专题01 函数及其表示方法（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 函数及其表示方法 题型一：函数关系的判断与求值 题型二：同一函数 题型三：根据函数值求自变量或参数 题型四：函数的定义域（具体函数的定义域） 题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域） 题型六：函数的值域 题型七：求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 题型八：求函数的解析式（换元或凑配法） 题型九：求函数的解析式（消去法） 题型十：分段函数问题 题型一：函数关系的判断与求值 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 4．已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（    ） A．： B．： C．： D．： 5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型二：同一函数 6．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 7．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三：根据函数值求自变量或参数 11．设函数，若，则实数的值为 . 12．已知，若，则 ． 13．已知，且，则a的值为 ． 14．已知，若，则 ． 15．函数且，则实数= . 题型四：函数的定义域（具体函数的定义域） 16．函数的定义域是 . 17．函数的定义域为 . 18．函数的定义域为 ． 19．函数 的定义域是 . 20．函数 的定义域为 . 题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域） 21．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 22．函数的定义域为，则的定义域为 ． 23．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 24．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 25．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 题型六：函数的值域 26．函数的最大值为 ． 27．函数的值域是 . 28．求函数的值域为 . 29．函数 的最大值为 ，最小值为 . 30．已知函数的最大值为4，最小值为—1，则= ，= 题型七：求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 31．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 32．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 33．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 34．已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 题型八：求函数的解析式（换元或凑配法） 35．已知，则的值为 . 36．若函数，则 ． 37．若，则函数 ． 38．已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 39．已知，则 . 题型九：求函数的解析式（消去法） 40．已知函数满足：，则 ． 41．已知，则 . 42．已知函数满足：，则 ； . 43．若函数满足关系式，则 . 44．已知，则的解析式 ． 题型十：分段函数问题 45．已知函数，则 46．函数，已知，则 ． 47．已知函数，则 . 48．已知函数，则的值等于 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数及其表示方法 题型一：函数关系的判断与求值 题型二：同一函数 题型三：根据函数值求自变量或参数 题型四：函数的定义域（具体函数的定义域） 题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域） 题型六：函数的值域 题型七：求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 题型八：求函数的解析式（换元或凑配法） 题型九：求函数的解析式（消去法） 题型十：分段函数问题 题型一：函数关系的判断与求值 1．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，此时不在集合内，因此集合不可能是. 故选：B 3．设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．② 【答案】B 【分析】从函数的三要素：定义域、对应法则和值域对图形逐一判断即得. 【详解】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，不符合集合到集合的函数关系； 对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系； 对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求. 故② ，③ 可表示集合到集合的函数关系. 故选：B. 4．已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，，， 所以：不能作为从集合到集合的函数， 对于B，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于C，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于D，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数. 故选：A. 5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可. 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 题型二：同一函数 6．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 7．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 8．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数； 对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数； 对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数； 故答案为：C。 【点睛】考查同一个函数的判断方法 9．下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 10．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确； 对于B：定义域为，的定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确； 对于C：的定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确； 对于D：两函数定义域为，值域为，对应关系完全相同， 是同一个函数，故选项D正确. 故选：D. 题型三：根据函数值求自变量或参数 11．设函数，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 12．已知，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用换元法求出函数解析式，代入解方程可得或. 【详解】令，则可得, 由可得，所以， 解得或. 故答案为：或 13．已知，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由列式求解即可. 【详解】∵，且， ∴，解得. 故答案为：. 14．已知，若，则 ． 【答案】/. 【分析】先利用换元法求出函数解析式，再由解方程可求出的值. 【详解】令，则， 所以， 因为， 所以，解得， 故答案为： 15．函数且，则实数= . 【答案】 【解析】直接根据解析式可求得结果. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为：. 题型四：函数的定义域（具体函数的定义域） 16．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据分母不等于零和被开方数大于等于零列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 17．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】结合对数函数及具体函数定义域列不等式计算即可. 【详解】因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 18．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0及分母不等于0，建立不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】由题意可得，解不等式组得且 所以函数的定义域为， 故答案为： 19．函数 的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数定义域及根式函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数 ， 所以,解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 20．函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数形式可得关于的不等式组，求出其解后可得定义域. 【详解】，故，故定义域为， 故答案为：. 题型五：函数的定义域（抽象函数的定义域） 21．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的意义列出不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： 22．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 23．若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为. 【详解】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 24．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】整体在范围内，同时注意保证，最后求出交集即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 25．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解之即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 题型六：函数的值域 26．函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 27．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数求值域. 【详解】换元法： 令，则， 所以， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以， 所以函数的值域为，即函数的值域是， 故答案为: . 28．求函数的值域为 . 【答案】 【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域. 【详解】令，则， 容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为， ，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 29．函数 的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 / 0 【分析】结合二次函数的性质求得函数的最大值和最小值. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为， ， 所以当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值为. 故答案为：； 30．已知函数的最大值为4，最小值为—1，则= ，= 【答案】 【分析】函数转化为方程，利用方程有实数根，得，有，由题意可知，求的值. 【详解】函数变形为，即，显然时，方程可以成立，当时，，即，由题意可知， 得，，解得：，. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查利用判别式法求函数的值域，利用，转化为关于的一元二次不等式，求的取值范围. 题型七：求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 31．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 32．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 33．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点代入即可得解. 【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 34．已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意可设函数方程为，再代入点求得的值，从而求得所求函数解析式. 【详解】因为二次函数与轴交于两点， 所以设二次函数解析式为， 又因为该函数过点，所以，解得， 所以所求函数解析式为，即. 故答案为：． 题型八：求函数的解析式（换元或凑配法） 35．已知，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 36．若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 37．若，则函数 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 38．已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 39．已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法即可得解. 【详解】对于，令，则， 所以，则. 故答案为：. 题型九：求函数的解析式（消去法） 40．已知函数满足：，则 ． 【答案】 【分析】由方程组法求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数满足①， 所以，②， 联立①②得，故. 故答案为：. 41．已知，则 . 【答案】 【分析】由，，联立可求解． 【详解】因为，① 所以， 所以，② ②-①可得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 42．已知函数满足：，则 ； . 【答案】 【分析】由已知条件可得到关于的方程组，由此可解得的解析式，再令，即可求得. 【详解】由已知可得，，解得， 则. 故答案为：；. 43．若函数满足关系式，则 . 【答案】6 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 44．已知，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 题型十：分段函数问题 45．已知函数，则 【答案】 【分析】根据函数解析式，代入数值计算即可得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 46．函数，已知，则 ． 【答案】0 【分析】分别讨论，，代入求解即可. 【详解】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 47．已知函数，则 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题，，则. 故答案为： 48．已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $