广东省广州市知用学校2024-2025学年九年级下学期数学6月月考检测

1 2024学年第二学期6月检测题 九年级 数学（答卷） 注意事项 : 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名﹑班级﹑考生号、考 室填写清楚； 2．答题卷共8页； 3．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破； 4．请注意题号顺序，答案写在答题区域内； 5．不能使用计算器。 ........ 题 号 一 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 23 24 25 得 分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13. 14． 15． 16. 三、解答题(本大题共8小题，共72分，要求写出解答过程或演算步骤) 17.（本小题满分4分） 2 18．（本小题满分4分） 19.（本小题满分6分） 20. （本小题满分6分） （1）______；________ （2）______________ （3） （4） 3 21.(本题满分 8 分) （1）_______ （2）_______ 22.(本题满分 10 分) 4 23. (本题满分 10 分) 5 24. (本题满分 12 分) 6 7 25. (本题满分 12 分) 8 1 2024学年第二学期6月检测题 九年级 数学（参考答案） 一、选择题（本大题共 10题，每小题 3分。共 30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A A C B B C 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 x=5 91% 55° 1500 8 3 3 ②③④ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分，解答题写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17.(本题满分 4分) 计算：  60tan2 2 1231 02025 ）（）（  ． 【答案】 32 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，乘方以及零指数幂和绝对值的性质， 正确化简各数是解题关键． 利用二次根式的化简，乘方以及零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算即可． 【详解】 解：原式= 321)23(1  …………………………………………………3分 23 ……………………………………………………………………4分 2 18.(本题满分 4分) 如图，四边形 ABCD为菱形，点 E，F分别为边 DA，DC上的点，DE＝DF，连接 BE，BF， 求证：BE＝BF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接 BD，利用菱形的性质可得△EDB≌△FDB，可得结论． 【详解】证明：如图，连接 BD， 在菱形 ABCD中，∠ADB＝∠CDB， 在△EDB和△FDB中， DE DF EDB FDB BD BD      ， ∴ ( )EDB FDB SAS≌△ △ …………………………………………………………3分 ∴BE＝BF．…………………………………………………………………………4分 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握并利用 菱形的相关性质以及全等三角形的判定与性质进行求解． 3 19.(本题满分 6分) 若 T = 22 222 2 )( baba bab ba b     （1）化简 T （2）当 M（a,b）是 31  xy 和 x y 12  的交点时，求 T 的值 解：（1）T = 22 222 2 )( baba bab ba b     ))(( )())(( 22 baba ba ba bba ba b         )( )()( ba ba ba ab      ba ab   ba ab   ………………………………………………………………4分 （2）∵M（a,b）是 31  xy 和 x y 12  的交点 ∴b= -a+3 ； ab=1 ∴ 3 1    ba abT ……………………………………………………………6分 4 20.(本题满分 6分) 过半成年人超重或肥胖，我国肥胖防控已刻不容缓．国家卫健委等多个部门去年 6 月和今年 两会期间多次提及“体重管理年”计划．国际上常用身体质量指数“BMI ”作为衡量人体 体重健康状况的一个指标，其计算公式为 2BMI m h = （m表示体重，单位： kg； h表示身 高，单位：m），BMI 数值标准为： 16BMI  为瘦弱（不健康）；16 18.5BMI£ < 为偏瘦： 18.5 24BMI< < 为正常；24 28BMI  为偏胖； 28BMI  为肥胖（不健康）．我校为了 解中学生的体重健康情况，随机抽取了 40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“BMI ” 数据，结果如下统计图及表格所示． 身体属性 人数 瘦弱 3 偏瘦 8 正常 11 偏胖 9 肥胖 n （1） a _____，b  _____， n  _____； （2）身高样本数据的中位数所在的范围是_____． （3）已知该校九年级有学生 640 人．请估计该校九年级学生偏胖的人数； （4）小慧身高 1.60m，BMI 值为 30，她想通过健身减重使自己的 BMI 值达到正常，则她 的体重至少需要减掉多少 kg？