专题01 集合与集合的表示方法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题01 集合与集合的表示重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型九 列举法求集合中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 1．（22-23高一·全国·课后作业）下面给出的各组对象中，能构成集合的是（    ） A．所有的高楼 B．，，，1 C．的所有近似值 D．倒数等于它本身的实数 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 3．（2023高一·江苏·专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例2】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（    ） A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2 C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2 1．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）质疑2：元素0与空集是什么关系呢？ 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例3】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（2023·上海·模拟预测）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值为 . 3．（2023高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例4】（2023高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 1．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 2．（22-23高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 3．（2023高一·上海·专题练习）已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值. 【经典例题五 描述法表示集合】 【例5】（2023高三·全国·专题练习）定义且，若，，则等于(　　) A． B． C． D． 1．（22-23高一上·全国·课后作业）集合的意义是（    ） A．第二象限内的点集 B．第四象限内的点集 C．第二、四象限内的点集 D．不在第一、三象限内的点的集合 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 3．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【经典例题六 列举法表示集合】 【例6】（2022高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是(　　) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{0,1} D．{0,1,2} 2．（22-23高三上·上海浦东新·期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是 . 3．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合. （1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集； （2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论. 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例7】（22-23高一上·上海金山·阶段练习）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 3．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【经典例题八 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例8】（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【经典例题九 列举法求集合中元素的个数】 【例9】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 1．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 3．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【经典例题十 集合元素互异性的应用】 【例10】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 1．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例11】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【经典例题十二 集合的分类】 【例12】（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 3．（23-24高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知，集合，且，则不可能的值是（    ） A．4 B．9 C．16 D．64 2．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 4．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 6．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 7．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 8．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 9．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知，记集合，例如，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A2的各元素之和，则该游戏的激活码为 ． 10．（2023高一·全国·专题练习）元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 11．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 13．（22-23高一上·上海闵行·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 15．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与集合的表示重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型九 列举法求集合中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 1．（22-23高一·全国·课后作业）下面给出的各组对象中，能构成集合的是（    ） A．所有的高楼 B．，，，1 C．的所有近似值 D．倒数等于它本身的实数 【答案】D 【分析】利用集合中元素的确定性、互异性依次判断即可 【详解】选项A，由集合中元素的确定性，高楼不是确定的元素，不能构成集合，故A错； 选项B，，不满足集合中元素的互异性，故B错； 选项C，某个数能不能作为的近似值，不是确定的，故C错； 选项D，倒数等于它本身的数，即，只有两个元素，故D对. 故选：D 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 3．（2023高一·江苏·专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)不能 【分析】根据集合的定义和特征依次判断即可. 【详解】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合. （2）方程在实数范围内的解是或，所以方程能构成集合. （3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合. （4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合. 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例2】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（    ） A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2 C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2 【答案】A 【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解. 【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）． 由（1）可设，且，，则、，而． 假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中， 故（k是正整数）， 不妨令P中负数为奇数（k为正整数）， 由（4）得，矛盾． 故若，则P中没有负奇数． 若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及， 得均在P中，即（m为非负整数）， 则P中正奇数为，由（4）得，矛盾． 综上，，. 故选:A． 1．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】集合中各元素的放置，由此可得出结论. 【详解】由题意可知，若，则，，；若，则，，. 此时，、、、的放置有种； 若，则；若，则，此时、的放置有种； 若，则；若，则，此时，、的放置有种. 、的放置没有限制，各有种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 【答案】669 【分析】根据题意，，进而结合且求解即可. 【详解】根据题意，集合表示的是位进制数的集合， 位进制数中，最小的位进制数为，，即， 最大的位进制数为，， 即， 所以集合， 因为且， 所以， 所以满足条件的正整数的个数为. 故答案为：669 3．（24-25高一上·上海·课前预习）质疑2：元素0与空集是什么关系呢？ 【答案】答案见解析 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】0不属于空集，因为空集中不含任何元素． 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例3】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据新定义可确定集合中元素个数，从而解得的取值即可. 【详解】由于，，且， 则或. 显然，则，故， 当是的根时，则，解得， 此时方程为，解得，满足题意； 当不是的根时，有两个相等的实数根， 故，从而， 综上所述，. 故选：B. 1．（2023·上海·模拟预测）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值为 . 【答案】 【分析】先将的可能结果列出，然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合. 【详解】将表示为，可得如下结果： ， 其中为，都出现了次，所以若方程至少有三组不同的解， 则的取值集合为， 故答案为： 3．（2023高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】解：（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例4】（2023高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=3时，x-1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误； 当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 故选B． 1．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【答案】C 【分析】根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值. 【详解】∵，根据集合中元素的性质可得： ∴，解得a=﹣1，b=0， ∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1. 故选：C. 2．（22-23高一·全国·单元测试）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集 ．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】设，结合题意与集合的性质分析即可. 【详解】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的． 若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时． 若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时． 综上，或． 故答案为：（或） 3．（2023高一·上海·专题练习）已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值. 【答案】a2 020+b2 020=1 【分析】先由集合相等及集合中元素的互异性求出a、b，代入求值即可. 【详解】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1. 【经典例题五 描述法表示集合】 【例5】（2023高三·全国·专题练习）定义且，若，，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义直接计算求解. 【详解】，，且， ． 故选：D. 1．（22-23高一上·全国·课后作业）集合的意义是（    ） A．第二象限内的点集 B．第四象限内的点集 C．第二、四象限内的点集 D．不在第一、三象限内的点的集合 【答案】D 【分析】意味着和异号或至少一个为零，结合象限的概念可得结果． 【详解】因为意味着和异号或至少一个为零， 故为第二、四象限内的点或坐标轴上的点，即不在第一、三象限内的点， 所以的意义是不在第一、三象限内的点的集合. 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 3．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合 (4)D是一个单元素集 【分析】根据集合中元素的特点得出各集合表示的含义． 【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 【经典例题六 列举法表示集合】 【例6】（2022高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是(　　) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{0,1} D．{0,1,2} 【答案】B 【分析】由题意可得关于集合A中的元素的方程组，从而解得的值，再写出集合，最后根据集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是：1,2，即可得出答案. 【详解】由题意知：，解得， 所以集合， 则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是：1,2， 故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关集合的求解问题，涉及到的知识点问根据题的条件，先求出对应集合中的元素，之后找出任意两个不同元素的差的绝对值，最后确定出集合的元素，求得结果，属于中档题目. 2．（22-23高三上·上海浦东新·期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是 . 【答案】 【分析】根据，用列举法列举出集合A中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18； 这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k取值为：3，6，14时，方程至少有六组不同的解， 所以k的可能取值为：， 故答案为： 3．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合. （1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集； （2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论. 【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，证明见解析. 【分析】（1）从0依次令为自然数，计算可得集合B； （2）举例，但，.设，，计算，可得结论. 【详解】解：（1）当时，； 当，或时，； 当时，； 当时，； 当，或时，； 当时，； 所以最小的六个元素组成的子集； （2）存在或存在，一定是集合中的元素. 如：，但，. 一定是集合中的元素. 设，， 则，且， 所以. 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例7】（22-23高一上·上海金山·阶段练习）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，集合的真子集个数为，解得， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 因此，，即. 故选：D. 【点睛】以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解. 1．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【答案】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 3．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）当时，为一次方程，符合题意，当时，则可求得结果， （2）当，时，方程无解，当时，则可得答案. 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 【经典例题八 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例8】（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】计算出集合后可求其含有的元素的个数. 【详解】依题意可得，则中的元素个数为5. 故选：B. 1．（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 2．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 【经典例题九 列举法求集合中元素的个数】 【例9】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，分别代入即可求得结果. 【详解】，故有个元素， 故选：D． 1．（2023高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【分析】直接根据定义求出集合中的元素即可. 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 3．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【答案】9 【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素. 【详解】，， ，共9个元素. 【经典例题十 集合元素互异性的应用】 【例10】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 1．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 3．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例11】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合为 . 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 【经典例题十二 集合的分类】 【例12】（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 1．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 2．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 【答案】③     【分析】根据空集的的定义可判断①②，根据集合的无序性可判断③，根据集合中代表的元素可判断④. 【详解】是没有任何元素的集合，所以①②错误； 集合中的元素满足无序性，所以，③正确； 和所表示的元素不同，④错误. 故答案为：③ 3．（23-24高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 【答案】(1)证明见解析 (2)3个，理由见解析 (3)1或－1 【分析】（1）由，结合，分析即可得证； （2）若（且），则，，，从而可得出结论； （3）由（2）知A中元素的个数为，再分为奇数和为偶数，即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵，∴． ∴集合A中有元素－1，； （2）由题意，可知若（且）， 则，，， 且，，， 故集合A中至少有3个元素； （3）由（2）知A中元素的个数为． 又集合A是有限集，且， 所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为； 若为偶数，则集合A中所有元素的积为1． 所以集合A中所有元素的积为1或－1． 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知，集合，且，则不可能的值是（    ） A．4 B．9 C．16 D．64 【答案】A 【解析】先设是方程的根，，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定和的可能情况，得到的最小取值和其他可能的情况，即得结果. 【详解】设是方程的根，则由根和系数的关系知，又，说明方程有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4. 因为，故，来自于4前面的任意可能三个不同的数字，最小，故当时最小，等于9，故不可能取4，能取9；当或时可以取16，64. 故选：A. 【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断，再根据的可能情况，确定的可能结果，以突破难点. 2．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 3．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 4．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解 【详解】因为集合且， 若， 则中也包含四个元素，即， 剩下的， 对于①：由得，故①正确； 对于②：由得，故②正确； 对于③：由得，故③正确； 故选：D 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 【答案】A 【分析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析， 对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合； 对③，都存在，使，是以0为聚点的集合； 对④，当时，对任意的，都有或者， 不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 【详解】①集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外， 其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的， ∴ 0不是集合的聚点； ②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点； ③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的， 存在，使，∴ 0是集合的聚点； ④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点． 综上可知②③正确. 故选A 6．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得集合有且只有一个元素，再分和两种情况讨论求解． 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}， 则集合中只有一个元素，即只有一个实数根， ①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝； ②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝； 所以的值为或. 故答案为：或． 7．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】确定得到，，得到，解得答案. 【详解】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是 . 【答案】4 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为的正方形，面积为， 同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是， 所以. 故答案为： 9．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知，记集合，例如，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A2的各元素之和，则该游戏的激活码为 ． 【答案】22 【分析】由已知得或，由此求得集合，故而可得答案. 【详解】解：由已知得或， 所以当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 所以，该游戏的激活码为， 故答案为：22. 10．（2023高一·全国·专题练习）元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N 【分析】略 【详解】略 故答案为：确定性；互异性；无序性；属于；；不属于；；N. 11．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 【答案】(1) (2),其中为相异正整数，理由见解析 【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可； （2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为： （2）解：设,其中, 由题意:,故， 所以，或, 下面讨论和时的情况， 当，即时，由于，故有，即， 所以，但此时，不满足“好集合”的定义，故舍去； 当，即时，此时， 满足“好集合”的定义. 所以，,其中为相异正整数. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 13．（22-23高一上·上海闵行·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，． 【分析】（1）设，然后计算可得； （2）设，计算出，由（1）得的值，然后代入一一检验可得； （3）设，计算可证，在时可得，结合（2）可得值． 【详解】（1）证明：若,则， 所以 ， 因为， 所以原式， 因为，所以偶数，原式得证． （2）因为，且， 则，所以， 设，， 由（1）可知，即， 所以或． 当时，代入可得， 此时，不满足，所以不成立． 当时，代入解得，若，则，不满足，所以不成立；若，则，满足． 综上，可知． （3）证明:因为，所以可设，且， 则 所以 ， 即成立， 对于，不等式同时除以可得， 由（2）可知，在范围内，， 所以， 即． 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】（1）令得到答案； （2）利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明； （3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2， 因为，故可设， ，两边同时除以得，， 因为，所以，与矛盾，不合要求， 故假设不成立，元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或，即， 所以至少有一个大于2. （3）设正整数集为“三元和谐集”， 则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 15．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 学科网（北京）股份有限公司 $$