专题1.1 平面及其基本性质（高效培优讲义）数学沪教版2020高二必修第三册

专题1.1 平面及其基本性质 教学目标 1.了解平面的基本特征，并初步学会用文字语言、集合语言和图形语言表示平面，表示空间点、直线与平面的关系； 2.理解公理1，并初步学会应用公理1进行推理； 3.让学生初步体会空间想象能力的养成意义。 教学重难点 教学重点：能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤． 教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 知识点01 平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度. 知识点02 平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2). 知识点03 平面的表示 平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等. 知识点04 点，直线，平面的位置关系 （是点，、是直线，、是平面） 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 平面,相交于 知识点05 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【即学即练】2．如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 知识点06 公理2及其三推论 公理2：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 【即学即练】如图，已知.求证：直线共面． 【答案】证明见解析 【分析】由题意，根据点、线、面之间的关系，即可证明. 【详解】因为，所以和确定一个平面， 因为，所以. 故. 又，所以和确定一个平面. 同理. 即和既在平面内又在平面内，且与相交， 故平面，重合，即直线共面． 知识点07 公理3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【即学即练】如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据平面的基本事实进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 知识点08 空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【即学即练】如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为 ． 【答案】 【分析】得到，将直观图还原为原图，求出，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，可得为直角三角形， 所以， 根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 由勾股定理得， 所以的周长为． 故答案为：. 题型01 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化 【典例1】用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 【答案】(1)集合符合表示为：，图形见解析； (2)集合符合表示为：，图形见解析； (3)集合符合表示为：，图形见解析 【分析】（1）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （2）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （3）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 【详解】（1）集合符合表示为：， （2）集合符合表示为：， （3）集合符合表示为： 【变式1】（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         【变式2】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    【变式3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 【变式4】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言． 【详解】（1）符号语言表示：, 图形表示：如图 ； （2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图 三种语言的转换方法： (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 题型02平面性质及其辨析 【典例1】有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 【变式1】已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 【变式2】若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 【变式3】下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 【变式4】已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 题型03 四点共面问题 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 【变式1】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 【变式2】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，过作于，连接，，依次证明，，即可证明，，，四点共面，最后由即可得证； 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 题型04 三点共线问题 【典例1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】利用基本事实2和基本事实3即可求解. 【详解】因为， 所以． 由已知可得，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 所以平面ABC． 同理，平面ADC，平面ADC． 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点． 又平面平面， 所以， 所以P，A，C三点共线． 【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 【变式2】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式3】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 【变式4】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线． 【答案】证明见解析 【分析】 根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明. 【详解】 证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    证明三点共线的方法 题型05 三线共点问题 【典例1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【变式1】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【分析】通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    【变式2】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 【变式3】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式4】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 证明三线共点的步骤 题型06 平面分空间问题 【典例1】1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 【变式1】两个平面最多可以将空间分成 部分. 【答案】4 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 【变式2】空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    【变式3】三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 【变式4】用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【答案】详见解析 【分析】直接画图即可. 【详解】有如下三种情况：    题型07由平面的基本性质做截面图 【典例1】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【变式1】如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【变式2】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ． 【答案】 【详解】 如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为. 【考查意图】判断截面图形的形状，截面的面积． 【变式3】如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【答案】答案见解析 【分析】延长、交于点，连接交于点，利用平面的性质可知面与平面的交线为. 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下： 因为，平面，则平面， ，平面，平面， 又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为. 【变式4】如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 题型08 画水平放置的平面图形的直观图 【典例1】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式1】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【变式2】如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 【变式3】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【答案】作图见解析 【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，然后取，画出轴和轴；根据斜二测画法的原则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的，由此可见得到直观图. 【详解】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使, 第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接, 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.    【变式4】在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； 【详解】解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. 题型09 直观图与原图中的相关计算问题 【典例1】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 【变式1】用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 【变式2】用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】作出直观图，利用平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】在矩形中，，作出其斜二测直观图，如下图所示： 由题意可知或， 由斜二测画法可知，四边形是平行四边形， 故矩形的直观图的面积为（或）. 故答案为：. 【变式3】如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 【变式4】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 1．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 2．“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】根据平面的基本性质即得. 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 3．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【答案】2 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出结论. 【详解】如图，在直观图中，则. 故答案为：2 4．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原，即可得到原三角形的面积. 【详解】如图，将直观图还原，则， 的面积为. 故答案为：2. 5．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 6．三条直线两两平行可以确定 个平面． 【答案】1或3 【分析】需要注意三条平行线的位置关系，若这三条直线在同一个平面上，则可以确定一个平面，若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面，得到结果． 【详解】解：三条直线两两平行， 若这三条直线在同一个平面上，则可以确定1个平面， 若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面， 综上所述可以确定一个或三个平面， 故答案为：1或3． 7．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 8．在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交    9．正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【分析】利用平面的性质作出截面，然后求解面积即可. 【详解】如图所示，    设为的中点，连接，设为的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则且， 又且，得且，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为， 所以， 故的面积为. 故答案为： 10．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可. 【详解】∵平面内有一条直线，∴， ∵点A在直线上，∴， ∴. 故选：B. 11．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据梯形面积公式求出直观图的面积，然后由直观图面积与平面图面积之间的关系可得. 【详解】记与轴的交点为D， 因为轴，轴，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，， 由题意可知：， 因为，，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积为. 故选：C. 12．如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析. 【分析】运用线面相交位置关系，得到交点只有一个画出即可 【详解】如图所示.连接，再连接A、、C，确定平面．最后连接，其与交点为O，O即为与A、、C所确定的平面的交点. 证明：由于与平面相交，则交点只能一个. ,,平面， 则平面.则O即为与A、、C所确定的平面的交点.    13．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 14．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 平面及其基本性质 教学目标 1.了解平面的基本特征，并初步学会用文字语言、集合语言和图形语言表示平面，表示空间点、直线与平面的关系； 2.理解公理1，并初步学会应用公理1进行推理； 3.让学生初步体会空间想象能力的养成意义。 教学重难点 教学重点：能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤． 教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图 知识点01 平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度. 知识点02 平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2). 知识点03 平面的表示 平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等. 知识点04 点，直线，平面的位置关系 （是点，、是直线，、是平面） 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 平面,相交于 知识点05 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【即学即练】2．如图，已知：，，，，，求证：．    知识点06 公理2及其三推论 公理2：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 【即学即练】如图，已知.求证：直线共面． 知识点07 公理3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【即学即练】如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 知识点08 空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【即学即练】如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为 ． 题型01 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化 【典例1】用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 【变式1】（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． .    【变式2】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【变式3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【变式4】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 三种语言的转换方法： (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 题型02平面性质及其辨析 【典例1】有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【变式1】已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【变式3】下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 题型03 四点共面问题 【典例1】如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【变式1】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【变式3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 题型04 三点共线问题 【典例1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【变式4】平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线．    证明三点共线的方法 题型05 三线共点问题 【典例1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【变式1】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【变式2】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【变式3】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【变式4】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 证明三线共点的步骤 题型06 平面分空间问题 【典例1】1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【变式1】两个平面最多可以将空间分成 部分. 【变式2】空间四个平面最多能把空间分成 部分．    【变式3】三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【变式4】用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况．    题型07由平面的基本性质做截面图 【典例1】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【变式1】如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【变式2】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为 ． 【变式3】如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 【变式4】如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 题型08 画水平放置的平面图形的直观图 【典例1】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式1】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【变式4】在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图．    题型09 直观图与原图中的相关计算问题 【典例1】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【变式1】用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【变式3】如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【变式4】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 1．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 2．“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 3．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    4．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 5．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 6．三条直线两两平行可以确定 个平面． 7．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 8．在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 .   9．正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为 . 10．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 11．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（   ） A．18 B． C． D．12 12．如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    13．如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 14．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$