第一章 三角形的证明 期末专题训练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

2025年贵州省毕节地区北师大版八年级数学下册 三角形的证明专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 3．已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=8，BC的长是(　　) A．16 B．24 C．30 D．32 5．如图，在中，，平分，若，则（   ） A．5 B．6 C．10 D．13 6．如图，中，，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 7．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 9．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为，则它的周长是（） A． B． C． D． 10．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 11．如图，在中，，，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则 ． 14．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 15．如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 16．如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，中，，点P在上，，，垂足分别为D，E，已知． (1)试说明； (2)求BE多长？ 18．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为．一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？（，，，） 19．如图，在中，，平分，且， (1)过作垂足为，求证： (2)若，求的长． 20．如图，在中，，是上的点，且，交于，，． (1)求的长； (2)求的面积 21．如图，在中，，，． (1)利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的面积． 22．如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 23．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 24．已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 25．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的证明全解全析 一、单选题 1．D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故B选项、C选项正确，D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 3．B 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 4．B 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠B，∠BAC，求出∠DAC=∠C，求出AD=DC=8，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案． 【详解】解：∵AB=AC，∠C=30°， ∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∵AD=8， ∴BD=2AD=16， ∵∠DAC=120°-90°=30°， ∴∠DAC=∠C， ∴AD=DC=8， ∴BC=BD+DC=16+8=24． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是求出BD和DC的长． 5．C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形“三线合一”，即可一一判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中点， ∴，平分，，故正确； 由已知条件无法确定，故错误； 故选：． 7．B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 8．A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查等边三角形的判定．有一个角是的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解∶等腰三角形的一个内角为， 此等腰三角形是等边三角形． 一边长为6， 它的周长为． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．先求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 无法判断，故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 13．5 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．由题意知，直线是线段的垂直平分线，则即可得出结论． 【详解】解：由题意知，直线是线段的垂直平分线 在直线上 ． 故答案为：5． 14．4 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 15．90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图： 和分别垂直平分和， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：90． 16． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明，得，．设，可得，，由可得．从而求出，进而可得，．，，在中，由，即可求解． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ，． 设， ， ，． 在中，， ∴， ，即． 解得：， ∴，． ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、解答题 17．(1)见解析， (2)2． 【分析】（1）根据已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，进而证明； （2）由全等三角形性质可知． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）由（1）得， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键． 18．(1)货车开过学校会受噪音影响，理由见解析 (2)学校受噪音影响秒钟 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据即可求解； （2）在上取点和点，使，则是受学校噪音影响的路段，利用勾股定理求出，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：货车开过学校会受噪音影响，理由如下： ， 货车开过学校会受噪音影响． （2）解：如图，在上取点和点，使， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 19．(1)见详解； (2)2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 20．(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）利用证明即可得出结论； （2）利用角所对的直角边等于斜边的一半得出的长度，再利用勾股定理得出的长度，进而求出长度即可得出面积． 【详解】（1）解：，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：， ， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 21．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查作图，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识； （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：连接，如图： 设， ∵，， 在中，则有， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：6． 22．(1) (2)5 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分， ∴． 23．(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 24．(1)或 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把代入，可得，然后把分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上所示：或； （2）解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 25．（1）见解析，（2）的坐标为，（3）点的坐标为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，待定系数法； （1）由可判定，即可得证； （2）过点作轴于点，同理可证，由全等三角形的性质得，，可求出，由待定系数法可求直线的函数解析式为，令，即可求解； （3）过点作轴于点，过点作于点，设，，①当在点左侧时，同理可证，由全等三角形的性质得，，即可求解；②当在点右侧时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法求解，同时能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2）解：过点作轴于点，如图1      在中， 令得， 令得， ∴，， ∴，， 由（1）同理可证：， ∴， ， ∴ ， ∴， 设直线的函数解析式为，则有 ， 解得， 直线的函数解析式为， 令， 解得， 点的坐标为． （3）解：过点作轴于点，过点作于点，设点，， ①当在点左侧时，如图2 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 由（1）同理可证：， ， ． ∴， 解得， ； ②当在点右侧时，如图3 同理可得点． 综上所述，点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$