专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求直线交点坐标】 1 【题型2 由直线交点的个数求参数】 3 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 4 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 6 【题型5 三线能围成三角形的问题】 7 【题型6 直线交点系方程及应用】 10 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标. 【解答过程】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组，求得，结合与垂直，利用点斜式方程，求得的直线方程，再由直线和，联立方程组，即可求解. 【解答过程】联立方程组，解得，即， 又因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 再联立方程组，解得， 所以与的交点坐标为． 故选：D. 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 【变式2-3】（21-22高二上·江西新余·开学考试）平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 【解题思路】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可，分情况求出结果即可. 【解答过程】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可， 因为直线与不平行，因此分三种情况： ①直线与直线平行，则； ②直线与直线平行，则； ③直线过直线与直线的交点，因为，所以，所以， 故实数k可能的取值是， 故选：C. 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【解题思路】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【解答过程】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用直线l斜率表示出l方程，再求出直线l与直线的交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案. 【解答过程】由题直线l斜率存在，则设直线l斜率为，则l方程为：. 将其与联立得：，解得， 故交点坐标为.因其在第一象限，则， 解得. 故选：C. 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【解答过程】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【解答过程】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程. 【解答过程】联立方程组解得，即交点为， ，∴，∴，即. 故选：B. 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解答过程】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【解题思路】（1）联立方程组即可求出； （2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解. 【解答过程】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 【变式5-3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 知识点2 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解答过程】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【解题思路】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【解答过程】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【解题思路】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【解答过程】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以， 故直线的方程为. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求直线交点坐标】 1 【题型2 由直线交点的个数求参数】 2 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 2 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 3 【题型5 三线能围成三角形的问题】 4 【题型6 直线交点系方程及应用】 5 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（21-22高二上·江西新余·开学考试）平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【变式5-3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 知识点2 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式6-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【变式6-3】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$