（结果精确到1kg） 【答案】（1）a=10，b=54，n=9 （2）1.60~1.70【解析】 （3）估计该校九年级学生偏胖的人数是 144 人； （4）体重至少需要减掉 16 kg . 解：（1）a=40-6-12-12-10=10……………………………………………………… 1分 b=6÷40×360=54°…………………………………………………………2分 （2）中位数是第 20，第 21位的数据的平均值，则落在“1.60~1.70”………… 3分 （3）n=40-3-8-11-9 9÷40×640=144人…………………………………………………………4分 5 答：估计该校九年级学生肥胖的人数是 144 人； （4）∵ 2 1 6.1 30 m ， 2 2 6.1 24 m ∴ 8.761 m ， 44.612 m ∴ 36.1521 mm 答：体重至少需要减掉 16kg…………………………………………………6分 6 21.(本题满分 8分) 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似 三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展 开了测量物体高度的学习． （1）如图 1，若垂直于地面的标杆 2OP  米，它的影长 1OG  米，同一时刻，旗杆的影 长 6HN  米，则旗杆MN的高度为______米； （2）如图 2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆 AB的高度，但受围墙的阻碍，没 办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的 2米标 杆OC的端点 C的影子恰好与电线杆 AB的端点 A的影子重合于点 E，测得 2.2OE  米； ②把标杆缩短为 1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点 D的影子恰好与电线杆 AB的端点 A的影子重合于点 F，测得 1.2OF  米．请求出电线杆 AB的高度． 【答案】（1）12 （2）10米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出 PGO MHN∽ ，得到 MN HN PO GO  ，然后代数求解即可； （2）证明出 FDO FAB∽ ，得到 DO AB OF FB  ，推出 AB FB ，然后表示出 1EB AB  ， 同理证明出 ECO EAB∽ ，得到 AB EB CO EO  ，然后代数求解即可． 【小问 1详解】 解：∵ PG MH∥ ， ∴ PGO MHN  ， 又∵ 90POG MNH   ， ∴ PGO MHN∽ ， 7 ∴ MN HN PO GO  ， ∴ 6 2 1 MN  ， ∴ 12MN  ； 故答案为：12；……………………………………………………………………2分 【小问 2详解】 解：∵CD EB ， AB EB ， ∴CO//AB， ∴ FDO FAB∽ ， ∴ DO AB OF FB  ，即 1.2 1 1.2 AB FB   ， ∴ AB FB ，………………………………………………………………………4分 ∴ 1.2BO FB OF AB    ， ∴ 2.2 1.2 1EB EO OB AB AB       ，………………………………………6分 ∵CO//AB ∴ ECO EAB∽ ， ∴ AB EB CO EO  ，即 1 2 2.2 AB AB   ， ∴ 10AB  ，………………………………………………………………………8分 ∴电线杆 AB的高度为 10米． 8 22.(本题满分 10 分) 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔 槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分 析，发现 2L 的长度 cmy 和重物 B的质量 xN之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： / Nx … 10 16 20 25 40 50 … / cmy … 8 5 4 3.2 2 1.6 … （1）在图 1中描出表中数据对应的点  ,x y ； （2）根据表中数据，从  0y ax b a   和  0ky k x   中选择一个函数模型，使它能近 似的反映重物 B的质量为 xN和 2L 的长度为 cmy 的函数关系，并求出这个函数的解析式（不 要求写出 x的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若点A的坐标为  20,0 ，点 B的坐标为  0,2 ，在（2）中所求函 数的图象上存在点C，使得 40ABCS △ ，请求出所有满足条件的点C的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 80y x  （3）满足条件的点C的坐标为  20,4 或  40,2 【解析】 9 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将  10,8 代入  0ky k x   得8 10 k  ，求出 80k  ，得到函数的解析式为 80y x  ； （3）设 80,C a a       ，连接 , ,BC AC OC，得到 800 20 40a a    ，求出 1 220, 40a a  ， 即可得到答案． 【小问 1详解】 解：如图， …………………………………………………………………………………… 2分 【小问 2详解】 解：将  10,8 代入  0ky k x   得8 10 k  ， 80k  ， 函数的解析式为 80y x  ；…………………………………………………………4分 【小问 3详解】 解：点A的坐标为  20,0 ，点 B的坐标为  0,2 ，C为反比例函数 80y x   0x  上一点， 设 80,C a a       ， 如图，连接 , ,BC AC OC， 10 ABC OBC OAC OABS S S S    1 1 80 12 20 20 2 2 2 2 a a          800 20a a    ，  40ABCS △ ，  800 20 40a a    ， 解得 1 220, 40a a  ， 经检验 1 220, 40a a  是原方程的根，………………………………………………8分 当 20a  时， 80 4 20  ，  20,4C ，………………………………………………………………………9分 当 40a  时， 80 2 40  ，  40,2C ，………………………………………………………………………10 分 综上所述，满足条件的点C的坐标为  20,4 或  40,2 11 23.(本题满分 10 分) 如图，在 ABCV 中， C 是钝角，以 AB上一点 O为圆心， AC为弦作 O． （1）在图中作出 O交 AB于点 D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 BCD A  ． ①求证： BC是 O的切线； ② 2tan 3 A  ， 6BC  ，求弦 AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②15 13 13 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知 识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作线段 AC的垂直平分线交 AB于点 O，以 O为圆心，OA为半径作 O交 AB于点 D； （2）①连接OC，证明OC CB 即可； ②证明 CBD ABC∽△ △ ，推出 CD BC BD AC AB BC   ，因为 2tan 3 CDA AC    ， 6BC  ，所 以 9AB  ，因为 2BC BD BA  ，所以 4BD  ，推出 AD AB BD   5，设 2CD k ， 3AC k ，则有 2 24 9 25k k  ，求出 k，即可解决问题． 【小问 1详解】 解：如图， O，点 D即为所求； ……………………………………………………………………………………2分 12 【小问 2详解】 ①证明：连接OC， ∵ AD是直径， ∴ =90ACD ， ∴ 90A ADC   ， ∵OC OD ， ∴ ODC OCD   ， ∴ 90A OCD    ， ∵ DCB A  ， ∴ 90DCB OCD    ， ∴ 90OCB  ， ∴OC BC ， ∵OC是半径， ∴ BC是 O的切线；………………………………………………………………6分 ②解：∵ B B   ， DCB A  ， ∴ CBD ABC∽△ △ ， ∴ CD BC BD AC AB BC   ， ∵ 2tan 3 CDA AC    ， 6BC  ， ∴ 9AB  ， ∵ 2BC BD BA  ， ∴ 4BD  ， ∴ 5AD AB BD   ， 设 2CD k ， 3AC k ，则有 2 24 9 25k k  ， ∴ 5 13 13 k  （负根已经舍去）， ∴ 5 13 13 AC  ．…………………………………………………………………10 分 13 24.(本题满分 12 分) 解： 抛物线 与 x轴交于 A，B两点 点 B在 x轴正半轴 ，与 y轴 交于点 C，连接 BC， ， ， ， ， ， ， 将 ， 代入抛物线 得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为： ………………………………………………………2 分 过点 E 作 于点 M，点 D 作 于点 N，如图： 的面积为 ， ， 的面积为 ， 14 ， ， 设直线 BC 的解析式为 ，将 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 BC 的解析式为 ， 设 ，则直线 OE 的解析式为 ， 设 ，则直线 OD 的解析式为 ， 即 ， 整理得： ， 则 ， ， 故当 时， 有最大值为 ， 即 的最大值是 ………………………………………………………………………………7分 抛物线的解析式为： ， 整理得： ， 故顶点 ； 连接 QN 和 PN，过点 P 作 与点 H，如图： 15 设直线 PG 的解析式为： ，将 代入求得： ， 故直线 PG 的解析式为： ； 直线 PG 与直线 ： 交于点 F， 将点 F的纵坐标 代入 ， 得： ， 解得： ， 故 ， 则点 Q的横坐标 ，故 ， ； 直线 PG 与抛物线交于 P，G 两点， 则 ， 整理得： ， 故 ， ， ， 16 即点 P的横坐标 ，故 ， ； ， ， ，M 为 PQ 的中点， ， 即 ， ， ； 在 中， ， 在 中， ， 即 ， ， 又 ， ， ， 故 ， 即 为直角三角形， 又 为 PQ 的中点， 是 斜边上的中线， ………………………………………………………………………………12 分 【解析】 根据抛物线解析式可得 ，根据等角对等边推得 ， ，待定 17 系数法即可求得抛物线的解析式； 过点 E作 于点 M，点 D作 于点 N，根据三角形的面积公式可推得 ，待定系数法求直线 BC的解析式为 ，设 ，求得直线 