2022-2023学年北师大版八年级下册第1章三角形的证明 复习讲义

第一章 三角形的证明 复习 一、等腰三角形——定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 性质: ①定义：两腰相等； ②定理：等边对等角； ③推论：“三线合一”. 判定: ①定义： ②定理：“等角对等边”——有两角相等的三角形，叫做等腰三角形. 二、等边三角形——定义：三边相等的三角形，叫做等边三角形. 性质: ①定义：三边相等； ②定理：三角相等且都等于60°. 判定: ①定义： ②定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；③定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为________ 2. 等腰三角形的周长是20cm，其中一边长4cm，则腰长为（　　） 3. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D. (1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____；(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm. 第3题图 第4题图 4. 如上图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O. (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 5. 如图所示,△ABC是等边三角形, D是BC中点, AE=AD , 求∠ADE的度数 6. 在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是什么三角形？说明理由. 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 三、逆命题、反证法： 8.“全等三角形的面积相等”的逆命题是______________________________，是_____命题。 9. 命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设_________________________． 10.下列定理中，不存在逆定理的是（ ） A．等边三角形的三个内角都等于60度 B．等边对等角 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 四、直角三角形——定义：有一个内角为直角的三角形，叫做直角三角形. 性质: ①定义：有一个角是直角 ；②定理：两锐角互余； ③勾股定理. ④ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形全等的判定（HL） 判定: ①定义：有一个角是直角 ；②两个角互余； ③勾股定理逆定理. 11. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若BC=2cm，则AB=_______, AC=________ 12. 等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为（ ） 13. △ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，则BD=______,CD =____ 14. 如图，∠A=∠D=90°，AC=BD. 求证：OB=OC 15. 如图所示，∠C＝∠D＝90°。若添加一个条件即可使用 “HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．则可以添加的条件是____________ 16. 如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积． 17. 在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)EF与AC有何关系？请说明理由。 五、垂直平分线 —— 过线段的中点并且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的中垂线 性质: 定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等. 判定: 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形的三边中垂线的性质定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 六、角平分线 —— 平分一个角的射线叫做这个角的平分线 性质: 定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 判定: 定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 三角形的三条角平分线的性质定理： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 18.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三条边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条中线的交点 D. 三角形三条高的交点 19.如图，已知