专题1.3（3） 正方形的性质与判定（专项练习）（拓展培优）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3（3） 正方形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23七年级下·黑龙江鹤岗·期末）下列命题中，不正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 【答案】B 【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可； 解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分； B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分； C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分； D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分； 故选：B． 【点拨】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则b的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等来求解b的值． 解：过点D作轴于点E 四边形是正方形， ，， 又，，， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， ， ， ，即 在第二象限， ， 故选：C 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，，证明得出，，设，，根据题意得出，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理即可求解． 解：在中，， 四边形是正方形， 如图，过点作于点，则，， ， ， ， 在和中， ， ，， 设，， ， 在中，由勾股定理得：，则 解得负值舍去， ， 在中， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意； ∵∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∵ ∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意； 故选B． 5．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图． 步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线，分别交，于点E，F； 步骤3：连接，． 若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题． 解：∵平分，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题． 6．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵正方形的面积为50， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在和中，， 即， 解得， 即， 则， 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 7．（2025·四川宜宾·二模）如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点，可证四边形是正方形，可得，，进而得到是等腰直角三角形，即得，得到，再在中，利用勾股定理可得，即得，即得到，，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点， 则，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 即， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，为边上一点，将沿翻折到，点折到点，连，则的最小值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据点到直线的距离垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 9．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，证明四边形，四边形是正方形，进而得，由此证明和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，则，再求出，，继而证明和全等得，然后问题可求解． 解：过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 【点拨】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 10．（2025·北京东城·一模）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断； ②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断； ③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 解：①连接，如图所示： 点关于直线的对称点为， ，， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ，， ， ， 正方形的边长为1， ， ， ， 点是边上的一动点（不与点，重合）， ， ， 即， 故结论②正确； ③正方形的边长为1，，， ，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论序号是①②③． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·辽宁鞍山·一模）如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 12．（2025·陕西咸阳·一模）如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，连接，求得即可解答，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：如图，连接， 五边形是正五边形， ，， ， ，， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，    四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 14．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案． 解：如图，延长交x轴于点M， ∵点A的坐标为， ∴． ∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴． ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点O的对应点的坐标为． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合，，易证，得到，再证明，推出，求出，易证，推出，证明四边形是正方形，求出，进而求出正方形的面积为9，再根据正方形的性质证明，得到面积都为8，即可解答． 解：分别延长交于点 ∵正方形中，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴面积都为8， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）当点E、F在、边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】 7 【分析】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解； （2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可． 解：（1）分别过点G作于M，于H，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， 故答案为： （2）∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作，，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， ∴当时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 17．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，由正方形的性质可得，，即得，，进而得到，设，则，，由的面积可得，即得，过点作于点，可证，得到，即可得，得到垂直平分，可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点分别是和， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为6 【分析】（1）正方形的性质，得到，，结合，即可证明； （2）连接交于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出，，由，可得：，根据周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 解：（1）证明：四边形为正方形 ， 在和中， ， ； （2）解：连接交于点O， 四边形为正方形，， 垂直平分，， ，， 由（1）知， ， 四边形的周长为， 在中， ， ； 答：的长为6． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，. （1）求证：四边形是矩形； （2）四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由. 【答案】（1）见分析；（2）能， 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形得，再证明，进而可依据“”判定得，再根据平行线性质得，继而得，由此可得出，然后再根据，由此即可得出结论； （2）当时，四边形正方形，由得，再根据四边形是矩形即可得出四边形是正方形；过点A作于点H，设，则，则，，再根据当时，四边形正方形得，继而得，由此即可得出的值． 解：（1）证明：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形能为正方形，理由如下： ∵点D在的延长线上， ∴当时，四边形正方形， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 过点A作于点H，如图所示： ∴， 设， 在中，， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∵当时，四边形正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 21．（本小题满分10分）（2025·浙江杭州·三模）如图，点P在正方形的对角线延长线上，连接，过点P作交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）若， ①求的度数； ②设，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）①；②；（2）见分析 【分析】（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可求解； （2）如图2，作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得结论． 解：（1）解：①如图1，在上取一点G，使，连接， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， 在和中， ∴（）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴； ②，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， 连结交于点， ∵四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ； （2）如图，连接， ，，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，即， ， ． 【点拨】本题考查了四边形的综合问题，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质是解题关键． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在正方形中： （1）如图①，如果点E，F分别在，上，且，垂足为M，猜想线段与的数量关系：__________（直接写出结论） （2）如图②，如果点E，F，G分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）相等；（2）相等，见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）利用正方形的性质，证明即可． （2）作．利用正方形的性质，证明即可． 解：（1）解：线段与的数量关系，理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：相等． （2）证明：作． 四边形是正方形， ． ， ， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ， ． 又， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，正方形的边长为9，菱形的三个顶点，，分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，求菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于3时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）7 【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题； （2）根据正方形和菱形的性质证明，得，然后证明，可以解决问题； （3）过作，交的延长线于点，连接，根据正方形和菱形的性质证明，得，设，得，然后利用三角形的面积公式即可解决问题． 解：（1）解：正方形的边长为9， ，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 四边形是菱形， 当时，菱形的周长； （2）证明：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 菱形为正方形； （3）解：如图2，过作，交的延长线于点，连接， ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ， ， ， ， ， 当的面积等于3时，线段的长为7． 【点拨】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正方形的性质，菱形的判定与性质． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·河南安阳·期中）已知，在中，中，，，点为直线上一动点（点不与点，重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点在线段上时．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系； （3）如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其他条件不变； ①请写出，，三条线段之间的关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，对角线，相交于点，连接．求出的长度． 【答案】（1）见分析；；（2）；；（3）①，见分析；②． 【分析】（1）三角形是等腰直角三角形，利用 即可证明，从而证得，据此即可证得． （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到． （3）①同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到． ②证明是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得的长，则即可求得． 解：（1）证明：，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）解： 理由：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， ， ． （3）解：① ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ； ②由（1）可知， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 又为的中线， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3（3） 正方形的性质与判定（专项练习）（拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（22-23七年级下·黑龙江鹤岗·期末）下列命题中，不正确的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则b的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，．正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图． 步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线，分别交，于点E，F； 步骤3：连接，． 若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 7．（2025·四川宜宾·二模）如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，为边上一点，将沿翻折到，点折到点，连，则的最小值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 9．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·北京东城·一模）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·辽宁鞍山·一模）如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 12．（2025·陕西咸阳·一模）如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点G是边的中点，则的度数为 ． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ． 14．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ． ． 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是 ； （2）当点E、F在、边上运动时，则的最小值为 ． 17．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·四川广安·中考真题）如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接． （1）求证：． （2）若四边形的周长为，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在中，，.点D在的延长线上，，，连接，.，. （1）求证：四边形是矩形； （2）四边形能否为正方形？如能，请求出此时的值；如不能，也请说明理由. 21．（本小题满分10分）（2025·浙江杭州·三模）如图，点P在正方形的对角线延长线上，连接，过点P作交的延长线于点E，过点E作于点F． （1）若， ①求的度数； ②设，求的长； （2）求证：． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在正方形中： （1）如图①，如果点E，F分别在，上，且，垂足为M，猜想线段与的数量关系：__________（直接写出结论） （2）如图②，如果点E，F，G分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，正方形的边长为9，菱形的三个顶点，，分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，求菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于3时，求线段的长． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·河南安阳·期中）已知，在中，中，，，点为直线上一动点（点不与点，重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点在线段上时．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系； （3）如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其他条件不变； ①请写出，，三条线段之间的关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，对角线，相交于点，连接．求出的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$