OE的 解析式为 ，设 ，求得直线 OD的解析式为 ，根据 ，推得 ，根据二次函数的性质可得当 时， 有最大 值为 ，即可求得； 根据抛物线的性质可求得顶点 ，连接 QN和 PN，过点 P作 与点 H，待定 系数法求直线 PG的解析式为： ，求得直线 PG与直线 的交点坐标为 ，求得 ，根据直线 PG与抛物线交于 P，G两点，求得 ， ， ，根据平行线分线段成比例公理可求得 ，根据正切的定义推得 ，根据等角的余角相等可得 ，推得 ，根据中线的判定可得 MN是 斜边上的中线， 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明 本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析 式，二次函数的性质，平行线分线段成比例公理，正切的定义，余角的性质，中线的判定， 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得 是解题的关 键． 25.(本题满分 12 分) 18 如图 1，矩形 ABCD，点 E在射线 AB上，将 AED△ 沿 ED翻折，使得点 A与点 G重合， 连接 AG交 DE于点 F． （1）求证： AF FG ． （2）如图 2，若点 G落在 BC边上，且 1, 6EF DG  ，求 BE的长． （3）如图 3，点 P为 BG中点，连接 AP， 6 4AD AB ， ，点 E在射线 AB上运动过程 中，求 AP长的最大值． 【答案】（1）见解析 （2） 3 3 （3）3 13 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到 DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，结合 DF=DF，证明 △ADF≌△GDF即可． （2）证明△ADF∽△EDA，求得 DF、AE=EG的长，再利用三角函数，确定 DC=AB= 2 BG， 再利用勾股定理计算即可． （3）连接 BD，取 BD的中点 O，连接 OA，OP，根据中位线定理计算 OP=3，根据勾股定 理计算 BD= 2 13，利用直角三角形斜边上的中线性质，计算 AO= 13，根据两点之间线 段最短，得到 AO+OP≥AP，计算最大值即可． 【小问 1详解】 ∵ AED△ 沿 ED翻折，使得点 A与点 G重合，AG交 DE于点 F， ∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°， ∵DF=DF， ∴△ADF≌△GDF， ∴AF=FG．…………………………………………………………………………2分 【小问 2详解】 19 ∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴∠DAE=90°， ∵ AED△ 沿 ED翻折，使得点 A与点 G重合，AG交 DE于点 F， ∴∠AFD=90°， ∵∠ADF=∠EDA， ∴△ADF∽△EDA， ∴ AD DF ED AD  ， ∴ 2( )DF DF EF AD  ， ∴ 2 6 0DF DF   ， 解得 DF=2或 DF=-3（舍去）， 故 DE=DF+EF=3, ∴AE= 2 2 2 23 ( 6)ED AD   = 3 =EG， ∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴∠DAE=∠B=90°， ∵ AED△ 沿 ED翻折，使得点 A与点 G重合，AG交 DE于点 F， ∴∠EGD=90°， ∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°， ∴∠DGC=∠BEGO， ∴sin∠DGC= sin∠BEG， ∴ DC BG GD EG  ， ∴ 6 2 3 DC DG BG EG    ， ∴DC=AB= 2 BG， ∴BE=AB-AE= 2 3BG  ， 20 ∴ 2 2 2 2( 2 3) ( 3)BG BG EG    ， 解得 BG= 2 6 3 或 BG=0（舍去）， ∴BE= 2 6 32 3 3 3    ．………………………………………………………8分 【小问 3详解】 如图，连接 BD，取 BD的中点 O，连接 OA，OP，则 OP是△BDG的中位线， ∴OP= 1 1 1 6 3 2 2 2 DG AD    ． ∵四边形 ABCD是矩形，且 AD=6，AB=4， ∴BD= 2 2 2 24 6 2 13AD AB    ， ∵AO是直角三角形 ABD斜边 BD上的中线， ∴AO= 1 1 2 13 2 2 DB   = 13， 根据两点之间线段最短，得到 AO+OP≥AP， 当 A、O、P三点共线时，AP最大，最大为3 13 ．………………………………12 分 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的相似，勾股定理，三角函数，线段 21 最短原理，三角形中位线定理，熟练掌握折叠性质，三角形相似，三角函数，勾股定理是解 题的关键． 22 1.在 3.14， 7 11  ，0 , 3 这四个数中，无理数是（ ） A. 7 11  B. 0 C. 3.14 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的定义，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的 关键． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：3.14， 7 11  ，0是有理数， 3 是无理数， 故选：D． 2.中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名 录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面 内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平 面内，把一个图形绕着某个点旋转 180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这 个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选 D． 3.“可燃冰”是种新型能源，它的密度很小， 31cm 可燃冰的质量仅为0.00092kg，用科学 记数表示0.00092正确的是( ) A. 49.2 10 B. 4 9.2 10 C. 59.2 10 D. 23 59.2 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10 na  ，其中1 10a  ， n为整数． 【详解】解： 40.00092 9.2 10 ． 故选：B． 4.已知一组数据 33，42，42，4●，51，68，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于这 组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是 42，据此解答即可． 【详解】解：A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题 意； B、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关， 故本选项不符合题意； C、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数， 跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； D、数据中出现次数最多的数是 42，即众数是 42，与被涂污数字无关；故本选项不符合题 意； 故选：D． 5.如图是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 PA， PB分别相切于点 24 ,A B，不倒翁的鼻尖正好是圆心 O，若 25OAB  ，则 APB 的度数为（ ）． A. 50 B. 60 C. 25 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质及切线长定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．由切线 的性质了的 90PAO  ，由此得出 65PAB PAO OAB     ，再由切线长定理可 得 PA PB ，再由三角形内角和即可求出 APB 的度数． 【详解】∵ PA切 O于点A，OA是半径， ∴ PA OA ， ∴ 90PAO  ， ∵ OAB PAB PAO    ， ∴ 65PAB PAO OAB     ， ∵ PA PB、 分别切 O于点 A B、 ， ∴ PA PB ， ∴ 65PBA PAB     ， ∵ 180PAB PBA APB    ， ∴ 180 65 65 50APB       ． 故选：A． 6.赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛 程为 500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知 A队的平均速度是 B队的1.25倍，结果 A队比 B队提前了 25秒到达终点，若设 B队的平均速度是 x米/秒，可列方程为（ ） A. 500 500 25 1.25x x   B. 500 500 25 1.25x x   C. 500 500 25 1.25 60x x   D. 500 500 25 1.25 60x x   25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设 B队的平均速度是 x米/秒，则 A队的平 均速度是1.25x米/秒，根据时间等于路程除以速度分别表示出两队的时间，再根据 A队比 B 队提前了 25秒到达终点建立方程即可． 【详解】解：设 B队的平均速度是 x米/秒，则 A队的平均速度是1.25x米/秒， 由题意得， 500 500 25 1.25x x   ， 故选：A． 7.已知二次函数 422  xxy ，当 22  x 时，y 的取值范围是（ ） A. 44  y B. 44  y C. 45  y D. 45  y 【答案】C 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出 x=-3、x=0时 y的值，就可顶点 y的取值范 围． 【详解】 2 2 4y x x   = 2( 51)x   ， ∵1>0， ∴图象开口向上，当 x=—1时，y有最小值—5， 当 x=—2时，y=—4；当 x=2时，y=4， ∴当 22  x 时， y的取值范围是 45  y ， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函 数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略． 8. 