精品解析：江西省临川第二中学2024-2025学年高一下学期5月第三次月考数学试题

临川二中2024－2025学年度下学期高一数学第三次月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列式求解. 【详解】为偶函数，则，，取，则. 故选：D. 2. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（ ） A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 2：：1 D. 1：：2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解. 【详解】∵：：：2：3，且， ∴，，，则， 故 故选： 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 4. 已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切化弦后，结合二倍角正余弦公式可构造方程求得，由可求得结果. 【详解】由得：， ，，，解得：， . 故选：D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 7. 在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【详解】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D 8. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案. 【详解】依题意可得， 因为，所以， 因为在恰有2个零点，且，， 所以，解得， 令，，得，， 令，得在上单调递减， 所以， 所以，又，解得． 综上所述，，故的取值范围是． 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量=（2，1），，则（ ） A. 若，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确； 对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确； 对于C选项，，，C选项正确； 对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误. 故选：ABC. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 C. 若在区间上的最大值是，则的最小值为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先化简函数，得，根据正弦型函数的图像性质研究周期性、平移、值域等问题. 【详解】， 所以的最小正周期为，故A错误； 把的图象向左平移个单位长度，所得函数为，是偶函数， 所以图象关于y轴对称，故B正确； 当时，， 当，即时，最大值为， 所以m的最小值为，故C错误； 令，解得， 当时，的一个对称中心为， 故时，有，故D正确. 故选：BD. 11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则为锐角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据余弦定理计算判断A，应用正弦定理及二倍角正弦公式计算判断B，根据面积公式结合余弦定理及基本不等式计算判断C，应用余弦定理结合已知计算判断形状判断D. 【详解】若，，， 由余弦定理得，，则， 所以符合条件的没有，故A错误； 若，由正弦定理得， 又因为，则，则， 则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，不一定成立，故B错误； 若，则， 当且仅当即时，取最小值为，C选项正确； 对于D，由，可知，， 由，可得，，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以是锐角三角形，故D正确； 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 13. 在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由得出，即，且由，，设，，然后利用辅助角公式可求出的最大值. 【详解】，，，，则，且， 则， 点在内，则，，设，， ，其中， 因此，的最大值为. 故答案为：. 14. 函数的值域为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的周期性，对函数进行分类讨论，结合辅助角公式，对函数的值域展开讨论，则问题得解. 【详解】，所以周期为，取， 当， 其中， 当时，， ，； 当， 其中， 当时，， ，； ，周期为，所以的值域为. 故答案为：. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，涉及辅助角公式的使用，函数周期性的应用，属综合中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若锐角满足，求的值. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知及三角函数定义求得，再应用诱导公式求目标式的值； （2）由（1）得，平方关系得，讨论的象限，应用差角正弦公式求目标函数值 【小问1详解】 由题设知：，则， 又， ； 【小问2详解】 由（1）知：，且， 又为锐角，为第四象限角，所以为第四象限角或第一象限角. 当为第一象限角时，则， 当为第四象限角时，则. 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： （1）的值； （2）的最大值． 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，从而可得到，，的坐标，再设，，进而可得到，，最后利用数量积的坐标运算即可求得的值； （2）结合（1）可得，，从而得到，再根据的取值范围即可求得的最大值． 【小问1详解】 依题意建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以的最大值是1． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，且． （1）求函数的最小值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，的面积为，求a的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由和得，由求出函数解析式，由正弦性质，在时，求的最小值； （2）由求出角A，由的面积求出c边，余弦定理求a的值. 【小问1详解】 ∵，，， 点D是线段EF上靠近点F的三等分点，,则， ∴， ∴， ∴． 由，得， ∴当，即时，取得最小值，为． 【小问2详解】 由（1）及，得，则， 由，得 ∴，则． 由，可得， 在中，由余弦定理得，∴． 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设. （1）若，求线段的长； （2）已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？ 【答案】（1） （2）时最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）在中，求得，在中，，代入条件得解； （2）在中，求得，，得，求得矩形的面积，再利用三角恒变换化简，分析得到面积的最大值，得解. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 由题意知， ， ， ， 所以当，即时， 面积最大，最大值为. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川二中2024－2025学年度下学期高一数学第三次月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（ ） A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 2：：1 D. 1：：2 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量=（2，1），，则（ ） A. 若，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 C. 若在区间上的最大值是，则的最小值为 D. 若，则 11. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 13. 在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________． 14. 函数的值域为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若锐角满足，求的值. 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： （1）的值； （2）的最大值． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，且． （1）求函数的最小值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，的面积为，求a的值． 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设. （1）若，求线段的长； （2）已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？ 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $