黑龙江省双鸭山市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2024—2025学年度高一下学期月考 数学试卷 注：卷面分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数，则的虚部为（ ） A．-1 B．1 C． D． 2.在中，，则（ ） 3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A．12 B． C． D． 4.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 6.如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知长方体中，，，则点D到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 8.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（ ） A.若，则定为等腰三角形 B.若，则点是的垂心 C.若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 D.若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 10.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是（ ） A．圆锥的母线长为3 B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为 C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ）A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是定值 D．若为上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共计15分. 12．已知平面向量，的夹角为60°，且.若，则________. 13．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为________. 14．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________. 四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16.（15分）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭中，，高为，E，F分别为AB，BC的中点， （1）求方亭的体积； （2）求异面直线所成角的余弦值. 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知、、． （1）若四边形为平行四边形，求与夹角的余弦值； （2）若、分别是线段、的中点，点在线段上运动，求的最大值． 18.（17分）如图，在四棱锥中，，，，为中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值. 19．（17分）设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在△ABC中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. （1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，,由点对施以视角运算， ,求的最小值. 高一年级下学期月考考试 数学学科试卷 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024一2025学年度高一下学期月考·数学 参考答案、提示及评分标准 1.B由题意可知=-+，所以的虚部为1. 2.A由余弦定理 +-=+厂二—=义×∈(，)÷= 3.A由题意知，0A=√2，将直观图还原为原图，如图，则o4=20=22,OB=1BC=3, 所以AB=CD=√OA+OB=3,所以原四边形ABCD的周长为12. 4.C ab，即 5.C因为向量ā在向量5上的投影向量为 a.b I 即9b6所以3·又63，则a63 又a=05,则同=2，所以a-ia-6=-2a6+f--2x3+9=寸. 6.D在R△BCD中，则BDcosa=BC,即BD=m 在△ABD中，则∠BDA=a+B,∠BAD=T-B, cos a 2 AB BD 吧弦定理得，a+可中行-所以0-0亿+) cosa cos B 7.A连接AC交BD于O,连接OD,因为长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1,所以AC L BD, 又DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DD⊥AC,又DD I BD=D,DD,BDC平面ODD, 所以AC⊥平面ODD,又ACc平面ACD,所以平面ACD⊥平面ODD, 所以∠DDO是直线DD与平面ACD,所成的角，所以tan∠DDO=D0=} DD 2' 仅D0号，所以Dp=2,由am∠DD0可得sim∠DD05 所以点D到平面ACD,的距离为sin∠DDO.DD=5×5-而 8.D翻折后所得图形如下图所示，易知即的中点O为球心， 故该国面体的外接球体职-考R-手(2-642， 3 3π， 又AO⊥BD,CO⊥BD,AO,COC平面ACG,AO∩CO=O,所以BDL平面AOC 二面角4-BD-C的大小为120°，5c=2反.2V5sin120°=25， o=nc+e号5cO8+写O0-BD-85,旅所求体银之比 3. 9.BC对于A,在△ 中，由sin2A=sin2B,得2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或4+B=,则A 是等腰三角形或直角三角形，错误： 对于B,因为· 即·(-)=，所以·=，所以上 同理，上，上，故点为△的垂心，正确， 对于C,由OA+OB+OC=,得0是A的重心，由O=o=oC,得0是A 的外心， 即△的重心、外心重合，则△为等边三角形，正确： 对于D,由AM=AB+AC,得AM-AB=(AC-AB),即BM=BC, 3 则CM=2CB,△的面积是A 面积的子，错误； 10.ACD对于A,设圆锥的母线长为1，底面半径为r,圆锥S0的侧面积为l=3元，./=3正确： 对于8，圆锥S0的侧面展开图的圆心角口=平-行错误 1 对于C,由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆 心角所对的弦长A4,AA=2×3xsim工=35.正确： 对于D,球与圆锥内切时，球的半径最大，此时球心在轴S0上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面. 设内切球的半径为，则圆维的高为、P-F-2由等面积法赛5w2x25-6+32水R,解 得R=5正确。 2 11.BCD对于A,由题意三棱锥D-DCB的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为2√5， D 故三棱锥D-DCB的外接球表面积为4π~（√5）2=12π，故A错误； 对于B,如图，分别取AA,AD的中点H,G,连接B,G,GH,HB,AD,HM, 因M为DD的中点，易得HM1IADI1BC,HM=AD=B,C,则得HMC B, 故B,H/IMC,因BHc平面B,GH,MCa平面B,GH,故MCII平面B,GH, 又因AB/ABIIDC,AB=AB=DCG,则得口ABCD,故BC /IAD, 因GH11AD,故BC/1GH,同理可得BC/1平面B,GH, 且MC nBC=C,MC,BCc平面BC,M,故平面B GH/1平面BCM, 又因BFI/平面BC,M,故BFC平面BGH,故点F的轨迹为线段GH,故B正确： 对于C,由B项分析，点F的轨迹为线段GH,因GHi面B,GH,故GHI/平面BCM, 则点F到平面BCM的距离为定值，而△BCM的面积也是定值， 则三棱锥F-BCM的体积是定值，故C正确： D 对于D,如图，设平面2与平面ABBA交于AN,点N在BB,上， A B 因平面QO平面ADDA=AM,平面ADD AI/平面BB,CC,故AM/ICN, 同理可证AN IIC,M,即得ANCM,故点N为BB的中点 在四棱锥4-AMCN中，显然侧棱AC最长，其长度为2√2； 设四棱雏A-AMCN的高为h,因AM=CM,故四边形AMCN是菱形， 则aAMC的边AC上的高为面对角线长的一半，为√2，又AC=2W5, 故Sm-x25x5=6,而Sm-号2x2=2, 由人=北w可每：5×h=8m×G4,代值解得625。 3 综上，可知线段40长度的取值范围为6,2，，故D正确 12.-一因为平面向量ā，6的夹角为120°，且日=2，=1，所以·=· 因为(3a+b)1(2a+),所以(3ā+b)(2a+5)=6a+(31+2)ā-万+62=0， 所以·+(+)·+入·=，解得入=一一 18.号设：=a+abeR),则+=-，得a+i+=a+i-, 所以(a+1)+b2=a2+(b-1,化简得a=-b,所以z=-b+bi(beR), 所以2+=b+(b+1州=V6+b+1=262+2b+1 之，当b=时取等号 b+- 2 2 所以+的最小值为。 14.+√厂依题意，AC⊥平面BDDB,所以BD⊥AC,在AB上取点F,使得=， 连接MF,则MF/IAC,BD⊥MF,在BB上取点G,使得=， 设MF与BD的交点为O,连接GO,在aDDB中，=，=，DD⊥BD, 在△GOB中，=-=，=-=，OB⊥BG,所以 G △DDB∽△OBG, 故∠D,BD=∠OGB,所以BD,⊥OG,故△MFG的边即为点N的轨迹； 而=√+=√+=， =-=-·V厂=√厂， =√ 三√+ 则动点N的轨迹长度为+√厂. 15.解：(1)因为是纯虚数，所以 ..2分 由 =,解得=或-，..4分 由(+)≠得，≠且≠一 …5分 故=.6分 (2)因为对应的点位于第三象限，所以 (+)< ，.8分 以 分 分 解得的取值范围是(-，)......13分 16.解：(1)，此多面体为正四棱台.四边形AB,CD和ABCD均为正方形 AB=4,AB=2S=S四边形48Cn=2×2=4 ,1分 S2=S四边形CD=4×4=16 。。。,。。。。。,。。。。。。。。。。。。。。,,。,。。。。。。2 :VABCD-ARCD=h(S+S S2+S2) 3 ……………4分 之4+8+16)=22 …5分 (2)连接AC,A,C ……6分 ,E,F分别为AB,BC的中点∴，AC∥EF ………7分 ∴.∠AAC为异面直线AA与EF所成的角 .8分 分别取AC,A,C的中点O,O,连接O,O, :此多面体为正四棱台∴.O和O分别是上下底面的中心.O,OL平面ABCD …,9分 即0,0=2 AA与CC必交于一点A,A,C,C四点共面 :面A,BCD∥面ABCD,面AACC∩面AB,CD=A,C,面AACC,∩面ABCD=AC ∴.AC∥AC,.... …………..10分 过A作AH⊥AC,垂足为H,则AH∥OO,四边形AHOO为矩形 ∴AH=O,0=V2,且0H=O,4=V2AH=A0-0H=2N2-V2=2 ….12分 六△4AH为等腰直角三角形，∴∠AAH=严 ,13分 COSLAAH=2 ..........14分 :异面直线AM与EF所成角的余弦值为 2 ..15分 17.解：(1)设点D(x,y),因为A(1,5)、B(7,1),所以AB=(6,-4) 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB-DC=(6,-4)=(1-x,2-y). 所以， x=-5 即点D(-56).. …2分 AC=(0,-3).. .3分 DB=(12,-5).. .4分 所以Cos<AC,BD>= AC·BD 0×12+(-3)×(-5) 155 40BD0+(-3y2+(5393' ….5分 所以4C与DB夹角的余弦值为3：量 .6分 (2)因为M、N分别是线段AC、BC的中点，且A(1,5)、B(7,I)、C(1,2), 所以M引N4引所以m=-2,a=(引，M=(6-引： 因为点P在线段MN上运动，令M=2M,元∈[0，，则MP=(32,-2),.8分 所以=M-师-(3号+2a, ..9分 P=M-M=(6-32-引 10分 所以，m-丽=36-3刘2+号2a=132-20日 令fa)=132-20-5,其中2e0, 12分 当29时，f(2)单调递减：当[]时，f()单调递增： .13分 所以当元=0时，f(2)取得最大值-5 4 ......14分 即PP历的最大值为- 4 ....15分 18.(1)证明：因为ADIBC,BC=CD=AD=1,E为AD的中点， 2 所以BC=AE,所以四边形ABCE为平行四边形，· ……1分 所以AB/CE,.2分 又CE文平面PAB,ABC平面PAB,.3分 所以CE川平面PAB;4分 (2)证明：连接BE,因为AD/BC,BC=CD=。AD=1,E为AD的中点， 2 则BC=DE,所以四边形BCDE为菱形，所以BD⊥CE, 又AB/CE,所以BD LAB,.5分 又PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD,.6分 又PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BD⊥平面PAB,......7分 因为BDC平面PBD,...... .8分 所以平面PAB⊥平面PBD； .9分 B D (3)解：因为PA⊥平面ABCD,c平面 ,所以1 又AD⊥DC,PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以PD⊥CD, ….10分 因为AD⊥DC,所以∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，......11分 即∠PDA=45,12分 在Rt△PAD中，PA=AD=2 过点A作⊥，垂足为M, 由(2)知，平面PAB⊥平面PBD,平面PABn平面 c平面， 所以1面D… …………13分 则PM为AP在平面PBD上的投影， 所以∠APN为直线PA与平面PBD所成的角.......14分 在△中，==√厂， =,所以=√厂， 所以 =,P=7 =v 在△ 中， =-==上16分 即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为....…….，17分 AB sin∠BAD 19.解：(1)由定义可知：(B,C:D)= ACsin∠DAC 1分 在三角形ABD中， AB BD 即AB sin∠BAD=BDsin.∠BDA,......2分 sin∠BDA sin∠BAD 在三角形ACD中， AC CD 即ACsin∠CAD=CDsin∠CDA,......3分 sin∠CDA sin∠CAD |ABsin∠BAD 因为D是BC的中点，且sin∠ADB=sin∠ADC,所以(B,CD)= AC sin∠DAC =1.4分 (2)因为点D在射线BC上，∠BAC=60,且AB⊥AD, 所以D在线段BC外，且∠DAC=30, 所以(B,CD)= AB sin∠BAD csin90=2e=-3,所以b= 2 |ACsin∠DAC bsin30 b C.5分 在VABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becosA, 即+c2-2c2=c=16,解得c-25(负值已舍去)，…7分 3 7 所以6=8 1 所以VABC的周长为a+b+c=4+20 9分 7 (3)因为(B,C:D)=片0，所以背 记-后则B0-C, 因为A=120,所以∠BAD=∠DAC=60,…· .10分 又S4c=Sm+S4c,所以-besin120)b:ADsin60+)c.ADsin60,,1分 又AD=4,所以b0=4(b+c）,..... ………,12分 所以4+4， .13分 b c 所以6+=6+40后}1g兰+202要0=6， ……15分 16c_4b 当且仅当{bc,即b=12,c=6时等号成立，.… ...16分 bc=4(b+c) 所以b+4c的最小值为36.. ....17分