专题1.2 集合的基本关系（高效培优专项训练）数学人教B版2019高一必修第一册

专题1.2 集合的基本关系 题型一：判断集合子集（真子集）个数 题型二：求集合子集（真子集） 题型三：判断两个集合的包含关系 题型四：根据集合的包含关系求参数 题型五：判断两个集合是否相等 题型六：根据两个集合相等求参数 题型一：判断集合子集（真子集）个数 1．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 4．对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 题型二：求集合子集（真子集） 1．满足的集合X有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个孤立元”给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 4．已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 5．写出满足的集合M： ． 题型三：判断两个集合的包含关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 5．下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四：根据集合的包含关系求参数 1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 5．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 6．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 7．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 9．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 10．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 题型五：判断两个集合是否相等 1．已知集合，，，则集合，，的关系为（    ） A． B． C． D．， 2．已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 6．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（    ）. A． B． C． D． 题型六：根据两个集合相等求参数 1．设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．已知集合，，且，则集合 . 3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 4．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 5．已知，，集合，，. （1）求使集合的x的值； （2）求使，的a，x的值； （3）求使集合的a，x的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合的基本关系 题型一：判断集合子集（真子集）个数 题型二：求集合子集（真子集） 题型三：判断两个集合的包含关系 题型四：根据集合的包含关系求参数 题型五：判断两个集合是否相等 题型六：根据两个集合相等求参数 题型一：判断集合子集（真子集）个数 1．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 2．已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 3．满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 4．对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 5．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 题型二：求集合子集（真子集） 1．满足的集合X有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】根据子集和真子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数. 【详解】由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素， 因此集合X可以是，，，，，，，共7个. 故选：D. 2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个孤立元”给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若，不是孤立元，. 设另一元素为，假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：B 3．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据子集的概念得到答案. 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 4．已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【答案】 【分析】写出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合可以为. 故答案为： 5．写出满足的集合M： ． 【答案】 【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解． 【详解】根据，可得可以为． 故答案为： 题型三：判断两个集合的包含关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 2．已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 3．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 4．集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 5．下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系和子集的定义即可判断. 【详解】对于A，是集合的元素，因此，故A错误； 对于B，，因此，故B错误； 对于C，由是任何集合的子集，因此，故C正确； 对于D，中没有任何元素，因此，故D错误； 故选：C. 6．（多选）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据元素与集合的关系，可得，所以A正确； 对于B中，根据集合与集合间的关系，可得，所以B正确； 对于C中，根据集合相等的定义，可得，所以C正确； 对于D中，集合为数集，集合为点集，所以D错误. 故选：ABC. 题型四：根据集合的包含关系求参数 1．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 2．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 3．已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 4．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 5．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 7．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 9．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 10．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 题型五：判断两个集合是否相等 1．已知集合，，，则集合，，的关系为（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】先化简，，再由子集的概念与相等集的概念即可求解． 【详解】,,， ,，， ，，， ， 故选：A 2．已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出. 【详解】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 3．已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用不等式的性质化简集合，再利用集合与集合间的关系可知，，从而得解. 【详解】由，得到， 所以， 又，所以， 故选：C. 4．（多选）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，两者不相等，故B错误； 对于C，因为点与点不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误； 对于D，空集是任意集合的子集，故D正确． 故选：AD． 5．（多选）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】A选项，举出反例；B选项，根据元素个数求出子集个数；C选项，两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，C正确；D选项，举出，但，D错误. 【详解】对于A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对于B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对于D，因为，当时，， 所以，但， 故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC 6．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】利用集合相等的定义即可判断各选项. 【详解】对于A，是点集，是数集，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：CD. 7．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（    ）. A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【详解】解：对于A：集合表示偶数集，集合也表示偶数集，所以，故A正确； 对于B：， ，所以，故B错误； 对于C：，又， 所以，即，所以，故C正确； 对于D：集合为数集，集合为点集，所以，故D错误； 故选：AC 题型六：根据两个集合相等求参数 1．设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 2．已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 4．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【答案】(1)B A (2)或． 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 5．已知，，集合，，. （1）求使集合的x的值； （2）求使，的a，x的值； （3）求使集合的a，x的值. 【答案】（1）或（2）或（3）或 【解析】(1)令，解方程即可得出答案； (2)由题意得出，联立求解即可得出答案； (3)由相等集合的概念得出，联立求解即可得出答案. 【详解】(1)由题意得，解得或. (2)∵，，∴ 联立解得时， ，时， . 所以可得满足题意的， 为或. (3)∵，∴有，联立解得或 【点睛】本题考查了由集合之间的关系求参数的问题，考查了相等集合概念的应用，考查了计算能力，属于一般难度的题. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$