有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如图①， 26 将 A，B 并排放置后构造新的正方形如图②，若图① 和图②中阴影部分的面积分别为 1 4 和 13 4 ，则正方形 A，B 的面积之和为（）． A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，列出等式，根据完全平方运算，得到答案 【详解】解：设 A 的边长是 a，B 的边长是 b 图 1： 4 12  ）（ ba ，得 4 1222  abba 图 2： 4 13222  ）（）（ baba ，得 4 132 ab ∴ 4 1 4 1322  ba ∴ 5.3 4 1422  ba 故选：B 9.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的 x值为 81，我们看到第一次输出的结果为 27．第二次输出的结果为 9，…，第 2025次输出的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第 1次， 1 81 27 3   ， 第 2次， 1 27 9 3   ， 第 3次， 1 9 3 3   ， 27 第 4次， 1 3 1 3   ， 第 5次，1 2 3  ， 第 6次， 1 3 1 3   ， ， 依此类推，从第 4次开始以 1，3循环， ∵ 10112)32025(  ∴第 2025 次输出的结果为 3． 故选：B 【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解本题的关键． 10. 如图，在⊿ABC 中， 90BAC  ，M，N 分别是 BC，BA 上的点且MN AB ，将 ⊿BMN 沿着直线 MN 对叠，得到⊿DMN，点 B 落在射线 BA 上，对应点为 D．设 BN x ，已知 8 4AB AC ， ，⊿DMN 与⊿ABC 重叠部分的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A B. C D. 28 29 11.方程 2 1 0 3 1x x     的解为__________ 【答案】 5x  【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先将分式方程两边同时乘以   3 1x x  化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检 验即可求解． 【详解】解： 2 1 0 3 1x x     ，    2 1 3 0x x    ， 2 2 3 0x x    2 2 3x x   5x  ， 检验：当 5x  时，    3 1 0x x   ， ∴分式方程的解为： 5x  ， 故答案： 5x  ． 12.2024年 11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中 国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种 152个．某科学研究院为研究一 类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品 种苹果树成活的概率为____________ 移植总数 n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 m n 94% 87% 92% 90% 90% 91% 91% 91% 91% 【答案】 91% 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复 实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟 练掌握用频率估计概率的条件和方法是解题的关键． 30 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数 越多的频率越接近于概率， ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为 91%， 故答案： 91%． 13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点 P，点 F 为焦点．若 1 155 , 2 30     ，则 3 的度数为_____________ 【答案】55 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵ AB OF∥ ， ∴ 1 180BFO   ， ∴ 180 155 25BFO     ， ∵ 2 30POF   ， ∴ 3 30 25 55POF BFO       ； 故答案：55． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 1 2024学年第二学期6月检测题 九年级 数学（问卷） 本卷 7 页, 共 25 题,满分 120,考试时间 120 分钟.不能使用计算器,所有答案都要写在 答卷上,写在问卷上的答案无效. 一、选择题(本大题共 10 小题,每个小题 3分,每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.在 3.1415 ， 7 11  ，0 , 3 这四个数中，无理数是（ ） A. 3.1415 B. 7 11  C. 0 D. 3 2.中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名 录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心 对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “可燃冰”是种新型能源，它的密度很小， 31cm 可燃冰的质量仅为 0.00092kg，用科学 记数表示 0.00092 正确的是( ) A. 3102.9  B. 4102.9  C. 5102.9  D. 6102.9  4.