精品解析：河南省郑州市中牟县锐瀚高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

中牟锐瀚高中2024-2025学年下学期期中考试高一数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 2. 若实数x，y满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ） A 平面内有一条直线与平面平行 B. 平面内有两条直线与平面平行 C 平面内有无数条直线与平面平行 D. 平面内有两条相交直线与平面平行 4. 已知球的半径为2，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，E是靠近B点的三等分点，（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面的说法正确的是（ ） A. 平面面积可以为 B. C. 三点确定一个平面 D. 两条平行直线只能确定一个平面 10. 下列关于平行的说法正确的是（ ） A. 空间中平行于同一条直线两直线平行 B. a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C. D. 11. 已知则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，与的夹角为，则_________． 13. 已知，且，则_________． 14. 若圆锥的底面半径为1、高为，则圆锥的体积为_________． 四、解答题（共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． （1）用坐标表示； （2）求的模长； （3）求顶点A的坐标． 16. 设复数． （1）若是实数，求m的值； （2）若，求； （3）若为实数，求． 17. 使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系． （1）点P与直线 （2）点B与直线 （3）点P与直线 （4）点与平面 （5）直线与平面 （6）直线与平面 （7）平面与平面 18. 如图所示，空间四边形中，E，F，G，H分别是中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，则形成一个三棱锥，若三棱锥底面是边长为1的正三角形，并且三棱锥的高为2，求三棱锥的体积． 19. 记的内角的对边分别为，且，已知． （1）求． （2）若，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中牟锐瀚高中2024-2025学年下学期期中考试高一数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的定义求解即得. 【详解】. 故选：A 2. 若实数x，y满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 3. 已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ） A. 平面内有一条直线与平面平行 B. 平面内有两条直线与平面平行 C. 平面内有无数条直线与平面平行 D. 平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 4. 已知球的半径为2，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积公式即可求得答案. 【详解】球的半径为2，则该球的体积为, 故选：B 5. 在中，内角的对边分别为，若满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理求，结合大角对大边确定，由此求. 【详解】由正弦定理可得， 又，，， 所以，所以， 因为，所以，又， 所以，故. 故选：D. 6. 下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，线，面的关系及符号表示判断各个选项即可. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：B. 7. 已知圆柱底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 8. 在中，E是靠近B点的三等分点，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，E是靠近B点的三等分点， 则 , 故选：C 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面的说法正确的是（ ） A. 平面面积可以为 B. C. 三点确定一个平面 D. 两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面的定义判断A，根据基本事实2判断B，举反例判断C，根据基本事实一的推论判断D. 【详解】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内，可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确； 故选：BD. 10. 下列关于平行的说法正确的是（ ） A. 空间中平行于同一条直线的两直线平行 B. a、b、c是空间中的三条直线，若且，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用公理4判断A；举例说明判断B；面面平行的性质判断C；利用线面平行的判定判断D. 【详解】对于A，空间中平行于同一条直线的两直线平行，A正确； 对于B，直三棱柱的侧棱垂直于底面两边所在直线，B错误； 对于C，若，则或是异面直线，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用平面向量的坐标运算及数量积运算计算判断各个选项即可. 【详解】因为， 所以，A选项正确； ，所以不成立，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，与的夹角为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义即可求得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：2 13. 已知，且，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解可得. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：6 14. 若圆锥的底面半径为1、高为，则圆锥的体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆锥的体积计算公式即得. 【详解】因圆锥的底面半径为1、高为，则其体积为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． （1）用坐标表示； （2）求的模长； （3）求顶点A的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用终点坐标和始点坐标即可得解； （2）求出的坐标，由模长公式可得； （3）利用相等向量列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，所以. 【小问3详解】 设点坐标为，则， 因为四边形为平行四边形，所以， 则，解得，即点坐标为 16. 设复数． （1）若是实数，求m的值； （2）若，求； （3）若为实数，求． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出表达形式，根据其是实数，即可求得答案； （2）根据复数的乘法运算，即可得答案； （3）由为实数，求出m的值，根据复数的除法运算求出，结合模长的计算公式即可得答案. 【小问1详解】 由题意得， 由于是实数，故； 【小问2详解】 当时，； 【小问3详解】 若为实数，则， 故， 故. 17. 使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系． （1）点P与直线 （2）点B与直线 （3）点P与直线 （4）点与平面 （5）直线与平面 （6）直线与平面 （7）平面与平面 【答案】（1）直线 （2）直线 （3）直线 （4）平面 （5）直线平面 （6）直线平面 （7）平面平面 【解析】 【分析】（1）（2）（3）判断点与直线位置并用符号表示出. （4）判断点与平面位置并用符号表示出. （5）（6）判断直线与平面位置并用符号表示出. （7）判断平面与平面位置并用符号表示出. 【小问1详解】 点P在直线上，则直线. 【小问2详解】 点B不在直线上，则直线. 【小问3详解】 点P不在直线上，则直线. 【小问4详解】 点不在平面内，则平面. 【小问5详解】 直线在平面内，则直线平面. 【小问6详解】 直线与平面平行，则直线平面. 【小问7详解】 平面与平面平行，则平面平面. 18. 如图所示，空间四边形中，E，F，G，H分别是中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，则形成一个三棱锥，若三棱锥的底面是边长为1的正三角形，并且三棱锥的高为2，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明，即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 因E，F，G，H分别是的中点， 则，， 则四边形是平行四边形. 【小问2详解】 由题意知，. 19. 记的内角的对边分别为，且，已知． （1）求． （2）若，求面积． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）余弦定理结合已知即可得解； （2）求出角，由面积公式求解可得. 小问1详解】 由余弦定理可知，又， 所以，整理得， 又，所以，所以，. 【小问2详解】 若，则， 又，所以， 由（1）知，所以面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $