精品解析：浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024学年第二学期八年级期中学情评估数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应， 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 一元二次方程是指只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项错误； B、是多项式，不是一元二次方程，故本选项错误； C、是一元二次方程，故本选项正确； D、是二元一次方程，即不是一元二次方程，故本选项错误； 故选：C． 2. 使二次根式有意义的x的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于x的一次不等式，解出即可得出x的范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴可得， 解得． 故选D． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数． 3. 某地一周每一天的平均气温与天数如表所示，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：）是（ ） 平均气温 26 27 28 30 天数 1 2 1 3 A. 26 B. 27 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 根据众数是一组数据中出现次数最多的那个数求解即可． 【详解】解：∵30出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是30． 故选：D． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的减法和二次根式的乘法，运用相关运算法则进行计算后再判断即可． 【详解】解：A． 不能运算，故此选项计算错误，不符合题意； B． ，故此选项计算错误，不符合题意； C． ，计算正确，符合题意； D． ，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ） A. 9 B. 6 C. 36 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式． 要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 6. 如图，在中，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，故此选项符合题意； C．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选项不符合题意； D．当四边形是平行四边形时，不能得出，故此选选项不符合题意． 故选：B． 7. 当时，代数式的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据化简，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简．掌握是解题的关键． 8. 某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键． 根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可． 【详解】解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x， ∴2023年增长到人次， 2024年增长到人次， ∵2024年增长至46万人次， ∴． 故选：B． 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 10. 如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若的值为零，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 12. 已知一个四边形，它的外角和的度数是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查四边形的外角和，数学基本常识：任意一个多边形的外角和都是，熟记这一常识性知识是解决问题的关键． 【详解】解：一个四边形，它的外角和的度数是， 故答案为：． 13. 一组数据的平均数为4，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知一组数据平均数求参数，根据平均数的求法列方程求解即可得到答案．熟记平均数的公式是解决问题的关键． 【详解】解：一组数据的平均数为4， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是______平方单位． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据正三角形性质得，进而得，然后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是正三角形，且边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（平方单位）， 即这个路标的面积是平方单位． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，掌握等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 15. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 16. 如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质可得，，则，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则可推出，则可推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算、二次根式性质以及乘法和加法的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先根据二次根式性质进行化简，再运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解： = = 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由十字相乘法分解因式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题． （1）画一个面积为12的，使它的顶点都在格点上； （2）求该平行四边形的周长． 【答案】（1） 如图所示，为所作平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查网格中作平行四边形及由网格求线段长，涉及平行四边形性质，掌握平移作图及利用网格求线段长的方法是解决问题的关键． （1）由的面积为12，当高为3时可得平行四边形的一边长为4，将向右平移4格即可得到图形； （2）由网格利用勾股定理求出的边长，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 则，， ∴． 20. 某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下： 甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8； 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10． 请根据信息回答问题： 级别 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 乙 8 8 0.8 （1）求的值； （2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由． 【答案】（1），，， （2） 解：选择甲参加市里比赛． 理由如下： ∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等， ∵方差越小，成绩越平稳， ∴选择甲． 【解析】 【分析】（1）根据甲乙数据，结合平均数、众数、中位数和方差的计算方法求解即可得到答案； （2）由平均数、众数、中位数及方差四个数据作比较，即可作出决策． 【小问1详解】 解：甲：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10， ，，， 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查统计综合，涉及平均数、众数、中位数、方差的求法以及根据相关统计量作决策等知识．熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． 21. 如图，在中，对角线相交于点分别平分与． （1）求证：； （2）猜想与的关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴，， ∴； （2） 与平行且相等，证明如下： 由（1）知， ∴， ∵对角线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与平行且相等． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质得到，进而，再结合角平分线定义即可得证； （2）由（1）知，由平行线的判定与性质、三角形的判定与性质求证即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质．熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． 22. 某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近．为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造．相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中，斜坡的坡比为3.1，坡长米． （1）求该斜坡的竖直高度； （2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，且保证坡脚处到点的仰角不得低于，问最多削进多少米？ 【答案】（1）6米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由斜坡的坡比为3.1，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）连接，过点作，如图所示，由题意可知，当最大削进时，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵，米， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， 则， ∵， ∴， 则， 即该斜坡的竖直高度为6米； 【小问2详解】 解：连接，过点作，如图所示： 由（1）可知，米，米， ∵坡脚处到点的仰角不得低于， ∴最大削进时，， 在中，，则， 设，则， 米， 由勾股定理可得，解得， ， ，则米， ∴米， 即最大削进米． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，涉及坡比定义、勾股定理、开平方解方程、仰角、含的直角三角形等知识．读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 23. 已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 【答案】（1） 证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0， ∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； （3）n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【解析】 【分析】（1）计算判别式Δ＞0，即可得证； （2）根据△ABC是等腰三角形，可知x=10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n=12时，②当n=10时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长； （3）根据根与系数的关系，可得AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根， ∵第三边BC的长是10， 当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根， 当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0， 解得n=12或10， ①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0， 设等腰三角形的底为m， 根据根与系数的关系，m+10=22， ∴m=12， ∴△ABC的周长为：10+10+12=32； ②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0， 设等腰三角形的底为n， 根据根与系数的关系，10+n=18， 解得n=8， ∴△ABC的周长为10+10+8=28； 综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； 【小问3详解】 解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根， ∴AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10， ∴AB2+AC2=BC2， 即4（n-1）2-2（n2-2n）=100， 解得n=8或-6， 当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意， 当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意， 综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为． （1）求证：； （2）当时，求． （3）若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴； （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由点的对称性得到，等量代换后，由等腰三角形性质即可得证； （2）过点作轴于点，如图所示，结合平行四边形性质，从而判定，确定，设点坐标，表示出相关线段长度，即可得到答案； （3）过点作轴于点，如图所示，设，，则，由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 在中，，，则， ，轴， ， ， 则， 在中，，， ∵， ∴， 设点坐标， ∴，， ∵， ∴，，，，， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 设，，则， 由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下： ①当时，，，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得，（舍去）， ∴； ②当时， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴； ③当时， ， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，点坐标，，． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记一次函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级期中学情评估数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应， 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 使二次根式有意义的x的取值范围是（） A. B. C. D. 3. 某地一周每一天的平均气温与天数如表所示，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：）是（ ） 平均气温 26 27 28 30 天数 1 2 1 3 A. 26 B. 27 C. 28 D. 30 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ） A. 9 B. 6 C. 36 D. 3 6. 如图，在中，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，代数式的值是（　　） A. B. C. D. 8. 某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 10. 如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若的值为零，则的值是______． 12. 已知一个四边形，它的外角和的度数是______． 13. 一组数据的平均数为4，则的值是______． 14. 如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是______平方单位． 15. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 16. 如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题． （1）画一个面积为12的，使它的顶点都在格点上； （2）求该平行四边形的周长． 20. 某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下： 甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8； 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10． 请根据信息回答问题： 级别 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 乙 8 8 0.8 （1）求的值； （2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由． 21. 如图，在中，对角线相交于点分别平分与． （1）求证：； （2）猜想与的关系，并证明你的猜想． 22. 某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近．为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造．相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中，斜坡的坡比为3.1，坡长米． （1）求该斜坡的竖直高度； （2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，且保证坡脚处到点的仰角不得低于，问最多削进多少米？ 23. 已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为． （1）求证：； （2）当时，求． （3）若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $