数列通项与求和模型讲义-2026届高三数学一轮复习

模型9    数列通项与求和模型 【模型归纳】 模型一 ：求通项模型 类型 具体策略 类型1：数列某几项易算 根据递推关系计算出数列的若干项，寻找规律特征，归纳出一般性结论，并加以证明（小题无须证明），从而解决问题 类型2：已知和式 利用求解．注意检验时是否适合时求得的通项公式 类型3： ，即累加法 类型4： ，即累乘法 类型5：（，，） 方法1：，，则，是首项为、公比为P的等比数列，求出，再利用累加法求 方法2：设，用待定系数法得，则是首项为、公比为P的等比数列，由等比数列求通项 类型6：（，，） 设，用待定系数法得，，由等比数列求通项 类型7：（，） 两边同除以，得，令，则，参考类型3，利用累加法求通项；若为常数，也可利用等差数列的通项公式计算 类型8：（，） 设，，，，是方程的两个根．若方程只有一个根，则构造公比为的等比数列；若，则分别构造公比为，的两个等比数列，，，，采取消元法求通项 类型9：（，，） 两边同取倒数，，若，则为等差数列；若，参考类型5，再运用待定系数法求通项． 类型10： 两边同除以，得，构造等差数列求通项 类型11：（，，，） 两边取对数，得，令，则，参考类型5求通项 【典例1】（福建福州第一中学2025模块）已知数列满足，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解． 【详细解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得． 故选：A． 【典例2】（安徽六安第二中学2025期末统）已知数列满足，则数列的第2024项为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案． 【详细解析】即 ． 故选：A． 【题后反思】由递推式求通项an应注意题目条件的特征正确选取方法． （1）an＋1－an＝f(n)型，采用累加法； （2）＝f(n)型，采用累乘法； （3）an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 模型二：求和模型 方法 具体策略 公式法 （1）等差数列的前n项和公式：．（2）等比数列的前n项和公式：当时，；当时， 分组转化法 把数列的待求和项分成若干组，使其转化为几组易于求和的数列，再求解 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差累加求和，和式中正负相消剩下首尾若干项，常见的裂项技巧：①，； ②，，； ③，； ④， ， 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和问题 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写，再相加 万能公式法 通项形如的数列前n项和为，其中， 【典例3】（浙江温州浙南名校联盟2025联考）已知数列满足，则 ． 【答案】110 【思路分析】讨论n的奇偶性求出对应的通项公式，再应用分组求和求． 【详细解析】当n为奇数时，可得 ，所以； 当n为偶数时，可得 ，所以； 所以 ． 故答案为： 【典例4】（山东济宁市2025高三质量检测）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【思路分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项． 【详细解析】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为． 故答案为：；． 【典例5】（海南省2025水平诊断）记数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【思路分析】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得． 【详细解析】因为，所以， 所以， 所以． 故答案为： 【典例6】（错位相减法求和模型+四川达州2025联考）已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． （1）由已知得①，    [定位求通项模型：类型2] 当时，，即， 当时，②． ①-②得，即，    [第二次定位求通项模型：类型5］ 所以．又，所以数列是首项为3、公比为3的等比数列， 则，即． （2）由（1）得，    [定位求和模型：错位相减法］ ，， ， ． 【题后反思】 1．用错位相减法求和时，应注意： （1）要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． 2．利用裂项相消法求和应注意 （1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项； （2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等． （型+广东省六校（广东北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2025联合质量检测） 1．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. （倒序相加法求和模型+山东济宁实验中学2025检测） 2．已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． （型+上海市复旦大学附属中学2025期末） 3．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： （模型） 4．已知数列满足，，，的通项公式（用表示）为 ；若是递增数列，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，进而可得为常数列，可得，进而可得数列是首项为、公比为2的等比数列，可求通项公式；另解1，由，可得，可得数列是首项为、公比为2的等比数列，可求解；另解2，由，利用累加法可求通项公式；利用是单调递增数列可求得的取值范围. 【详解】由，构造特征方程，解得或． 所以，即为常数列，则①． 又，其中， 所以数列是首项为、公比为2的等比数列， 则②． ②-①得，． 另解1  如果只应用，采用待定系数法：设， 则， 所以，， 所以数列是首项为、公比为2的等比数列， 则，即． 另解2  如果只应用，则 ， 当时，，适合上式，故． 由是递增数列得，则的取值范围为． 