精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

独山中学2025届高三5月月考卷 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项； 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意. 1. 下列集合中表示空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先分母实数化，整理后写出复数，结合模长公式计算即可. 【分析】，则. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式的通项，令的指数为零即可求得. 【详解】展开式的通项为： ， 由可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 5. “数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由反例可知充分性不成立；由等差和等比数列定义可推导得到必要性成立，由此可得结论. 【详解】若数列为常数列，此时是等差数列，但不是等比数列，充分性不成立； 若数列既是等差数列又是等比数列，则，， 当时，，此时为常数列；当时，； 数列为常数列，必要性成立； 综上所述：“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦公式计算可得. 【详解】，所以， 所以， 故选：D. 7. 若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由得，所以直线l过定点， 又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为， 方程又又方程不能表示直线,所以点A不能为， 所以点A的轨迹为圆的一部分. 故选：A． 8. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数可得函数在上的值域，根据一次函数以及二次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据、、、、的上四分位数是 C. 若随机变量，则 D. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，若随机变量，， 根据正态分布曲线的对称性，可得，A对； 对于B选项，将数据由小到大排列为、、、、， 因为，故这组数据的上四分位数为，B对； 对于C选项，因为随机变量，则，C对； 对于D选项，若、两组成对数据的样本相关系数分别为，， 所以，故组数据比组数据的相关性较强，D错. 故选：ABC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值法判断ABC，由二项式定理判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则1，故B正确； 对于C，令，则，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项. 【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象， 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确； 对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确； 对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，是的前项和，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解出，再根据等差数列求和公式计算可得； 【详解】设公差为，则，解得，则. 故答案为：. 13. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】 结合组合公式求出总的抽取方法数，选出符合条件的组合方法数，利用古典概型公式即可求解 【详解】从5个数中抽取两个的方法数为：，其中个数之差的绝对值为的有共3种，故取出的个数之差的绝对值为的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查排列组合公式在古典概型中的应用，属于基础题 14. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 （1）求A； （2）若，，求BC边上的高 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理将边化角，再结合三角函数恒等变换，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，，， 所以，， 因为，所以，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理得可得，所以， 因为的面积， 所以，所以 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，． 【答案】（1） （2）设，求导得， 函数在上单调递减，恒成立，即，因此， 设，求导得，函数在上单调递增， 则，则，即， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程. （2）构造函数求导确定单调性即可得，再设，求导确定单调性，从而可得，结合指数与对数运算即可证得结论. 【小问1详解】 函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，． （1）证明：； （2）若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为为正方形，所以， 因为，为中点，所以， 又平面，平面，且，所以平面， 平面．所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由底面是正方形，得到，再由为等腰三角形得到，最后根据线面垂直的判定定理得到平面，即可证明； （2）先证得平面，得到两两互相垂直，建立空间直角坐标系，再利用向量法求线面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， 所以为二面角的平面角，即， ，则，又， 则， 因为，可得， 又，且平面，平面， 则平面，则两两互相垂直， 建立如图所示空间直角坐标系， 有， 则， 设平面的法向量， 则，即为，取， 设平面与所成角为，则， ，故平面与所成角的余弦值为． 18. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】（1）随机变量的分布列为： 0 10 30 . （2）证明：若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，即， 所以， 所以的通项公式是. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． （1）求椭圆的方程及长轴长； （2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】（1）椭圆的方程为：，其长轴长为； （2）在椭圆上，理由如下： 由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【小问1详解】 由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山中学2025届高三5月月考卷 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项； 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意. 1. 下列集合中表示空集的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 4. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. “数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 数据、、、、的上四分位数是 C. 若随机变量，则 D. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，是的前项和，且满足，则__________． 13. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是______. 14. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 （1）求A； （2）若，，求BC边上的高 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，． （1）证明：； （2）若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值． 18. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 19. 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． （1）求椭圆的方程及长轴长； （2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $