精品解析：江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高二下学期5月第二次段考数学试题

2024-25学年下学期临江高中高二年级第二次段考（数学）试题 命题人：步燕芳 审核人：甘春 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知,则 A. B. C. 或3 D. 2. 五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 3. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A. 210种 B. 630种 C. 1260种 D. 1890种 6. 某袋中装有 3 个白球，2 个红球. 先从中随机摸出一个球，观察颜色后放回，并加入 3 个 与该球同色的球，再从袋中摸出一个球，则第二次摸出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_________． 14. 某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数， ． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． （1）求n的值； （2）展开式中的有理项共有几项？ （3）展开式中系数最大的项是第几项？ 18. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 19. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-25学年下学期临江高中高二年级第二次段考（数学）试题 命题人：步燕芳 审核人：甘春 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知,则 A. B. C. 或3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算． 【详解】 当时成立； 当时也成立； 故选C. 【点睛】本题考查组合数公式及排列数公式的计算问题，属于基础题． 2. 五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 【答案】D 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数. 【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种. 故选：D 3. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关，即. 故选：A. 4. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 5. 现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A. 210种 B. 630种 C. 1260种 D. 1890种 【答案】B 【解析】 【分析】将7个小球按分成3组，再放到3个不同盒子里即可. 【详解】将7个小球按分成3组，有种分法， 再将每种分法的3组小球放到3个不同盒子里有种方法， 所以不同的放法种数是. 故选：B 6. 某袋中装有 3 个白球，2 个红球. 先从中随机摸出一个球，观察颜色后放回，并加入 3 个 与该球同色的球，再从袋中摸出一个球，则第二次摸出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件表示第一次摸出红球，事件表示第二次摸出的是白球，利用全概率公式能求出第二次摸出的是白球的概率． 【详解】设事件表示第一次摸出红球，事件表示第二次摸出的是白球， 则第二次摸出的是白球的概率为： ． 故选：A． 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式计算可得. 【详解】因为，即， 又，， 所以，故A错误； 又，故B正确； ，故D错误； ，故C错误. 故选：B 8. 设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的单调性可得，进而根据组合数的计算求解. 【详解】由题意可得或， 故，解得， 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量和满足，且，则，A错； 对于B选项，随机变量，， 则，B对； 对于C选项，因为随机变量，则，C对； 对于D选项，在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为， 所以，D错. 故选：BC. 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，结合直线方向向量和平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求指定区间上的概率. 【详解】因为，故，故， 故答案为： 14. 某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解. 【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式， 不满足题意的安排方式： 第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式， 综上，满足条件的安排方式共有：种， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），客户人数为55; （2）有把握. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出经验回归方程，再预测结果. （2）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. 【小问1详解】 由表中的数据知，，， ， ，，， 不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为， 当x＝8时，， 所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55. 【小问2详解】 零假设：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得， 所以有99%的把握认为满意度与性别有关. 16. 已知函数， ． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）确定定义域，求导函数，令解出不等式即可求单调区间； （2）法一：参变分离得，再对函数进行求导分析，根据其单调性确定最值即可解得. 【小问1详解】 定义域为，， 令得，令得， 所以的增区间为， 减区间为． 【小问2详解】 法1： 因为，所以， 即， 令， 因为在单调递增且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故当时，， 所以． 17. 已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． （1）求n的值； （2）展开式中的有理项共有几项？ （3）展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】（1）20； （2）11； （3）6. 【解析】 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项. 【小问1详解】 依题意，，则，整理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为有理项，共有11项. 【小问3详解】 由在上单调递减， 当时，，当时，，则， 所以展开式中系数最大的项是第6项. 18. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 【答案】（1）丙投篮水平较高， 理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得，解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据独立事件的概率公式可得出关于、、的方程组，解出这三个概率的值，比较大小后可得出结论； （2）记组投中次数为，组投中次数为，由（1）知，，若组获胜，则，或，或，，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得组获胜的概率. 【小问1详解】 丙投篮水平较高，理由略. 【小问2详解】 记组投中次数为，组投中次数为， 由（1）知，， 若组获胜，则，或，或，， 所以，， ， . 故组获胜的概率为 . 19. 如图，在直三棱柱中，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以 又因为，，平面， 所以平面 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解； ②中根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设, 设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的法向量， 所以，解得 所以， 所以 设与平面所成角为，则 ②因为， 所以 因为三棱锥的体积为， 所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设, 到平面的距离为， 即轨迹方程为，而, 所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $