专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（七大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019）

专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 知识点1、集合的概念及其表示 3 知识点2、集合间的基本关系 3 知识点3、集合之间的基本运算 4 知识点4、集合的运算性质 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 集合的概念及其表示 5 重难点题型2 元素与集合的关系 8 重难点题型3 集合间的基本关系：子集、真子集与相等 12 重难点题型4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 14 重难点题型5 集合的基本运算（交集、并集、补基与全集） 18 重难点题型6 韦恩图的应用 24 重难点题型7 集合的创新定义运算 28 四、突破热点题型 32 考点1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 考点2.集合间的基本关系 ⑴.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。 ⑵.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。 ⑶.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。 (4).空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 【名师提醒】 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 考点3.集合之间的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 知识点4.集合的运算性质 (1).A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。 (2).A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。 (3).A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。 (4).若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个. (5).A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .[来源:学。科。网] (6).奇数集：. (7).德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 重难点题型1 集合的概念及其表示 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（24-25高一上·江西上饶·月考）（多选题）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 例2.（多选题）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 例3.（25-26高一上·四川成都·月考）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 1．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）（多选题）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 2．（24-25高一上·湖南长沙·月考）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 3．（24-25高一上·江西景德镇·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 重难点题型2 元素与集合的关系 (1)、判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)、已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 例4.（2025高三·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例5.（23-24高一上·重庆璧山·月考）（多选题）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 2.（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 例6.（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 1.（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 重难点题型3 集合间的基本关系：子集、真子集与相等 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 例7.（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 例8.（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·湖南衡阳·月考），若，则+= . 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知集合 ，集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 1．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)、A的子集的个数有2n个． (2)、A的非空子集的个数有2n－1个． (3)、A的真子集的个数有2n－1个． (4)、A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例10、（2025·四川绵阳·模拟预测）集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 例11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 例12．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·山东聊城·月考）（多选题）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 考点5 集合的基本运算：交、并、补 集合基本运算的求解规律 (1)、离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)、集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． (3)、根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解． 例13．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例14．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例15．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 3．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例16．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 例17．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 例18．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）已知集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 1．（22-23高一上·江西南昌·月考）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 考点6 韦恩图 例19．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 例20．（24-25高一上·江苏苏州·月考）设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 例21．（24-25高一上·北京·月考）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·月考）（多选题）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 考点7 集合的创新定义 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 例22．集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 例23．（2024·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 例24．（2024·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 1．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ． 2．（23-24高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选题）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论正确的是（    ） A．； B．； C．； D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”. 1．（24-25高一上·广东清远·月考）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 4．（25-26高一上·全国·月考）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高一上·山东泰安·月考）已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 6．（25-26高一上·全国·月考）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 9．（24-25高一上·湖北武汉·月考）设集合，，则满足且的集合有 个 10．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 11．已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 13．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 14．（24-25高一上·山东济南·期末）已知集合． (1)求，； (2)若，且，求实数的取值范围． 15．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 3 知识点1、集合的概念及其表示 3 知识点2、集合间的基本关系 3 知识点3、集合之间的基本运算 4 知识点4、集合的运算性质 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 集合的概念及其表示 5 重难点题型2 元素与集合的关系 8 重难点题型3 集合间的基本关系：子集、真子集与相等 12 重难点题型4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 14 重难点题型5 集合的基本运算（交集、并集、补基与全集） 18 重难点题型6 韦恩图的应用 24 重难点题型7 集合的创新定义运算 28 四、突破热点题型 32 考点1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 考点2.集合间的基本关系 ⑴.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。 ⑵.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。 ⑶.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。 (4).空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 【名师提醒】 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 考点3.集合之间的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 知识点4.集合的运算性质 (1).A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。 (2).A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。 (3).A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。 (4).若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个. (5).A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .[来源:学。科。网] (6).奇数集：. (7).德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 重难点题型1 集合的概念及其表示 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（24-25高一上·江西上饶·月考）（多选题）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 例2.（多选题）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 例3.（25-26高一上·四川成都·月考）（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等、常用数集或数集关系应用 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 1．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）（多选题）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 2．（24-25高一上·湖南长沙·月考）（多选题）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 3．（24-25高一上·江西景德镇·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、描述法表示集合 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 重难点题型2 元素与集合的关系 (1)、判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)、已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 例4.（2025高三·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意得到，求解，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 解得：， 错误， 错误， 错误, 正确， 故选：D 例5.（23-24高一上·重庆璧山·月考）（多选题）已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用元素与集合的关系以及元素特性即可判断. 【详解】由题知，或或， 即或或. 当时，（舍）； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故选：BD 1.（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 2.（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 例6.（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、根据两个集合相等求参数、反证法证明、集合新定义 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 1.（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 重难点题型3 集合间的基本关系：子集、真子集与相等 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 例7.（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 例8.（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】子集的概念 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】由于，,故, 故选：B 1．（23-24高一上·湖南衡阳·月考），若，则+= . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 例9．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知集合 ，集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由绝对值不等式得出集合A，再应用集合的交集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到即可. 【详解】（1）当时，，， 所以； （2）因为， 因为集合，集合， 所以， 所以实数的取值范围. 1．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 考点4 集合间的基本关系：子集与真子集的个数 1.集合A中含有n个元素，则有 (1)、A的子集的个数有2n个． (2)、A的非空子集的个数有2n－1个． (3)、A的真子集的个数有2n－1个． (4)、A的非空真子集的个数有2n－2个． 2.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例10、（2025·四川绵阳·模拟预测）集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、方程与不等式 【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求. 【详解】因为， 所以则的子集有个， 故选：A. 例11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】128 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用集合定义求出集合，然后根据子集的性质求得子集个数. 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 例12．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合表示正奇数除以4，集合表示整数除以4，据此可以判断两个集合的关系. 【详解】表示是的含义是正奇数除以4， 表示的含义是整数除以4, 所以， 故选：C. 1．（24-25高一上·山东聊城·月考）（多选题）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 2．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 考点5 集合的基本运算：交、并、补 集合基本运算的求解规律 (1)、离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解． (2)、集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． (3)、根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解． 例13．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义即可求解. 【详解】由， 则. 故选：A. 例14．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合的并运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 例15．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【详解】由补集定义可知. 1．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·辽宁·期中）设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 3．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 例16．（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 例17．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 例18．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）已知集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据集合并集运算结果可得其包含关系，结合二次函数的性质，可得答案； （2）由集合交集的运算结果，将问题转化为不等式恒成立，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意，可得 令，根据根的分布可得 解得 （2）由，可得， 即对恒成立， 即，，当且仅当时等号成立， 所以 1．（22-23高一上·江西南昌·月考）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用集合交集，并集，补集定义计算即可求； （2）由，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，或， 所以. （2）若时，成立，即，解得， 若时，则或，解得或， 综上，或. 3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 考点6 韦恩图 例19．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 例20．（24-25高一上·江苏苏州·月考）设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】由图确定阴影部分为，即可求解. 【详解】由图像可知：阴影部分为， 又 , 所以， 故选：B 例21．（24-25高一上·北京·月考）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据图可知，阴影表示的补集，即可根据集合交并补的定义求解. 【详解】由可得，， 故，进而. 故选：D 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 2．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 3．（24-25高一上·山东泰安·月考）（多选题）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可. 【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确； 对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合， 阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误； 对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素 构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确； 对于D，由于，所以 ， 与选项A相同，故选项D正确. 故选：ACD. 考点7 集合的创新定义 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 例22．集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 例23．（2024·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 例24．（2024·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 1．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】根据题意，若，则；若，则关系不确定. 故选：B． 2．（23-24高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏徐州·月考）（多选题）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论正确的是（    ） A．； B．； C．； D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”. 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【解析】根据题意逐个分析判断，即可得解. 【详解】对A， ，整除余数为，故正确； 对B，，故被整除余，故错误； 对C，所有整数被除，余数为，或，或，或，或五中种情况， 所以正确； 对D， 若整数a，b属于同一“类”，则余数相同，作差余数为，有， 若，则，被余数相同，即整数a，b属于同一“类”，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了新定义，考查了余数的概念，同时考查了逻辑推理能力，属于基础题. 1．（24-25高一上·广东清远·月考）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·月考）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 5．（23-24高一上·山东泰安·月考）已知集合，，若，则a等于（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等的定义，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得. 【详解】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 6．（25-26高一上·全国·月考）已知非空数集A，B，C，其中A，B各有四个元素，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算 【详解】依题意可得3，，3，，1，，1，，故2，，故． 7．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】由题意求出B的补集，根据集合的并集运算，即得答案. 【详解】因为全集，所以， 又，则， 故选：C． 8．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 9．（24-25高一上·湖北武汉·月考）设集合，，则满足且的集合有 个 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解. 【详解】因为且，，． 中一定含有4或5或4、5．当 中含有一个元素时，或，共2个； 当中含有两个元素时，，，，，，共5个； 当中含有三个元素时，，，，，共4个； 当中含有四个元素时，，共1个． 所以满足条件的集合有个． 故答案为：12 10．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 11．已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 12．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 13．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据交集的概念计算； （2）根据并集的概念计算； （3）先求补集，然后求交集即可. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意， （3）由题意，，则 14．（24-25高一上·山东济南·期末）已知集合． (1)求，； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解一元二次不等式得集合，利用补集、交集的定义求解即得； （2）由可得，故可得，解之得参数范围. 【详解】（1）因为或， 所以 所以 （2）因 由，可得，则 所以，解得 则实数的取值范围为． 15．（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可. 【详解】（1）当时，可得集合， 所以. ，． （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$