精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年下学期期中考试质量检测八年级数学试题　

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 七年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 将变形，用含的代数式表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　) A. B. C. D. 3. 在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算：，其中第一步运算的依据是（ ）． A. 幂的乘方法则 B. 乘法分配律 C. 积乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 6 已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 24 D. 32 7. 对于命题“若，则”，下列四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 9. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上.若.则三角形平移的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 10. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若……，则A的值是 A. 0 B. 1 C. D. 12. 如图，直线，直线于点A，直线于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为．两点的运动时间为，直线a与b之间的距离为，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为________g． 14. 把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸如图所示），这个小长方形的宽为______． 15. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_____________°． 16. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程组 （1）； （2）． 19. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； 20. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． 将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组 哈哈！直接可以更简便地求出m的值． （1）按照小云的方法，x的值为_____，y的值为_______； （2）请按照小辉的思路求出m的值． 21. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 22. 如图，在四边形中，，，点分别在上，． （1）判断与的大小关系，并说明理由． （2）若，平分，求的度数． 23. 已知如图，已知直线l∥l，直线l和直线l、l交于点C和D，P为直线l上一动点，A、B分别是直线l、l上的不动点．其中PA与l相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l相交为∠3． （1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系是什么？并证明． （2）若P点在线段CD之外时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系又怎样？直接写出结论，不必证明． 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 七年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 将变形，用含的代数式表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：由， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 2. 已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴ 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 3. 在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据加减消元法，即可求解． 【详解】解：①②得， ∵①②可直接消去未知数， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 计算：，其中第一步运算的依据是（ ）． A. 幂的乘方法则 B. 乘法分配律 C. 积的乘方法则 D. 同底数幂的乘法法则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知计算过程属于积的乘方法则． 【详解】第一步运算的依据是积的乘方法则．故选C． 【点睛】本题主要考查积的乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 6. 已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意可得，再根据幂的乘方运算及同底数幂的乘法，即可得原式为，据此即可求解． 【详解】解：， ， ． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算及同底数幂的乘法，代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键． 7. 对于命题“若，则”，下列四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查假命题的判断，掌握运用举反例判定命题的真假成为解题的关键． 由于命题为假命题，即a、b的值满足，但不成立，再把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可解答． 【详解】解：A.，且，满足“若，则”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意； B. ，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题，符合题意； C. ，且，满足“若，则”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意； D.，且，此时虽然满足，但不成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意． 故选B． 8. 如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的性质解答即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短. 故选：C． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 9. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上.若.则三角形平移的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，然后列式其解即可． 【详解】∵是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 即三角形平移的距离是． 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键． 10. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设共有人，物品价格元，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设共有人，物品价格元， 根据题意得，． 故选：A． 11. 若……，则A的值是 A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可 【详解】…… …… …… 故选D 【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键 12. 如图，直线，直线于点A，直线于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为．两点的运动时间为，直线a与b之间的距离为，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线的距离、解一元一次方程等知识，关键是找到点P与点Q距离最近时的位置是解答的关键．先证明，进而得到当与直线c垂直时点P与点Q距离最近，此时直线，则，进而由已知列方程求解即可． 【详解】解：如图，设直线d与直线a交于点C， ∵直线，直线于点A，直线于点B，直线a与b之间的距离为， ∴，， 故当与直线d垂直时点P与点Q距离最近，此时直线 ∴， ∴，解得， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 每立方厘米的空气质量约为g，用小数把它表示为________g． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法表示方法，可得原数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学计数法，小数表示的科学计数法的指数是负几，小数点向左移动几个单位． 14. 把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸如图所示），这个小长方形的宽为______． 【答案】12 【解析】 【分析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意列出方程组，解方程组，即可得出答案． 【详解】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：， 解得： ， ∴这个小长方形的宽为， 故答案为：12 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系． 15. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_____________°． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知． 【详解】解：如图： 由的三角尺可知， ∴． 由平行线的性质可知． 故答案为：55． 16. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短，得出当时，最小，理由等积法求出最小值即可．本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为： 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）1； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是： （1）根据幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相乘法则、合并同类项法则计算即可； （2）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义，绝对值的意义、乘方法则等计算即可； （3）逆用积的乘方法则，根据平方差公式、完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式、多项式乘以多项式法则、去括号法则、合并同类项法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解∶原式 ； 【小问4详解】 解∶原式 ． 18. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）运用加减消元法解方程组即可； （2）运用加减消元法解方程组即可； 【小问1详解】 解：， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以，方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以，方程组的解为． 19. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，试求的值； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的展开式不含有某一项，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．多项式中不含有某一项就是其系数为0．先根据多项式乘以多项式法则展开整理，再确定二次项和常数项，进而求出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． 20. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． 将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组 哈哈！直接可以更简便地求出m的值． （1）按照小云的方法，x的值为_____，y的值为_______； （2）请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】（1）13、； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）联立①③可得，运用加减消元法，解之即可得出x和y的值； （2）利用，可得出，将变形为，再运用代入消元法代入，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【小问1详解】 解：联立①③得：， 由得：，即， 将代入③得：， 解得：， 故答案为：13、； 【小问2详解】 解：由得：④， 将③代入④得：， 解得：． 21. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】（1）A型车15万元/辆，B型车20万元/辆； （2）①A型车4辆，B型车8辆；②A型车8辆，B型车5辆；③A型车12辆，B型车2辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依据题意可得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元． 【小问2详解】 解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均正整数， ∴， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进4辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案2：购进8辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进12辆A型汽车，2辆B型汽车． 22. 如图，在四边形中，，，点分别在上，． （1）判断与的大小关系，并说明理由． （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键． （1）由得到，由，得到，从而，进而即可解答； （2）由求得，根据平分得到，从而，进而即可解答． 小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 已知如图，已知直线l∥l，直线l和直线l、l交于点C和D，P为直线l上一动点，A、B分别是直线l、l上的不动点．其中PA与l相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l相交为∠3． （1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系是什么？并证明． （2）若P点在线段CD之外时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系又怎样？直接写出结论，不必证明． 【答案】（1）∠2=∠1+∠3;（2）①当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1;②当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3. 【解析】 【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）∠2=∠1+∠3． 证明：如图1，过点P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE． 又∵∠2=∠APE+∠BPE， ∴∠2=∠1+∠3； （2）①如图2所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1． 理由：过点P作PF∥l1，∠FPA=∠1． ∵l1∥l2， ∴PF∥l2， ∴∠FPB=∠3， ∴∠2=∠FPB-∠FPA=∠3-∠1； ②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3． 理由：过点P作PE∥l2，∠EPB=∠3． ∵l1∥l2， ∴PE∥l1， ∴∠EPA=∠1， ∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3． 详解片段 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2） （3）当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A最小值为－9； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$