切、接模型讲义-2026届高三数学一轮复习

模型11  切、接模型 【模型归纳】 模型一：长方体模型 分类 墙角模型 对棱相等模型 特征 处理方法 构造长方体：三棱锥外接球的直径即长方体的体对角线（设由长方体的同一顶点引出的三条棱的棱长分别为a，b，c，三棱锥外接球的半径为R，则），则 构造长方体：三棱锥的棱是长方体的面对角线．设三棱锥三组对棱长度分别为x，y，z，对应长方体的长、宽、高分别为a，b，c，三棱锥外接球半径为R，则 所以， 即 【典例1】已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【思路分析】由条件，解三角形可求，将三棱锥补形为长方体，根据长方体及其外接球的关系可求得三棱锥的外接球半径，结合球的体积公式求结论. 【详细解析】在中，， 所以，所以． 因为平面平面， 所以． 又，所以． 如图将三棱锥，补形为长方体， 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点． 又，即， 所以球的半径为2， 故球的体积． 故选：C． 【典例2】（山西孝义第二中学2025高三月考）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【思路分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详细解析】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 【题后反思】本质都是构造长方体解决外接球问题，但所构造长方体的长、宽、高与三棱锥的棱之间的关系不同：墙角模型（除例外型之外）中所构造长方体的长、宽、高是对应三棱锥的棱；而对棱相等模型中构造的长方体的面对角线对应三棱锥的棱. 模型二：汉堡模型 特征 所有顶点在两个互相平行的平面上且有两个互相平行的底面的几何体（如棱柱、棱台、圆柱、圆台与某些不规则几何体等） 有一条侧棱与底面垂直的棱锥 处理方法 找球心法：①定球心．两平行底面的外接圆是球的两个相互平行的截面圆，外接球球心在两个底面外心连线所在直线上．②求半径．设球的两个截面圆的半径分别为，，球心到两截面的距离分别为，，外接球半径为R，两平行截面间的距离为d．若球心在两截面异侧，则若球心在两截面同侧，则 将棱锥补形成直棱柱，棱锥的外接球就是直棱柱的外接球，转化为两底面平行类的几何体问题求解．以三棱锥为例，如图，在三棱锥中，平面BCD，将其补成直三棱柱，由对称性可知球心O的位置是的外心与的外心连线的中点．圆的半径，，故 【典例3】（河南许昌2025高三联考）在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（ ） A．1    B．    C．2    D．1或2 【答案】A 【思路分析】根据给定条件，求出球半径并确定球心位置，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式列式计算得解. 【详细解析】在直三棱柱中，，，则外接圆圆心为中点， 令三棱锥外接球球心为，则平面，设此球半径为， 由，得，而外接圆半径，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，由，得，解得或， 而，所以. 故选：A 【典例4】（福建金科百校2025联考）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】根据余弦定理和正弦定理可得外接圆半径，结合三棱锥的性质得外接球的半径，可解. 【详细解析】设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 【题后反思】柱体外接球球心一定在柱体的内部，为上、下两底面外接圆圆心连线的中点；而台体的外接球球心可能在两底面外接圆圆心的连线上，也可能在两底面外接圆圆心连线的延长线上. 模型三： 鳄鱼模型 分类 鳄鱼模型 切瓜模型 特征 已知某两个面所成二面角大小的三棱锥 有一侧面垂直于底面的三棱锥，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形 处理方法 找球心法：①定球心．二面角对应的三棱锥的两个相邻侧面三角形的外接圆就是外接球的两个截面，故球心与三角形外接圆圆心的连线与对应三角形所在平面垂直，则这两个相邻三角形侧面的过三角形外心的垂线的交点就是球心．②求半径．如图所示的三棱锥中，已知二面角的大小为，M是AB的中点，，的外心分别为，，三棱锥外接球球心为O，半径为R，则，．若，，，则在中，．的外接圆是平面四边形的外接圆，外接圆直径． 在中，，则 实质就是鳄鱼模型的特例（已知二面角为直二面角）．如图，已知二面角是直二面角，类型Ⅰ中与都是直角三角形；类型Ⅱ中是等边三角形，是直角三角形；类型Ⅲ中与都是等边三角形（E为BC中点）；类型Ⅳ中与都是一般三角形．解决方法：以类型Ⅳ为例，过外心作该三角形所在平面的垂线，则三棱锥的外接球球心O在此垂线上，设三棱锥的高为h，外接球半径为R，到BC的距离为d，O与间的距离为m，外接圆半径，则由即可解出R．或令鳄鱼模型中，则（其中，为两个侧面三角形外接圆的半径，l为两个侧面三角形公共边的长） 【典例5】（河南濮阳2025质量检测）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【思路分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详细解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 【典例6】（江西抚州2025质量监测）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【思路分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详细解析】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【题后反思】准确确定鳄鱼模型中两个相邻侧面三角形的外接圆圆心和半径是关键，可利用正弦定理求解半径，但要注意边与对角正弦之比等于外接圆的直径. 模型四：斗笠模型 特征 圆锥或顶点在底面上的射影是底面多边形外心的棱锥 处理方法 设圆锥（或三棱锥）的高为h，底面圆半径（或三棱锥的底面多边形的外接圆半径）为r．①球心O在高所在直线上，既可能在线段上，也可能在线段的延长线上；②设外接球半径为R，则．在中，，即，得 【典例7】一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为 . 【答案】 【思路分析】先作图，根据题意可知，设，则底面圆的直径为，圆锥的侧面积为，求出，圆锥的高为，设圆锥外接球的半径为，利用勾股定理求出，进而列式求出外接球的表面积. 【详细解析】如图，设，则. 设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高. 设圆锥外接球的半径为，所以，解得， 则外接球的表面积为. 故答案为：. 【典例8】（湖南邵阳2024期中）（多选题）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m    B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的外接球的表面积为    D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【思路分析】由母线长和底面半径利用勾股定理求出圆锥的高判断选项A；公式法求圆锥侧面积判断选项B；构造直角三角形求出外接球半径，计算表面积判断选项CD. 【详细解析】对于A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，故A正确； 对于B，圆锥SO的侧面积，故B正确； 对C，D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【题后反思】外接球球心可能在几何体内部，也可能在几何体的外部，，绝对值不要遗漏. 模型五：内切球模型 特征 某些多面体或简单的旋转体 处理方法 多面体的内切球：①过内切球球心作多面体的截面，转化为平面图形问题，建立内切球半径与多面体几何量之间的关系．②等体积变换．利用内切球球心和内切球与多面体表面的切点将多面体分割为多个锥体，设多面体表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则，得 简单的旋转体：通过轴截面转化为平面图形内切圆问题．①圆柱．易知圆柱的高h等于底面直径2r，则内切球半径R等于圆柱底面圆半径r．②圆锥（底面圆半径为r，高为h，母线长为l）内切球半径．③圆台（两底面圆半径分别为，，高为h，母线长为l）内切球（半径为R）： 【典例9】已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则_____；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_____. 【答案】 . 【思路分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径，从而可分别求出圆锥的体积为和球O的体积为； 设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点到直线的距离，然后结合球O的半径，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r. 【详细解析】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且， 易知球O的半径， 所以，，所以； 设MN的中点为C，连接PC，DM，则， 易知，，所以，所以. 过O点作，垂足为E，易知，则， 又，则. 设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r， 则，所以截面的面积为. 故答案为：；. 【典例10】传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题： ①平面截得球的截面面积最小值为； ②球的表面积是圆柱的表面积的； ③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为． 其中所有正确的命题序号为 . 【答案】①③ 【思路分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可判断③. 【详细解析】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示： 易知，，， 由勾股定理可得， 则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面时，取最大值，即， 所以，， 所以平面截得球的截面面积最小值为，①对； 对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以球与圆柱的表面积之比为，②错； 对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为， 则，，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，③对. 故答案为：①③. 【题后反思】利用过球心的截面解决多面体内切球问题时，一般选取过多面体的一条棱的截面，要准确判断该截面与其他面的交线，从而建立多面体几何量与截面几何量之间的关系，这是最容易出错的地方. （墙角模型 ） 1．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成长方体模型来解即可. 【详解】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形， 故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R， 即，解得， 从而三棱锥外接球的体积． 故选：D    （对棱相等模型） 2．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将四面体补形为长方体模型，再应用长方体的外接球半径公式计算半径，最后应用球的表面积公式计算即可. 【详解】依题意可知，． 如图，将四面体ABCD放入长方体中，    设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型 ， 则解得     四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为， 故所求表面积为， 故选:C． （汉堡模型） 3．图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题可知所求球的表面积最小时就是该几何体外接球的表面积，再找到球心计算球的半径即可求解． 【详解】由题意可知，所求球的表面积最小时就是该几何体外接球的表面积． 旋转后所得几何体的上底面为正方形，且与下底面平行． 设旋转后得到的几何体上、下底面中心分别为点M，N，连接MN，则MN为两底面的垂线． 上、下底面的外接圆半径均为， 故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点． 球心O到两底面的距离均为． 如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则，， 且，连接NB，则，． 在直角梯形MNBH中，，， 所以， 所以． 连接OB，则OB的长为外接球半径R， 在中，， 于是该几何体外接球的表面积为． 故选：A． （鳄鱼模型） 4．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【答案】D 【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值． 【详解】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH 因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形 所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120° 设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F 则由AH＝2可得AEAH，EHAH 分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60° 所以OE＝1，则R＝OA 则三棱锥外接球的表面积 故选：D    【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． （轴截面模型+山西部分学校2025高三质量检测） 5．已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为 .      【答案】 【分析】通过空间想象将圆台内自由转动的正方体问题，转化为求解圆台内球最大问题.先由侧面展开前后图形关系建立方程求解各相关各量等，再计算比较圆台高与圆锥内切球直径的大小关系确定最大球状态，求解半径，进而求正方体棱长与体积可得. 【详解】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球. 设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为， 则，化简得，又圆台母线长为， 联立，解得. 设圆台上、下底面圆半径分别为，则， 解得.    如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为， 在中，，又为锐角，则. 由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为， 故圆台的高. 如图2，圆锥轴截面为正三角形， 则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为，    因为正三角形内切圆直径， 故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为. 设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得， ，解得， 此时正方体的体积最大，最大为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，转化为正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型11  切、接模型 【模型归纳】 模型一：长方体模型 分类 墙角模型 对棱相等模型 特征 处理方法 构造长方体：三棱锥外接球的直径即长方体的体对角线（设由长方体的同一顶点引出的三条棱的棱长分别为a，b，c，三棱锥外接球的半径为R，则），则 构造长方体：三棱锥的棱是长方体的面对角线．设三棱锥三组对棱长度分别为x，y，z，对应长方体的长、宽、高分别为a，b，c，三棱锥外接球半径为R，则 所以， 即 【典例1】已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【思路分析】由条件，解三角形可求，将三棱锥补形为长方体，根据长方体及其外接球的关系可求得三棱锥的外接球半径，结合球的体积公式求结论. 【详细解析】在中，， 所以，所以． 因为平面平面， 所以． 又，所以． 如图将三棱锥，补形为长方体， 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点． 又，即， 所以球的半径为2， 故球的体积． 故选：C． 【典例2】（山西孝义第二中学2025高三月考）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【思路分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详细解析】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 【题后反思】本质都是构造长方体解决外接球问题，但所构造长方体的长、宽、高与三棱锥的棱之间的关系不同：墙角模型（除例外型之外）中所构造长方体的长、宽、高是对应三棱锥的棱；而对棱相等模型中构造的长方体的面对角线对应三棱锥的棱. 模型二：汉堡模型 特征 所有顶点在两个互相平行的平面上且有两个互相平行的底面的几何体（如棱柱、棱台、圆柱、圆台与某些不规则几何体等） 有一条侧棱与底面垂直的棱锥 处理方法 找球心法：①定球心．两平行底面的外接圆是球的两个相互平行的截面圆，外接球球心在两个底面外心连线所在直线上．②求半径．设球的两个截面圆的半径分别为，，球心到两截面的距离分别为，，外接球半径为R，两平行截面间的距离为d．若球心在两截面异侧，则若球心在两截面同侧，则 将棱锥补形成直棱柱，棱锥的外接球就是直棱柱的外接球，转化为两底面平行类的几何体问题求解．以三棱锥为例，如图，在三棱锥中，平面BCD，将其补成直三棱柱，由对称性可知球心O的位置是的外心与的外心连线的中点．圆的半径，，故 【典例3】（河南许昌2025高三联考）在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（ ） A．1    B．    C．2    D．1或2 【答案】A 【思路分析】根据给定条件，求出球半径并确定球心位置，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式列式计算得解. 【详细解析】在直三棱柱中，，，则外接圆圆心为中点， 令三棱锥外接球球心为，则平面，设此球半径为， 由，得，而外接圆半径，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，由，得，解得或， 而，所以. 故选：A 【典例4】（福建金科百校2025联考）在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【思路分析】根据余弦定理和正弦定理可得外接圆半径，结合三棱锥的性质得外接球的半径，可解. 【详细解析】设外接圆半径为， 在中，由余弦定理，， 即，整理得， 所以，故 由正弦定理得，所以， 三棱锥的外接球的半径 三棱锥的外接球的表面积的最小值为. 故选：A． 【题后反思】柱体外接球球心一定在柱体的内部，为上、下两底面外接圆圆心连线的中点；而台体的外接球球心可能在两底面外接圆圆心的连线上，也可能在两底面外接圆圆心连线的延长线上. 模型三： 鳄鱼模型 分类 鳄鱼模型 切瓜模型 特征 已知某两个面所成二面角大小的三棱锥 有一侧面垂直于底面的三棱锥，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形 处理方法 找球心法：①定球心．二面角对应的三棱锥的两个相邻侧面三角形的外接圆就是外接球的两个截面，故球心与三角形外接圆圆心的连线与对应三角形所在平面垂直，则这两个相邻三角形侧面的过三角形外心的垂线的交点就是球心．②求半径．如图所示的三棱锥中，已知二面角的大小为，M是AB的中点，，的外心分别为，，三棱锥外接球球心为O，半径为R，则，．若，，，则在中，．的外接圆是平面四边形的外接圆，外接圆直径． 在中，，则 实质就是鳄鱼模型的特例（已知二面角为直二面角）．如图，已知二面角是直二面角，类型Ⅰ中与都是直角三角形；类型Ⅱ中是等边三角形，是直角三角形；类型Ⅲ中与都是等边三角形（E为BC中点）；类型Ⅳ中与都是一般三角形．解决方法：以类型Ⅳ为例，过外心作该三角形所在平面的垂线，则三棱锥的外接球球心O在此垂线上，设三棱锥的高为h，外接球半径为R，到BC的距离为d，O与间的距离为m，外接圆半径，则由即可解出R．或令鳄鱼模型中，则（其中，为两个侧面三角形外接圆的半径，l为两个侧面三角形公共边的长） 【典例5】（河南濮阳2025质量检测）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【思路分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详细解析】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 【典例6】（江西抚州2025质量监测）在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【思路分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详细解析】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【题后反思】准确确定鳄鱼模型中两个相邻侧面三角形的外接圆圆心和半径是关键，可利用正弦定理求解半径，但要注意边与对角正弦之比等于外接圆的直径. 模型四：斗笠模型 特征 圆锥或顶点在底面上的射影是底面多边形外心的棱锥 处理方法 设圆锥（或三棱锥）的高为h，底面圆半径（或三棱锥的底面多边形的外接圆半径）为r．①球心O在高所在直线上，既可能在线段上，也可能在线段的延长线上；②设外接球半径为R，则．在中，，即，得 【典例7】一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为 . 【答案】 【思路分析】先作图，根据题意可知，设，则底面圆的直径为，圆锥的侧面积为，求出，圆锥的高为，设圆锥外接球的半径为，利用勾股定理求出，进而列式求出外接球的表面积. 【详细解析】如图，设，则. 设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高. 设圆锥外接球的半径为，所以，解得， 则外接球的表面积为. 故答案为：. 【典例8】（湖南邵阳2024期中）（多选题）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m    B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的外接球的表面积为    D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【思路分析】由母线长和底面半径利用勾股定理求出圆锥的高判断选项A；公式法求圆锥侧面积判断选项B；构造直角三角形求出外接球半径，计算表面积判断选项CD. 【详细解析】对于A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，故A正确； 对于B，圆锥SO的侧面积，故B正确； 对C，D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【题后反思】外接球球心可能在几何体内部，也可能在几何体的外部，，绝对值不要遗漏. 模型五：内切球模型 特征 某些多面体或简单的旋转体 处理方法 多面体的内切球：①过内切球球心作多面体的截面，转化为平面图形问题，建立内切球半径与多面体几何量之间的关系．②等体积变换．利用内切球球心和内切球与多面体表面的切点将多面体分割为多个锥体，设多面体表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则，得 简单的旋转体：通过轴截面转化为平面图形内切圆问题．①圆柱．易知圆柱的高h等于底面直径2r，则内切球半径R等于圆柱底面圆半径r．②圆锥（底面圆半径为r，高为h，母线长为l）内切球半径．③圆台（两底面圆半径分别为，，高为h，母线长为l）内切球（半径为R）： 【典例9】已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则_____；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_____. 【答案】 . 【思路分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径，从而可分别求出圆锥的体积为和球O的体积为； 设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点到直线的距离，然后结合球O的半径，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r. 【详细解析】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且， 易知球O的半径， 所以，，所以； 设MN的中点为C，连接PC，DM，则， 易知，，所以，所以. 过O点作，垂足为E，易知，则， 又，则. 设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r， 则，所以截面的面积为. 故答案为：；. 【典例10】传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题： ①平面截得球的截面面积最小值为； ②球的表面积是圆柱的表面积的； ③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为． 其中所有正确的命题序号为 . 【答案】①③ 【思路分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可判断③. 【详细解析】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示： 易知，，， 由勾股定理可得， 则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面时，取最大值，即， 所以，， 所以平面截得球的截面面积最小值为，①对； 对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以球与圆柱的表面积之比为，②错； 对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为， 则，，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，③对. 故答案为：①③. 【题后反思】利用过球心的截面解决多面体内切球问题时，一般选取过多面体的一条棱的截面，要准确判断该截面与其他面的交线，从而建立多面体几何量与截面几何量之间的关系，这是最容易出错的地方. （墙角模型 ） 1．如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ）     A． B． C． D． （对棱相等模型） 2．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（   ） A． B． C． D． （汉堡模型） 3．图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（   ）    A． B． C． D． （鳄鱼模型） 4．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． （轴截面模型+山西部分学校2025高三质量检测） 5．已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为 .      试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$