已知一组数据 33，42，42，4●，51，68，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于这 组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 5.如图，是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 PA，PB 分别相 切于点 A,B，不倒翁的鼻尖正好是圆心 O，若∠OAB=25°，则∠APB 的度数为（ ）． A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 6. 龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙 舟赛的赛程为 500 米，A，B 两队在同一起点同时出发，已知 A队的平均速度是 B队的 1.25 倍，结果A队比 B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（ ） A. 500 500 25 1.25x x   B. 500 500 25 1.25x x   C. 500 500 25 1.25 60x x   D. 500 500 25 1.25 60x x   7.已知二次函数 422  xxy ，当 22  x 时，y 的取值范围是（ ） A. 44  y B. 44  y C. 45  y D. 45  y 2 8.有两个正方形 A，B，现将 B放在 A 的内部如图①， 将 A，B 并排放置后构造新的正方形如图②，若图① 和图②中阴影部分的面积分别为 1 4 和 13 4 ，则正方形 A，B 的面积之和为（）． A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 9.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的 x 值为 81， 我们看到第一次输出的结果为 27．第二次输出的结果为 9，…，第 2025 次输出的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 10. 如图，在⊿ABC 中，∠BAC=90°，M，N 分别是 BC，BA 上的点 且 MN⊥AB，将⊿BMN 沿着直线 MN 对叠，得到⊿DMN，点 B 落在射 线 BA 上，对应点为 D．设 BN=x，已知 AB=8,AC=4，⊿DMN 与⊿ABC 重叠部分的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A B. C D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.方程 3 2 1 1    xx 的解为____________. 12. 2024 年 11 月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前， 中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种 152 个．某科学研究院为研究 一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新 品种苹果树成活的概率为____________. 移植总数 n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 m n 94% 87% 92% 90% 90% 91% 91% 91% 91% 13.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点 P，点 F 为焦点．若∠1=155°，∠2=30°，则∠3 的度数为____________. 3 14.如图，已知一块圆心角为 216°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不 计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是 60cm，则它的侧面积是_____ 2cm ．（结果用 表示） 15.如图，⊿ABC 中的边 AB与 x轴重合，已知点A的坐标为（2，0），∠ABC=90°，∠CAB=30°．将 ⊿ABC 中绕点A逆时针旋转 60°得到⊿ADE 中（点 B，C 的对应点分别为点 D，E），若点 C， E都在反比例函数  0ky k x   的图象上，则 k 的值为________． 16. 如图，E 是线段 AB 上一点，⊿ADE 和⊿BCE 是位于直线 AB 同侧的两个等边三角形，点 P,F 分别是 CD，AB 的中点．若 AB=4，则下列结论正确的有．．．．______．（填序号） ①PA+PB 的最小值为3 3；②PE+PF 的最小值为 2 3；③⊿CDE 周长的最小值为 6；④四边 形 ABCD 面积的最小值为3 3． (第13题) (第14题) (第 15 题) (第 16 题) 三、解答题(本大题共 9小题,共 72分,解答题应写出必要的文字说明,推理过程或演算步骤) 17. (本题满分 4 分) 计算：．  60tan2 2 1231 02025 ）（）（  18.(本题满分 4分) 如图，四边形 ABCD 为菱形，点 E，F 分别为边 DA，DC 上的点， DE＝DF，连接 BE，BF 求证：BE＝BF 4 19.(本题满分 6分) 若 T = 22 222 2 )( baba bab ba b     （1）化简 T （2）当 M（a,b）是 31  xy 和 x y 12  的交点时，求 T 的值 20.(本题满分 6分) 过半成年人超重或肥胖，我国肥胖防控已刻不容缓．国家卫健委等多个部门去年 6 月和今年 两会期间多次提及“体重管理年”计划．国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体体 重健康状况的一个指标，其计算公式为 2BMI m h = （m表示体重，单位：kg；h表示身高， 单位：m），BMI 数值标准为：BMI＜16 为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5 为偏瘦：18.5≤ BMI＜24 为正常；24≤BMI＜28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖（不健康）．我校为了解中学生的体 重健康情况，随机抽取了 40 名学生体检结果的身高和身体质量指数“BMI ”数据，结果 如下统计图及表格所示． 身体属性 人数 瘦弱 3 偏瘦 8 正常 11 偏胖 9 肥胖 n （1） a _____，b  _____； （2）身高样本数据的中位数所在的范围是_____． （3）已知该校九年级有学生 640 人．请估计该校九年级学生肥胖的人数； （4）小慧身高 1.60m，BMI 值为 30，她想通过健身减重使自己的 BMI 值达到正常，则她的 体重至少需要减掉多少 kg？（结果精确到 1kg） 5 21.(本题满分 8分) 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似 三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展 开了测量物体高度的学习． （1）如图 1，若垂直于地面的标杆 OP=2 米，它的影长 OG=1 米，同一时刻，旗杆的影长 HN=6 米，则旗杆 MN 的高度为______米； （2）如图 2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆 AB 的高度，但受围墙的阻碍，没办 法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的 2 米标杆 OC 的端点 C的影子恰好与电线杆 AB 的端点 A 的影子重合于点 E，测得 OE=2.2 米；②把标杆 缩短为 1.2 米，记作 OD，过了一段时间，标杆 OD 的端点 D 的影子恰好与电线杆 AB 的端点 A 的影子重合于点 F，测得 OF=1.2 米．请求出电线杆 AB 的高度． 22.(本题满分 10 分) 如图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔 的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析， 发现 2L 的长度 y(cm)和重物 B的质量 x(N)之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 6 / Nx … 10 16 20 25 40 50 … / cmy … 8 5 4 3.2 2 1.6 … （1）在图 1 中描出表中数据对应的点(x,y)； （2）根据表中数据，从你所学的函数中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物 B 的质 量为 x(N)和 2L 的长度为 y(cm)的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 x的取 值范围）； （3）在（2）的条件下，若点 A 的坐标为（20，0），点 B 的坐标为（0，2），在（2）中所求 函数的图象上存在点 C，使得 40ABCS △ ，请求出所有满足条件的点 C的坐标． 23.(本题满分 10 分) 如图，在⊿ABC 中，∠C 是钝角，以 AB 上一点 O为圆心，AC 为弦作⊙O． （1）在图中作出⊙O 交 AB 于点 D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若∠BCD=∠A． ①求证：BC 是⊙O 的切线； ② 2tan 3 A  ，BC=6，求弦 AC 的长． 24.(本题满分 12 分) 已知抛物线 )0(32  abxaxy 与 x 轴交于 A，B两点(B 在 x 轴正半轴)，与 y 轴交于点 C，连接 BC，AB=4，∠BCO=45° （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在点 B，C 之间的抛物线上运动（不与点 B，C 重合），连接 OD 交 BC 于点 E，连 接 CD,记⊿CDE，⊿COE 的面积分别为 ， ，求 的最大值； （3）已知抛物线的顶点的为 G，过点 G 的直线 l 与抛物线的另一个交点为 P，直线 l 与直线 ： 交于点 F，过点 F作 的垂线，交抛物线于点 Q，过 PQ 的中点 M作 于点 N 求证： 7 25.(本题满分 12 分) 如图 1，矩形 ABCD，点 E 在射线 AB 上，将⊿AED 沿 ED 翻折，使得点 A 与点 G 重合，连接 AG 交 DE 于点 F． （1）求证：AF=FG． （2）如图 2，若点 G落在 BC 边上，且 EF=1,DG= 6 ，求 BE 的长． （3）如图 3，点 P 为 BG 中点，连接 AP，AD=6,AB=4，点 E 在射线 AB 上运动过程中，求 AP 长的最大值．