精品解析：江西上饶市鄱阳县2025-2026学年第一学期八年级数学期末试卷

2025-2026学年度第一学期八年级数学 期末试卷 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光，以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是（　　） A. B. 腾讯混元 C. 微云人工智能 D. 通义千问 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 缩小到原来的 5. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张 6. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 8. 已知和关于轴对称，则的值为________． 9. 已知，，则的值为______． 10. 若代数式是一个完全平方式，则实数_____________________． 11. 如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为______． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 15. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中过点作的垂线； （2）在图2的上找一点，使得． 16. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 17. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形． （2）已知为轴上一动点，当的值最小时，的坐标为______． （3）直接写出的面积：______． 19. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求两种型号纪念品的单价分别是多少元； （2）若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 20. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读理解，并解决问题： 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法一：_____，方法二：_____； （2）观察图②，写出，，三个代数式之间的等量关系，并求出当，，求的值； （3）已知，求的值． 22. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 六．解答题（共1小题，12分） 23. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级数学 期末试卷 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光，以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是（　　） A. B. 腾讯混元 C. 微云人工智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 4. 若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴该分式的值扩大到原来的3倍． 故选：B． 5. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的类卡片的总面积，由此即可得． 【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为： ， ∵1张类卡片的面积为， ∴需要类卡片的张数为（张）， 故选：D． 6. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据它的解集得到a的取值范围，再解关于y的分式方程，根据分式方程的解为正整数得到所有满足条件的整数a的值，然后求和即可． 【详解】解：解一元一次不等式组， 解①得：x≤a， 解②得：x≤5， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴a≤5， 解关于的分式方程， 得：y﹣a+2y﹣5=y﹣2，解得：， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴a=5或3或1或﹣1， 当a=1时，y=2为分式方程的增根，故舍去， ∴所有满足条件的整数的和为5+3+（﹣1）=7， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解、有理数的加减混合运算，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法，正确求得a值是解答的关键，注意分式方程要验根． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 8. 已知和关于轴对称，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据坐标的对称性求出a,b，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，，则． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查坐标的对称，解题的关键是熟知坐标的对称性． 9. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用．先逆用法则，即，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 10. 若代数式是一个完全平方式，则实数_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．利用完全平方公式进行求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质．利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为______． 【答案】或或． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，根据全等三角形的性质在平面直角坐标系中画出图形，即可求解．画出所有可能的情况是解题的关键． 【详解】解：为等腰直角三角形，斜边， ，， 当与全等时，存在三种情况，如图： 与全等时，，，可得； 与全等时，，，可得； 与全等时，，轴，可得； 综上可知，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、负整数指数幂、去绝对值的运算法则即可得出答案； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得出的值，经检验得出分式方程的解． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 检验，当时，， 是原方程的解． 14. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 15. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中过点作的垂线； （2）在图2的上找一点，使得． 【答案】（1） 如图1，直线即为所求； （2） 如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题； （1）取格点，作直线即可； （2）构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 16. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解即可． 【小问1详解】 解： “”型区域的面积为： ． 【小问2详解】 当，时， (平方米) 答：“”型区域的面积是平方米． 17. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）， 理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于轴的对称图形． （2）已知为轴上一动点，当的值最小时，的坐标为______． （3）直接写出的面积：______． 【答案】（1） 如图所示． （2）． （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）连接，与轴的交点即为点，写出点的坐标即可． （3）分割法求出三角形的面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵关于轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的值，如图所示， ∴， 【小问3详解】 由图可知：的面积为：. 19. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． （1）求两种型号纪念品的单价分别是多少元； （2）若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买个型号的纪念品 【解析】 【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解； （）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【点睛】第（1）问解分式方程后，要检验所得解是否为原方程的解，且需符合实际意义；第（2）问设未知数时，要注意未知数的取值范围为正整数． 20. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底， （3） 解：设， 则原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； 【小问3详解】 略 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读理解，并解决问题： 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法一：_____，方法二：_____； （2）观察图②，写出，，三个代数式之间的等量关系，并求出当，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）方法一：求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；方法二：根据大正方形面积减去4个长方形面积，即可得出答案； （2）根据（1）中阴影部分的面积相等，即可得出等式，然后代入，求解即可； （3）设，，求出，，然后利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： 方法一：； 方法二：； 【小问2详解】 解：由（1）中两种方法阴影部分面积相等可得，； 当，时， ∴ ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：设， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 六．解答题（共1小题，12分） 23. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题； （2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算； （3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可． 【详解】解：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为，如图3， ，， 由（1）知，， ； （3）过点作于点，则，， ， 分三种情况： ①如图4，当时，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ； ②如图5，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，， 同①：， ， ， ； ③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 同①：， ，，设，则， ，， ， ， ， 故的面积为9或12或24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $