专题1.2 集合的基本关系（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第一册

专题 1.2 集合的基本关系 教学目标 1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义． 3．能使用图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义． 5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 教学重难点 重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别． 难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系． 知识点01 图（唯恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点04真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点05 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 知识点06 空集的理解 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型01 判断两个集合的包含关系 【典例1】已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式4】已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【变式1】已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【变式3】非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式4】已知集合，，则集合的真子集个数为 . 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集． 【变式1】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】设集合，列出集合A 的子集. 【变式4】已知集合，且． (1)求实数的值； (2)写出集合A的所有子集． 题型04 空集的概念集判断 【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，正确的是（    ） ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ ⑦   ⑧ A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 【变式2】（多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 题型05 空集的性质及应用 【典例1】设集合，，若，则的值为 ． 【变式1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【变式3】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【变式4】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. ①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则 题型06 判断两个集合是否相等 【典例1】（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 题型07 根据两个集合相等求参数 【典例1】若集合，则 ． 【变式1】已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【变式3】已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式4】已知集合，且，则 . 题型08 根据集合的包含关系求参数 【典例1】设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【变式1】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【变式3】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 1．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 7．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 10．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 11．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 12．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 13．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.2 集合的基本关系 教学目标 1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义． 3．能使用图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义． 5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 教学重难点 重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别． 难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系． 知识点01 图（唯恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. 故选：B. 知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点04真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 知识点05 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 知识点06 空集的理解 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 题型01 判断两个集合的包含关系 【典例1】已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为集合，， 可知，但，所以集合A不是的子集，故AB错误； 显然，故C错误， 且，故D正确； 故选：D. 【变式1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 【变式2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可. 【详解】由题意可得：， 所以，，，，即不是集合M的子集， 故B正确，ACD错误. 故选：B. 【变式3】以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是集合的元素，所以，故①正确； 对于②：因为是集合的元素，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以与之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，则，故⑤对； 综上所述：正确的个数为3. 故选：C. 【变式4】已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 【变式1】已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 【变式2】已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 【变式3】非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】依题意可得集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可，通过列举可得的个数. 【详解】由，则可知集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可； 因此若中含有一组实数对，则或或； 若中含有两组实数对，则或或； 若中含有三组实数对，则； 综上可知，适合上述条件的集合的个数是7个. 故选：C 【变式4】已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集． 【答案】答案见解析． 【分析】求出集合，根据包含关系确定集合，再由非空真子集定义写出结论． 【详解】由已知， 时，， 时，时，， 时，，， 综上，的所有非空真子集有，，，，，． 【变式1】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式2】若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 【变式3】设集合，列出集合A 的子集. 【答案】A的子集为 【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集. 【详解】由化简可得， 所以A的子集为 【变式4】已知集合，且． (1)求实数的值； (2)写出集合A的所有子集． 【答案】(1)1 (2)，，，，，，， 【分析】（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集. 【详解】（1）∵， 当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去 当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上： （2）由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，， 题型04 空集的概念集判断 【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合与空集的性质逐个选项判断即可. 【详解】对于A，不是的元素，故不正确； 对于B，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确； 对于C，是的元素，故正确； 对于D，是的元素，故不正确；. 故选：BC 【变式1】下列各式中，正确的是（    ） ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ ⑦   ⑧ A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 【答案】A 【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可. 【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确； 对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确； 对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确； 对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确； 综上：正确的命题有②⑤⑦⑧. 故选：A. 【变式2】（多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】BC 【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C. 【详解】对选项A，由不是的元素，故A错误； 对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确； 对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确； 对选项D，由不是的元素，D错误. 故选：BC 题型05 空集的性质及应用 【典例1】设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【变式1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 【变式3】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式4】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. ①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则 题型06 判断两个集合是否相等 【典例1】（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 【变式2】下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 【变式3】下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A选项，，，，故A不正确； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，，，，故C不正确； 对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确. 故选：B. 【变式4】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 题型07 根据两个集合相等求参数 【典例1】若集合，则 ． 【答案】或 【分析】由题意，方程有唯一根，分两种情况讨论，列出等量关系求解即可. 【详解】集合，即方程有唯一根， 所以或， 解得或， 所以或. 故答案为：或. 【变式1】已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 【变式2】已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【变式3】已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 【变式4】已知集合，且，则 . 【答案】0或 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 题型08 根据集合的包含关系求参数 【典例1】设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14 (2)1和2． 【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可； （2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 【变式1】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 【变式2】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 【变式3】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【变式4】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 1．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 4．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 5．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 6．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【分析】根据题意求出集合A即可. 【详解】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 7．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 8．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 9．（多选）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 10．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 11．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 12．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 13．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$