精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

高二考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第6章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有5本不同的历史类图书，第二层放有6本不同的文学类图书.从这些书中任取1本历史类图书和1本文学类图书，不同的取法有（ ） A. 11种 B. 30种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】从第一层中任取1本历史类图书，有5种取法；从第二层中任取1本文学类图书，有6种取法， 由分步乘法计数原理知，共有种不同的取法. 故选：B 2. 若对任何等比数列，恒成立，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】根据等比数列的性质可得， 解得. 故选：C. 3. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 4. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. 16 C. 20 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】求出的展开式通项，再求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项， 则的展开式中含的项的系数为． 故选：D 5. 若函数在上有极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数极值点与导函数零点之间的关系，列出关于参数的不等式，求出参数取值范围. 【详解】已知，则， 令，即，因为，，所以即可，解得，同理时解得. 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取得极值，则，解得. 故选：C. 6. 某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 180种 D. 260种 【答案】D 【解析】 【分析】分区域1与区域3种同种花卉和不同花卉两种情况，根据分步乘法计数原理可得. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种. 故该花坛的花卉种植方案共有种. 故选：D 7. 数列中，若则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得是等差数列，求出通项公式，结合前n项和公式列式求解. 【详解】在等式中，令，得， 因此是以2为首项，2为公差的等差数列，则， ，解得. 故选：C 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性即可比较大小. 【详解】设函数，则， 当时，单调递增区间为． 因为， 又，在为增函数，所以． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断各个选项即可. 【详解】令，得，A正确； 令，得，B正确； 令，得，C错误； 将与相加， 得，D正确. 故选：ABD. 10. 记为数列的前项和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 11. 若函数在区间D上的导函数为增函数，则称在区间D上为凹函数．已知函数的定义域均为为奇函数，当时，，则（ ） A. B. 函数在上为凹函数 C. 当时，函数在上凹函数 D. 当在上为凹函数时，a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；设，利用导数判断当时单调性可判断B；求出可判断C；当在上为凹函数时，设，利用，转化为对恒成立可判断D． 【详解】对于A，令，得， 因为，所以，即．令， 得，由，得， 又，所以．令，得， 即，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则， 设，则， 当时，，则为减函数，即为凹函数，故B错误； 对于C，当时，，则为增函数，故C正确； 对于D，当时，，则， 当在上为凹函数时，设，则， 即对恒成立，则对恒成立， 所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将1个b，2个n，3个a随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词banana的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及组合知识求出试验的基本事件总数，进而求出古典概率. 【详解】共有6个字母，从6个位置上，先选出一个位置安排b， 再从剩余的5个位置选出2个位置安排2个n，剩余的3个位置安排3个a， 所得字母串的个数为，所得字母串恰为单词banana的仅有1个， 则所求概率为. 故答案为： 13. 在正六棱柱中，，则正六棱柱的体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由得，利用体积得，利用导数即可求得最大值. 【详解】设，则，则， 所以正六棱柱的体积 ，则． 当时，，当时，，故． 故答案为：. 14. 两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则有______种不同的排法.（用数字作答） 【答案】816 【解析】 【分析】利用捆绑法、插空法以及间接法即可求解. 【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法， 再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法， 即此时排法有种，而甲站最左边排法有种， 故符合条件的排法共有种. 故答案为：816. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切，求的值. 【答案】（1）； （2）或3 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数等于斜率，点在函数及切线上列式计算求解. 【小问1详解】 ，则， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得，即. 【小问2详解】 设直线与曲线相切于点， 则 将上式代入下式，得，即， 解得或1，故或3. 16. 已知是等差数列，是等比数列，，，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）只需计算出公差、公比即可； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为（）. 因为所以 即解得或（舍去）， 所以的通项公式为， 的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减，得， 故. 17. 用0，1，3，4，5，6，7，8组成一个无重复数字的四位数. （1）求满足条件的四位数的总个数； （2）若从所有满足条件的四位数中任意选取一个，求这个四位数能被5整除的概率； （3）若从所有满足条件的四位数中任意选取一个，求这个四位数能被3整除且不含数字0的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）需要考虑到千位数字不能为0的情形，然后利用排列组合的知识进行求解即可. （2）首先判断能被5整除的数的特点，然后分情况计算个数，最后除以总数就是概率值. （3）首先判断能被3整除的数字的特点，然后一一列出符合条件的数字，最后通过排列数进行计算即可. 【小问1详解】 因为四位数的千位数不能为0，所以千位数有7种选择，排完了千位数后，还剩7个数字， 所以满足条件的四位数的总个数为. 【小问2详解】 若这个四位数能被5整除，则这个四位数的个位数为0或5. 当个位数为0时，满足条件的四位数的个数为； 当个位数为5时，满足条件的四位数的个数为. 故这个四位数能被5整除的概率为. 【小问3详解】 若这个四位数能被3整除，则这个四位数的各位数之和能被3整除， 各位数之和是3的倍数且不含数字0的所有情况有，，，， ，，，，，，. 故这个四位数能被3整除且不含数字0的概率为. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：只有一个零点. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数单调性，先根据确定定义域，对求导得，令为分子，根据判别式的值分情况讨论正负，进而确定正负，得出单调性. （2）证明函数零点个数，当时，单调递增且，所以只有一个零点；当时，有增有减，已知可得有一个零点，再求极小值，通过代换化简，构造新函数，分析单调性得出，所以无零点，综上只有一个零点. 【小问1详解】 因为，所以的定义域为. . 令.令，得. 若，即，则，，所以上单调递增. 若，即，则方程的解为，，且. 当时，，； 当时，，. 故在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 证明：当时，在上单调递增.因为，所以只有一个零点. 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以在上有一个零点. . 因为，所以，即，所以. 令，则. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以在上没有零点，即在上只有一个零点. 综上，只有一个零点. 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第，项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列为0阶相邻递增数列，数列为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）求数列的相邻递增数列的阶数. （2）将随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为. ①证明为等比数列，并求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和. 【答案】（1）4 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）根据阶相邻递增数列定义可得答案； （2）①由正整数构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造：（ⅰ）在递减数列中，任选一项的右边放，使此数列为1阶相邻递增数列；（ⅱ）在由正整数构成1阶相邻递增数列中，则将放在的右侧或者放在的左侧即可，得到，再由构造法可得答案； ②由①求出，利用裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 因为，，，， 所以存在，使得， 故所求数列的相邻递增数列的阶数为4； 【小问2详解】 ①在由正整数构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造： （ⅰ）在递减数列中，任选一项的右边放，使此数列为1阶相邻递增数列，共有种排法； （ⅱ）在由正整数构成1阶相邻递增数列中，若只有第项满足， 则将放在的右侧或者放在的左侧即可，此时共有种排法. 故，. 易知，则， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. ②由①知， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第6章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有5本不同的历史类图书，第二层放有6本不同的文学类图书.从这些书中任取1本历史类图书和1本文学类图书，不同的取法有（ ） A. 11种 B. 30种 C. 种 D. 种 2. 若对任何等比数列，恒成立，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 3. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. 16 C. 20 D. 18 5. 若函数在上有极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某社区广场有一个如图所示花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 180种 D. 260种 7. 在数列中，若则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 记为数列的前项和.若，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在区间D上的导函数为增函数，则称在区间D上为凹函数．已知函数的定义域均为为奇函数，当时，，则（ ） A B. 函数在上为凹函数 C. 当时，函数在上为凹函数 D. 当在上为凹函数时，a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将1个b，2个n，3个a随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词banana的概率为________． 13. 在正六棱柱中，，则正六棱柱的体积的最大值为________． 14. 两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则有______种不同的排法.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切，求的值. 16. 已知是等差数列，是等比数列，，，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 用0，1，3，4，5，6，7，8组成一个无重复数字四位数. （1）求满足条件的四位数的总个数； （2）若从所有满足条件的四位数中任意选取一个，求这个四位数能被5整除的概率； （3）若从所有满足条件的四位数中任意选取一个，求这个四位数能被3整除且不含数字0的概率. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）证明：只有一个零点. 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第，项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列为0阶相邻递增数列，数列为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）求数列相邻递增数列的阶数. （2）将随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为. ①证明为等比数列，并求数列的通项公式； ②设，求数列前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$