专题1.4（2） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习）（夯实基础）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4（2） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习） （夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·河南驻马店·三模）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形的性质判断即可，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答． 解：∵是边上的中线 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴， ∴． 故选C． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 4．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据旋转的性质，可得，继而求出的度数，根据等边对等角，即可解答． 解：∵菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，一次函数的应用，设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的矩形的周长为，可得到 x、y之间的关系式． 解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为， ， ， 即直线的函数表达式是， 故选择：B． 7．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 8．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定问题，解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形的性质，并能够作简单的辅助线辅助求解．根据平行四边形的性质，通过证明，推导得，，易证四边形是平行四边形；连接，证明四边形是平行四边形，推出；再根据各选项结合矩形的判定定理，即可完成解答． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 连接， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； A、若，则， ∴，不能使四边形是矩形； B、若，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； C、若，不一定相等，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； D、若，则一定与相等， ∴平行四边形是矩形，能使四边形是矩形； 故选：D． 9．（2025·浙江丽水·二模）将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，证明，再根据折叠的性质，和勾股定理解得，后根据三角形的周长解答即可． 解：根据题意，得， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止。设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，利用特殊角的三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息． 过点作交于点，假设菱形的边长为，求出，结合函数图象得出，解方程即可． 解：如图，过点作交于点，假设菱形的边长为， 在菱形中，， ， ， ， 由图2得，， 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出菱形的另一条对角线的长度，再求出菱形的面积，结合“赵爽弦图”的特征，得图中阴影部分的面积为，代入数值计算，即可作答． 解：如图所示： 依题意，四边形是菱形， ∴， 则， ∴ 则， ∵将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图” ∴， 故答案为：4 12．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过A作于G，求得，根据勾股定理得到，，过E作于F，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 解：四边形是正方形， ，， 过A作于G，如图， ， ， ，， ， ， ， 过E作于F， ∴， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，由正方形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识是关键． 根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 15．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③画射线，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键关键． 依据矩形的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的判定，即可得到和的长，再根据进行计算即可． 解：∵四边形是矩形， ， ， 根据作图可得平分， ， ， ， 故答案为：2． 16．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．分两种情况讨论，①当点E在B点时，此时最小，利用勾股定理求得，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；②当点F在D点时，此时最大，的长为3，据此求解即可． 解：①当点E在B点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图①， 此时最小，则， 在中，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得； ②当点F在D点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图②， 此时最大，的长为3， ∴的取值范围为． 故答案为：． 18．（2025·安徽合肥·三模）如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点． （1）若，则 ； （2）点到的距离最小值为 ． 【答案】 17 / 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，得到，进而得到，角的和差关系求出的度数，连接，推出为等腰直角三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，折叠得到点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，进而得到点到的距离最小值为，即可． 解：（1）在矩形中，，， ∵点，关于点对称， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：17； （2）连接，如图． 由（1）得 为等腰直角三角形， 又由知， ， ， ， 由折叠知， ∴点在以点为圆心，以为半径的弧上运动， 点到的距离最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，，，且． （1）求证：； （2）若，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）矩形，见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，矩形的判定，等边对等角等等，熟知全等三角形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则．进而可证明，则平行四边形是矩形． 解：（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：四边形为矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 20．（本小题满分8分）（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形为菱形． （1）过点作直线的垂线为垂足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）根据垂线的基本作图解答即可． （2）根据菱形的性质，直角三角形的性质，等量代换思想解答即可． 解：（1）解：如解图所示， 则直线即为所求． （2）解：． 理由：四边形为菱形， ，， 又， ， ，垂足为， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了垂线的基本作图，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等量代换的应用，熟练掌握基本作图，直角三角形的性质是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 【答案】（1）见分析；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，，则，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由菱形的判定即可得出结论． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ∴四边形是平行四边形； （2）添加条件：，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． （1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； （2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）等腰直角三角形，见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2），过点作，交于点，得到， 可证明，得到，即可得到． 解：（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． 四边形是正方形， ， ， ，， ，，， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：， 如图，过点作，交于点，则， 由（1）得， ， ，， 在中，． 由（1）得， ， 同（1）得， 在和中， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． （1）求证：点F为的中点； （2）若，，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （3）在上截取，连接，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 解：（1）证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点F为的中点； （2）解：在 中，， ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 又∵于F， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·四川成都·期末）【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【分析】（1）可通过勾股定理确定直角边长度及利用网格构造直角即可求解； （2）过点作，使，连接构造等腰，再证，得出问题即可求解； （3）由是的三等分点，分两种情况：当时，由翻折和全等三角形的判定和性质可证得，，在中，由勾股定理可求解：当时，同理可求解． 解：（1）所画三角形如图所示： （2）过点作，使，连接， ，，是边的三等分点， ， ，， ， ， ， 设，则，, ， ，， ， 在中，， ， ， ， 在正方形中，， ． （3）正方形的边长为3，是的三等分点，分两种情况： 当时，由翻折得，， ， ， ， ． 设，则， 在中，根据勾股定理， 即，解得． 当时，同理，设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 综上所述，的长为或． 【点拨】本题考查了勾股定理，网格中作图，图形的翻折，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形，分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4（2） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习） （夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·河南驻马店·三模）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 4．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江丽水·二模）将边长为的菱形分别沿着和折叠（,,,分别在边，，，上），使点和点在折叠后均落在边上的点处．若，，于点，则的周长为（   ）． A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止。设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D．4 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则 ． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则 ． 14．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 15．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③画射线，交于点，若，，则 ． 16．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是 ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 18．（2025·安徽合肥·三模）如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点． （1）若，则 ； （2）点到的距离最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，，，且． （1）求证：； （2）若，判定四边形的形状，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（2025·山西吕梁·二模）如图，四边形为菱形． （1）过点作直线的垂线为垂足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． （1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； （2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 23．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． （1）求证：点F为的中点； （2）若，，求的长； （3）求证：． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·四川成都·期末）【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$