B都在直线上，由此证明直线恒过定点，由此可求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【小问1详解】 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，∴， ∴，∴椭圆的焦点为， ∵抛物线C的焦点，，∴，∴， ∴抛物线C的方程为. 【小问2详解】 设点，，.由得， ∴抛物线C在A处的切线方程为， 同理抛物线C在B处的切线方程为， ∵切线，均过点，∴， ∴A，B都在直线上，即， ∴直线恒过定点， 由（1）知焦点， ∴F到直线的最大距离为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当为整数时，若恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增． （3）1． 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出，在由导数的几何意义即可得出答案. （2）对求导，分和，讨论与的正负即可得出的单调性； （3）将题意转化为在恒成立，设，求出的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，∴， ∵，∴， ∴曲线在处的切线方程为：． 【小问2详解】 的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递减； ②当时，令，得，令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 ∵，∴，即 设，则， 设，则， 设，则， 令，得；令，得． ∴时，为增函数，时，为减函数， ∴，即，∴在上为减函数. ∵， ∴，使， ∴时，，从而，为增函数； 时，，从而，为减函数； ∴的最大值为 由得， ∴， ∵，∴， ∴ ∴整数的最小值为1． 19. 某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. （1）求在第3局后即决出胜负的概率； （2）现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 【答案】（1）； （2） 甲的决策有三种方案， 方案一：3局即停止比赛，甲拿到奖金的期望为（元）； 方案二：进行第4局比赛，不管结果，结束比赛，设甲拿到奖金的期望为， 设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前3局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率． 再继续比赛，第4局甲获胜的概率为 ， 则第4局甲失败的概率为， 所以甲拿到奖金的期望（元）； 方案三：若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛，设甲拿到奖金的期望为， 由方案二知，第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（元）. 因为，所以选择方案二即四场比赛后即停止比赛，拿到奖金的期望更高. 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）根据已知分别求出3局即停止比赛、进行第4局比赛，不管结果，结束比赛、若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛对应的期望，比较大小得结论. 【小问1详解】 第3局后即决出胜负，即甲连胜三场或乙连胜三场， 所以第3局后即决出胜负的概率为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高二下学期5月联考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（ ） A. B. C. D. 2. 在单层书架上有五本书，分别是《三国演义（上）》，《三国演义（下）》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》，现要求《三国演义（上）》和《三国演义（下）》放在一起，那么不同的放书顺序有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 120种 3. 设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 高考数学试卷从2020年开始引入多选题的考查，多选题一般有多个选项正确，全部选对得满分，有选错的不得分.现已知一道多选题有四个选项，其中有三个是正确的，小明不会做这道题，他随机选了两个选项，则他该题不得分的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和，前n项积记为，当取最大值时，n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 若随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 7. 经医学研究发现长期饮食油腻可能导致肥胖.据调查，某地居民大约有30%的人有肥胖情况，而该地大约有40%的人长期饮食油腻，这些人的肥胖率大约为60%.现从平时不是长期饮食油腻的人中任意选取一位居民，则他有肥胖情况的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.4 8. 小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（ ） 0（小明） 1 2 3 4 5 6 7（奖品） 8 9 10 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的极大值点为 D. 若有三个零点，则 10. 某位同学在研究两个变量x，y之间的关系时，得到一组样本数据，该同学准确计算得到这两个变量之间的经验回归方程为，且，该同学在校对过程中发现有两个样本数据，测量误差很大，去除这两个数据后，重新求得经验回归方程的斜率为2.2，则下列说法中正确的是（ ） A. 变量x，y之间呈正相关关系 B. 去除两个测量误差很大的样本数据后，新的经验回归直线过点 C. 去除两个测量误差很大的样本数据后，重新求得的经验回归方程为 D. 去除两个测量误差很大的样本数据后，数据的残差为0.2 11. 计算机使用二进制对数据进行记录和运算.现用计算机随机生成一个位字符串，则被记录为：.现有如下定义：在位字符串中，与的计算机差值记为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 位字符串共有个 B. 若，则表示与相同 C. 从位字符串中任取两个不同的字符串，则其计算机差值的概率为 D. 从位字符串中任取两个不同的字符串，记随机变量，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则________. 13. 已知，则________. 14. 已知曲线，若直线（）与C交于A，B两点，直线与C交于M，N两点，其中A，M两点位于x轴上方，O为坐标原点，若的面积为，则的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知数列为等差数列，且公差，其前项的和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 17. 已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当为整数时，若恒成立，求的最小值. 19. 某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. （1）求在第3局后即决出胜负的概率； （2）现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $