专题1.1（3） 菱形的性质与判定（专项练习）（拓展培优）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1（3） 菱形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 2．（2023·河南郑州·三模）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，对于线段，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：（1）以点A为圆心，以大于的长为半径作弧；（2）以点B为圆心，以小于的长为半径作弧，两弧交于点C，D；（3）连接．对于四边形，添加下列条件无法判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（   ） A．平行四边形， B．平行四边形， C．菱形， D．菱形， 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 6．（2024·广东东莞·二模）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角的取值范围宜为（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为，则其拉伸长度的适宜范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．15 D．12 8．（2025·安徽合肥·二模）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1，菱形中，点A为y轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于E、F两点（点E在点F下方），直线l从y轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为x（秒），的面积为y，y与x的大致图象如图2，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 10．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 12．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知是菱形，是对角线，且，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为 ． 13．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，已知菱形的边长为2，，为的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于 ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    15．（2025·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，，点E关于的平分线的对称点为F，点F关于的平分线的对称点为G，连接．若，，则= ． 16．（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为 ． 17．（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，，．点E、F分别是、边上的动点，且，以为边向右作等边，连接、、．当时，的值为 ． 18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： （1）的度数． （2）若，求线段和的长． 20．（本小题满分8分）（2025·广东惠州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线． （1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． （3）在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形． （1）求的值和点坐标； （2）设直线与菱形的边交于点． ①当是的中点时，判断的形状，并说明理由； ②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，P为线段上一点，连结，将沿着线段折叠，点D落在处，作交于点E． （1）证明：四边形为菱形； （2）如图1，若恰好落在平行四边形的对角线交点处，求此时的长度； （3）如图2，连结，在上取一点M（），若点M关于直线的对称点N落在的内部（包括边界），请直接写出的取值范围______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1（3） 菱形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2023·河南郑州·三模）已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据作图和菱形的判定方法，逐项进行判断即可． 解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据作图可知，垂直平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故①符合题意； ②根据作图可知，平分，但不能判定四边形为菱形，故②不符合题意； ③根据作图可知，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，故③符合题意； ④根据作图可知，不一定垂直平分，四边形不一定为菱形，故④不符合题意； 综上分析可知，正确的只有2个，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的基本作图，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定． 3．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，对于线段，小慧同学按照下列步骤画出一个四边形：（1）以点A为圆心，以大于的长为半径作弧；（2）以点B为圆心，以小于的长为半径作弧，两弧交于点C，D；（3）连接．对于四边形，添加下列条件无法判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由无法证明四边形是菱形；由可得四边形的四条边都相等，可证四边形是菱形；由可证，得出，可证四边形是菱形；由证明，可证四边形是菱形． 解：由作法知，， ∴垂直平分． A．由无法证明四边形是菱形；     B．∵，， ∴，     ∴四边形是菱形； C．∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴四边形是菱形； D．∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴四边形是菱形； 故选A． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（   ） A．平行四边形， B．平行四边形， C．菱形， D．菱形， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可． 解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 故选：D． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为，则点 C的坐标为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为， 故选：A． 6．（2024·广东东莞·二模）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角的取值范围宜为（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为，则其拉伸长度的适宜范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形及其计算，勾股定理，由菱形中， 当时，得的得得此时拉伸长度同理当时，拉伸长度，即可求解，解题关键是找准直角三角形进行计算． 解：如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵ 当时，则 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴此时拉伸长度， 当时，则 ∴， ∴ ∴此时拉伸长度， ∴其拉伸长度的适宜范围是：， 故选：B． 7．（2024·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．15 D．12 【答案】C 【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形即可求解． 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵的对应边恰好落在直线上， ∴到、的距离相等， ∴，点是边的中点， ∴四边形、四边形是平行四边形，， ∴． 由折叠知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为∶． 故选C． 【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 8．（2025·安徽合肥·二模）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1，菱形中，点A为y轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于E、F两点（点E在点F下方），直线l从y轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为x（秒），的面积为y，y与x的大致图象如图2，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据函数图象可知，当时，点E在上，点F在上，当时，点E在上，点F在上，当时，点E在上，点F在上，则，再根据当时，，求出点D到的距离，据此利用菱形面积计算公式求解即可． 解：由函数图象可知，当时，点E在上，点F在上， 当时，点E在上，点F在上， 当时，点E在上，点F在上， ∴， 设点D到的距离为h， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；由，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确． 解：是等边三角形，且， ，， 由折叠的性质得：， ，是定值，则结论①正确； ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形，则结论②正确； 如图，当点与重合时， ， ， 由折叠的性质得：， ，， ， ，则结论③错误； 当最短时，则， 如图，过点作于点，连接，交于点， ， ， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ，   设，则，， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，则结论④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：A． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、折叠的性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形、菱形的判定，用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知是菱形，是对角线，且，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，进而由三角形内角和定理解得的值，由作图可知垂直平分，易得，然后由求解即可． 解：如下图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． 13．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，已知菱形的边长为2，，为的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键； 连接，如图，可得是等边三角形，即可求出，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可证明，进而可得，进一步计算即可． 解：连接，如图， ∵菱形的边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 取的中点H，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（2025·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，，点E关于的平分线的对称点为F，点F关于的平分线的对称点为G，连接．若，，则= ． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质和轴对称的性质可得，，进而可证是等边三角形及是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得和的长，且，根据勾股定理即可求得的长，再求出即可求得． 解：连接，过点B作于H，如图， ∵菱形，， ∴，， ∵点E关于的平分线的对称点为F，点F关于的平分线的对称点为G， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的三边关系、勾股定理，充分利用轴对称的性质是解答的关键． 16．（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点G，过点作于点F，根据菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，解答即可． 解：过点作于点G，过点作于点F， ∵菱形中，是上一点，将菱形沿翻折使点的对应点刚好落在的延长线上， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 17．（2025·山东济南·二模）如图，在菱形中，，．点E、F分别是、边上的动点，且，以为边向右作等边，连接、、．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，先证，再证四边形是矩形，利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，如图所示： 四边形是菱形，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴ ∵， ∴，，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 在中，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，构造直角三角形和矩形是解题关键． 18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，在上取一点N，使，连接，根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据勾股定理以及直角三角形的性质可得，进而得到，最后将代入计算即可. 解：如图：连接，在上取一点N，使，连接， ∵菱形， ∴ 由题意可知：均为直角三角形， 在和， ， ∴， ∴， ∵菱形，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于J， ∵， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：. 故答案为：. 【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： （1）的度数． （2）若，求线段和的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（2025·广东惠州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线． （1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】（1）见分析；（2）四边形为菱形， 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）先证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质即可求解． 解：（1）解：如图所示，此时点为所求． （2）如图，四边形为菱形． 沿翻折至 ，， 平行四边形      又    四边形为菱形    又， ∴ 【点拨】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，证明四边形为菱形是解答本题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用全等三角形的判定和性质证明即可解决问题； （2）证明四边形是菱形，由勾股定理求出，利用菱形的面积公式计算即可得到答案． 解：（1）证明：， ，， O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， 即：， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 设点D到的距离为h ，，四边形是菱形 ， ， ， 由得， 解得． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． （3）在（2）的条件下，平行线与间的距离为______． 【答案】（1）见分析；（2）24；（3） 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等积法进行求解即可． 解：（1）证明：在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵，     ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24． （3）∵，，， ∴ 设平行线与间的距离为， 则， 解得 故答案为；． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形． （1）求的值和点坐标； （2）设直线与菱形的边交于点． ①当是的中点时，判断的形状，并说明理由； ②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长． 【答案】（1）；（2）①等腰三角形，见分析；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定 和性质； （1）将代入计算得出，令，得出B点坐标即可； （2）①根据题意再结合菱形的性质证出，得到，求出即可得出结论；②根据直角梯形的性质求出，设，则，结合勾股定理计算即可． 解：（1）解：将代入得： ， 解得：， 令，， ∴； （2）解：   四边形为菱形 是的中点， ∴， ∵ 在和中， ∵ ∴ 为等腰三角形   四边形是直角梯形 只能 设，则 解得：， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，P为线段上一点，连结，将沿着线段折叠，点D落在处，作交于点E． （1）证明：四边形为菱形； （2）如图1，若恰好落在平行四边形的对角线交点处，求此时的长度； （3）如图2，连结，在上取一点M（），若点M关于直线的对称点N落在的内部（包括边界），请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，含角的直角三角形的边长关系，正确画出图形，添加辅助线，利用临界值求解是解题的关键． （1）利用折叠的性质，可得，即可得，先证明四边形为平行四边形，再证明菱形即可； （2）作的中点，连接，证明，即可解答； （3）找到两个临界值，即刚好落在和上，求出此时的，则可得的取值范围． 解：（1）证明：将沿着线段折叠，点D落在处， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：如图，作的中点，连接， 点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， ； （3）解：当点N落在上时，如图， 根据折叠可得， ， ，， ， ， ，即， 设，则， 根据，可得， 解得； ， 当点N落在上时，如图， 则， ， ， 过点作的垂线段，交于点， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， ， ， 根据上一种情况可得， 可得方程， 解得， 即此时， 的取值范围为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$