专题1.1（2） 菱形的性质与判定（专项练习）（夯实基础）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1（2） 菱形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键． 解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意； 、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 故选：． 2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案． 解：根据题意可得：， 四边形为菱形， ， ， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键． 3．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识，连接，相交于点O，根据菱形的性质可得，，，然后根据勾股定理求解即可． 解：如图所示，连接，相交于点O，    ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键．设最外层菱形为菱形，它的对角线、相交于点，，，由，得，而，，所以，设菱形两条对边的距离，则，解方程求出的值即得到问题的答案． 解：如图，菱形的对角线、相交于点，，， ， ， ，， ， 设菱形两条对边的距离， ， ， 解得， 它的两条对边的距离应为， 故选：A． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点D作，，连接、交于点O．根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即时，底边最短，即可求出面积最小值． 解：过点D作，，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 旋转过程中，菱形的高不变，底变化， 当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：， 故选：C． 7．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图， 在菱形 中， 对角线、 相交于点 ， 平分 交 于点 ， 且点为线段的中点，连接并延长至点 ，使得 ，连接，若．则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质，垂直平分线的性质与判定；根据角平分线的定义可得，根据菱形的性质以及中位线的性质可得出，进而根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角以及三角形的内角和定理，即可求解． 解：∵ 平分，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， ∴ ， 又∵， ∴ ∴ 故选：C． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如下图所示，O为边长为1的等边三角形内（不含边界）任意一点，则的不可能取值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接交于点F，连接，根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，从而可得，当、在一条直线上时，有最小值，最小值为的值，证明四边形是菱形，可得， ，再利用勾股定理求得，，从而可得，即可求解． 解：将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接交于点F，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当、在一条直线上时，有最小值，最小值为的值， 此时， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 故选：A．    【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，线段和最小值，熟练掌握相关定理是解题的关键． 9．（2025·安徽池州·三模）已知四边形，延长至点，延长至点，连接．连接并延长交于点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据，得出，证明，根据等腰三角形的三线合一得出，即可判断A选项；证明，得出，从而得出，根据等腰三角形的性质即可判断B选项；根据无法证明，即可判断C选项；延长，取，连接、，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，即可判断D选项． 解：A．∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 根据A选项解析可知，此时，故B不符合题意； C．当时，无法证明，故C符合题意； D．延长，取，连接、， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 根据A选项解析可知：， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即，故D不符合题意． 故选：C． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 解：如图：连接 ∵，． ∴是等腰直角三角形 则 ∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则， ∵I为的中点 ∴三点共线 ∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处 ∴分别是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 同理得 ∴四边形是菱形 则连接，分别交于点，连接 ∵折叠 ∴ ∴ ∵ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∴点和点分别是的中点 则 则 则 ∵点G、H、I分别为的中点 ∴ 则 则是平行四边形 则点是的中点 同理得点是的中点 则 ∴四边形的面积为菱形的面积一半 ∵，． ∴ 则， 则， ∴菱形的面积， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，A、D、E三点共线，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，则点B到点E的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接交于，由菱形的性质可得，，，由勾股定理得，，进而可求的长． 解：如图，连接交于， ∵是菱形，， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍，可得，结合菱形的性质，得到，即是等边三角形，即可得到． 解： 当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍， ， 又 四边形是菱形， ，， ，即是等边三角形， ， ． 故答案为：． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：26． 14．（19-20八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    【答案】75 【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数. 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB， ∵∠D=120°， ∴∠DAB=60°， ∵AC为菱形ABCD的对角线， ∴∠BAC=30°， ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD'=AD， ∴AD'=AB， ∴∠AD'B=， 故答案为：75. 【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 15．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案． 解：∵， ∴，， 由平移可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2024·重庆·二模）如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式列式计算即可求解． 解：连接，作交的延长线于点， ∵平行四边形中，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 设， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； 由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确． 解：证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ∵， ， ， 是的中位线， ，故①正确； 连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③． 18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知第1个菱形中，，，以对角线为边作第2个菱形，使点在菱形的内部，且，再以对角线为边作第3个菱形，使点在菱形的内部，且，顺次这样作下去……，则第2023个菱形的面积为 ．    【答案】 【分析】先分别求出菱形的对角线长，再依次求出面积，然后得出规律，进而得出答案． 解：如图，连接，根据题意可知，，，且， ∴是等边三角形， ∴. 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴. 可知，得；    同理： ，，则； ，，则； ··· ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，数字变化规律问题等，根据变化特点得出规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西晋中·期中）已知：如图，在中，，为中线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； （2）试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）菱形，理由见分析 【分析】本题主要考查基本作图，菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据要求作图即可； （2）先证出是平行四边形，再根据即可求得结果． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）四边形是菱形． 证明：∵在中，为中线， ∴． 又∵平分， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，中，是上一点，交于，交于． （1）求证：四边形是中心对称图形； （2）若平分，求证：点E，F关于直线对称． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由角平分线的定义得．进而利用平行线的性质得从而得．四边形是菱形，根据菱形的性质即可得证． 解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点，关于直线对称． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图， 在 菱形中，交于点O， 点E， F在上， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定： （1）先根据菱形的性质得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）根据菱形的性质得出，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论． 解：（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）四边形分别是边的中垂线，连接，延长交于点H，延长交于点G，若． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）求的度数； （3）若，求的长度． 【答案】（1）菱形，证明见分析；（2）；（3） 【分析】（1）四边形ABPD中，由已知条件知道线段；利用垂直平分线的性质知道；这样四边形中有两组邻边相等，又，因此可猜想该四边形可能为菱形； （2）本小题要找角，考虑到所在三角形已经是直角三角形，但另一个内角也难以找出，因此可考虑运用外角协助找到； （3）由可以得到，利用中点E可以推知，结合上题中找到的角，知，在直角中由勾股定理求得，则菱形的边． 解：（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵分别是边的中垂线， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∴． ∵PE垂直平分BC， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴； （3）解：∵， ∴． ∵PE垂直平分BC， ∴． ∴． 在直角△PEH中， ∵， ∴． 在直角△PEB中， ∵， ∴． ∴，即的长度为． ． 【点拨】本题考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，涉及考点较多，有一定的难度． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见分析；（3）①；②6或 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由（1）得：，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由（1）得：，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（2024·山西长治·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3）四边形为菱形，理由见分析． 【分析】本题考查平行四边形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，即可． （1）根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出； （2）连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可． 解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）猜测：， 证明：连接： ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）四边形为菱形，理由： ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1（2） 菱形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为，则它的两条对边的距离应为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 7．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）如图， 在菱形 中， 对角线、 相交于点 ， 平分 交 于点 ， 且点为线段的中点，连接并延长至点 ，使得 ，连接，若．则 （    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）如下图所示，O为边长为1的等边三角形内（不含边界）任意一点，则的不可能取值为（    ）    A． B． C． D．2 9．（2025·安徽池州·三模）已知四边形，延长至点，延长至点，连接．连接并延长交于点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，A、D、E三点共线，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，则点B到点E的距离为 ． 12．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 13．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为 ． 14．（19-20八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    15．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 16．（2024·重庆·二模）如图，在平行四边形中，，，．E为边上一点，且满足，作的平分线交于点F，则的长度为 17．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知第1个菱形中，，，以对角线为边作第2个菱形，使点在菱形的内部，且，再以对角线为边作第3个菱形，使点在菱形的内部，且，顺次这样作下去……，则第2023个菱形的面积为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西晋中·期中）已知：如图，在中，，为中线． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； （2）试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，中，是上一点，交于，交于． （1）求证：四边形是中心对称图形； （2）若平分，求证：点E，F关于直线对称． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图， 在 菱形中，交于点O， 点E， F在上， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）四边形分别是边的中垂线，连接，延长交于点H，延长交于点G，若． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）求的度数； （3）若，求的长度． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 24．（本小题满分12分）（2024·山西长治·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）； （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． 【知识运用】请根据上述过程完成下列问题： （1）已知矩形纸片，，，求线段的长； （2）通过观察猜测的度数是多少？并进行证明； 【综合提升】 （3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$