故答案为：；． （裂项求和+安徽宣城市2025期末调研） 5．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前2025项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可. 【详解】（1）设数列的公比为q，， 因为是和的等差中项， 所以，即， 因为,所以 解得，或（舍） 所以 （2）由知，则， 所以， 所以， 故的前2025项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型9    数列通项与求和模型 【模型归纳】 模型一 ：求通项模型 类型 具体策略 类型1：数列某几项易算 根据递推关系计算出数列的若干项，寻找规律特征，归纳出一般性结论，并加以证明（小题无须证明），从而解决问题 类型2：已知和式 利用求解．注意检验时是否适合时求得的通项公式 类型3： ，即累加法 类型4： ，即累乘法 类型5：（，，） 方法1：，，则，是首项为、公比为P的等比数列，求出，再利用累加法求 方法2：设，用待定系数法得，则是首项为、公比为P的等比数列，由等比数列求通项 类型6：（，，） 设，用待定系数法得，，由等比数列求通项 类型7：（，） 两边同除以，得，令，则，参考类型3，利用累加法求通项；若为常数，也可利用等差数列的通项公式计算 类型8：（，） 设，，，，是方程的两个根．若方程只有一个根，则构造公比为的等比数列；若，则分别构造公比为，的两个等比数列，，，，采取消元法求通项 类型9：（，，） 两边同取倒数，，若，则为等差数列；若，参考类型5，再运用待定系数法求通项． 类型10： 两边同除以，得，构造等差数列求通项 类型11：（，，，） 两边取对数，得，令，则，参考类型5求通项 【典例1】（福建福州第一中学2025模块）已知数列满足，且，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解． 【详细解析】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得． 故选：A． 【典例2】（安徽六安第二中学2025期末统）已知数列满足，则数列的第2024项为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案． 【详细解析】即 ． 故选：A． 【题后反思】由递推式求通项an应注意题目条件的特征正确选取方法． （1）an＋1－an＝f(n)型，采用累加法； （2）＝f(n)型，采用累乘法； （3）an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 模型二：求和模型 方法 具体策略 公式法 （1）等差数列的前n项和公式：．（2）等比数列的前n项和公式：当时，；当时， 分组转化法 把数列的待求和项分成若干组，使其转化为几组易于求和的数列，再求解 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差累加求和，和式中正负相消剩下首尾若干项，常见的裂项技巧：①，； ②，，； ③，； ④， ， 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和问题 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写，再相加 万能公式法 通项形如的数列前n项和为，其中， 【典例3】（浙江温州浙南名校联盟2025联考）已知数列满足，则 ． 【答案】110 【思路分析】讨论n的奇偶性求出对应的通项公式，再应用分组求和求． 【详细解析】当n为奇数时，可得 ，所以； 当n为偶数时，可得 ，所以； 所以 ． 故答案为： 【典例4】（山东济宁市2025高三质量检测）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【思路分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项． 【详细解析】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为． 故答案为：；． 【典例5】（海南省2025水平诊断）记数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【思路分析】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得． 【详细解析】因为，所以， 所以， 所以． 故答案为： 【典例6】（错位相减法求和模型+四川达州2025联考）已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． （1）由已知得①，    [定位求通项模型：类型2] 当时，，即， 当时，②． ①-②得，即，    [第二次定位求通项模型：类型5］ 所以．又，所以数列是首项为3、公比为3的等比数列， 则，即． （2）由（1）得，    [定位求和模型：错位相减法］ ，， ， ． 【题后反思】 1．用错位相减法求和时，应注意： （1）要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． 2．利用裂项相消法求和应注意 （1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项； （2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等． （型+广东省六校（广东北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2025联合质量检测） 1．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． （倒序相加法求和模型+山东济宁实验中学2025检测） 2．已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． （型+上海市复旦大学附属中学2025期末） 3．数列满足，则数列的通项公式为 . （模型） 4．已知数列满足，，，的通项公式（用表示）为 ；若是递增数列，则的取值范围为 ． （裂项求和+安徽宣城市2025期末调研） 5．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前2025项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$