精品解析：河南省郑州市中牟县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 长方体是平行六面体 C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 已知向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若|＋|＝||－||，则⊥ B. 若⊥，则|＋|＝||－|| C. 若|＋|＝||－||，则存实数λ，使得＝λ D. 若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－|| 7. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B C. D. 8. 正六边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是向量的位置，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在实数，使得 C. D. 向量，的夹角为 10. 已知均为复数，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则实数 C. 若，则 D. 若，则是实数 11. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的表面积为 D. 球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，则复数的虚部为__________. 13. 球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为______，球O的体积与圆锥M的体积的比值为______． 14. 如图，某宝塔坐落在一山坡上，若在山坡处测得，从处沿山坡直线往上前进米到达处，在山坡处测得，，则该宝塔的高约为______米（，结果取整数 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足且． （1）求复数； （2）求． 16. 已知在向量，中，． （1）若向量，求； （2）若向量在向量上的投影向量，求． 17. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18. 钝角中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在四边形中，，，． （1）当时，求四边形的面积； （2）当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 长方体是平行六面体 C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间部分是圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱， 所以长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误. 故选：B. 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先对化简，再结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】解：复数， 故复数在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：． 3. 已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求得,再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意得,得, 所以,所以. 故选：C 4. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】， 解得，负值舍去. 故选：A. 5. 已知向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平面向量数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解 【详解】已知向量， 若与的夹角为钝角，则，解得且， 故“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若|＋|＝||－||，则⊥ B. 若⊥，则|＋|＝||－|| C. 若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λ D. 若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－|| 【答案】C 【解析】 【详解】利用排除法可得选项C是正确的，∵|＋|＝||－||，则，共线，即存在实 数λ，使得＝λ．如选项A：|＋|＝||－||时，，可为异向的共线向量；选项B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；选项D：若存在实数λ，使得＝λ，，可为同向的共线向量，此时显然|＋|＝||－||不成立 7. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法即可求点到平面的距离． 【详解】解：由直三棱柱的体积为， 可得， 设到平面的距离为， 由得 ，解得． 故选：D． 8. 正六边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由正六边形的性质可得，则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为，则，，，， 所以，，， 设， 则， 所以，解得， 所以． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是向量的位置，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在实数，使得 C. D. 向量，的夹角为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量坐标定义，得出向量，的坐标，利用坐标进行计算即可判定各选项． 【详解】如图所示，以起点为原点建立平面直角坐标系，一个小方格长为单位1， 根据向量的坐标表示，由图可得， 则，故A正确； 由图可知，与不共线，故B错误； 易知，故C错误； ，易知， 则向量，的夹角为，故D正确． 故选：AD． 10. 已知均为复数，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则 D. 若，则是实数 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，举反例即可判断正误；对于选项B，令，则，进一步计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，令，则，进一步计算即可判断正误. 【详解】对于A：若，可得，而，故A错误； 对于B：由，令，则， 则为实数，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 若，可令，则， 则为实数，故D正确. 故选：BD. 11. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的表面积为 D. 球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部. 【详解】由题设，， ∴虚部为. 故答案为：. 13. 球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为______，球O的体积与圆锥M的体积的比值为______． 【答案】 ①. ##120° ②. 【解析】 【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，再根据球与圆锥的表面积公式求得，即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，则，所以，圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为；球O的体积为，圆锥M的高，圆锥M的体积为，所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为． 故答案为：， 14. 如图，某宝塔坐落在一山坡上，若在山坡处测得，从处沿山坡直线往上前进米到达处，在山坡处测得，，则该宝塔的高约为______米（，结果取整数 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果． 【详解】因为，，，所以， 所以，所以， 因为，所以， ， 中，由正弦定理得，，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知复数满足且． （1）求复数； （2）求． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）设复数，、，由共轭复数的概念、复数的模长公式结合题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中的值，利用复数的乘法法则计算求即可． 【小问1详解】 设复数，、，则，， 由且，得， 解方程得，所以复数或； 【小问2详解】 当时， ； 当时， ， 综上，． 16. 已知在向量，中，． （1）若向量，求； （2）若向量在向量上的投影向量，求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积公式可先求得，进而利用数量积与模长关系求得结果； （2）由投影向量的模长为，利用数量积定义可求得结果. 【小问1详解】 由，， 可得， 解得， 则， 所以； 【小问2详解】 由题意，向量在向量上的投影向量的模长， 又，． 17. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）面积为，周长为； （2）体积为，表面积为． 【解析】 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【小问1详解】 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积， 又， 所以四边形的周长； 【小问2详解】 四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为． 18. 在钝角中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）利用第一问可判定条件①不符合题意；选择条件②，可先确定三边长，再由余弦定理计算即可求中线；若选择条件③，可由由三角形的面积公式和余弦定理计算中线． 【小问1详解】 在中，由正弦定理知：， 又因为，， 所以，则或， 又因为为钝角三角形， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 故条件①：，不符合题意； 若选择条件②：因为中，，， 所以，即为等腰三角形，其中， 因， 所以， 所以， 设点为线段的中点，在中，， 由余弦定理知：中， ， 所以， 即边上的中线的长度为， 若选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中， 因为的面积为， 即，即， 设点为线段的中点，在中，， 由余弦定理知：中， ， 所以， 即边上的中线的长度为. 19. 如图，在四边形中，，，． （1）当时，求四边形的面积； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可； （2）连接，作于点，利用正弦定理和二倍角公式求解． 【小问1详解】 如图，连接，则当时， 在中，由余弦定理可得 ， 所以在中，由勾股定理可得，所以， 所以； 【小问2详解】 如图，连接，作于点， 则由，可得为的中点，设， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以， 由，可得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$