精品解析：2025年陕西省西安市铁一中学九年级下学期中考八模数学试卷

2025年西安铁一中八模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 下列立体图形中，三视图（主视图、左视图、俯视图）相同的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 8. 已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：_______． 10. 正八边形的对角线的条数为________条． 11. 如图，是的弦，连接、，点在上，，，则扇形的面积为_____． 12. 已知正比例函数和反比例函数的图象在第一象限的交点为，则满足_____条件时，． 13. 如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. （尺规作图）如图，请在边，，上分别确定点，，，使得四边形为菱形，请作出菱形（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，，．求证：． 19. 有、、、四个训练场地．抽签决定各班训练位置，规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取．已知小明和小亮都是“体育委员”． （1）小明抽到的训练地点是“场地”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一训练场地的概率． 20. 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题． 21. 如图，为了测量建筑物的高度，从距离建筑物底部处60米的点(点与建筑物底部在同一水平面上)出发，沿坡度的斜坡前进米到达点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据：) 22. 如图，平行四边形中，，点、分别为边、上的动点，且，设，四边形的面积为，解答下面的问题： （1）求与的函数关系式； （2）当点为边中点时，求四边形的面积． 23. 学校组织了“环保知识竞赛”，竞赛结束后随机抽取部分学生成绩进行统计，按成绩分为五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答以下问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了______名学生成绩，知识竞赛成绩的中位数落在_____等级： （2）补全频数直方图； （3）若该校一共有6000名学生，请你估计该校本次知识竞赛成绩达到等级和等级的总人数． 24. 如图，的边上有一点，过点，，，且与相切于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 26. （1）如图1，平行四边形，连接，，则图中与面积相等的三角形有___________； （2）如图2，，，则的面积最大值是___________； （3）如图3，市政部门计划在幸福林带修建一个四边形区域的大型游乐场，要求设计院按如下标准设计：段长度为600米，且满足，要求四边形的面积尽可能的大，并计划在上处和处设计两个门，沿建一个观光游览路线，并要求观光游览路线两侧的面积相等，问设计院能否按市政部门的要求设计出来？若能，求出的长或的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年西安铁一中八模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 下列立体图形中，三视图（主视图、左视图、俯视图）相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左边看得到的图形，俯视图是从上边看得到的图形，分别分析各选项即可得到答案．熟练掌握常见的简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、半球体的主视图和左视图都是半圆，俯视图是圆，故本选项不符合题意； B、圆柱体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； C、球体的主视图、主视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意； D、圆锥体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．先根据两直线平行、内错角相等求得的度数，再根据两直线平行、同旁内角互补求得的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出一元一次不等式的解集即可得解．本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】解：， 两边同除以2得， 解得． 故选：C． 5. 如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得 ，，从而可得是等边三角形，进而可得，，从而可得图中含有内角为的三角形的个数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和 性质，以及“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”． 熟练掌握以上知识，求出图中的的是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∵中，，是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴图中含有内角为的三角形有、、、、共5个． 故选：C． 6. 直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与x轴交点为，与y轴交点为,再中心对称的性质得出这两个点关于原点的对称点为，，在利用待定系数法求出旋转以后的直线的表达式即可．本题主要考查了关于坐标原点对称的点的特征． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∴由，得时，；时，； ∴直线与x轴交点为，与y轴交点为, 这两个点关于原点的对称点为，， 设直线绕坐标原点旋转后得到直线为， 则， 解得， ∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为． 故选：B 7. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 8. 已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， 顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得， 又∵ ∴， ∴的值可以是2． 故选：A 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 正八边形的对角线的条数为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：正八边形的对角线的条数为条， 故答案为：20． 11. 如图，是的弦，连接、，点在上，，，则扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理， 先由圆周角定理得到，再由勾股定理求出的长，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知正比例函数和反比例函数的图象在第一象限的交点为，则满足_____条件时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查利用图象解不等式，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题等知识，根据对称性求出另一个交点，再利用图象求解即可．运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意画出图象如下图所示： 根据对称性可知：另一个交点与点关于原点对称， ∴． 由图象可知：当或时，， 故答案为：或． 13. 如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，垂线段的性质等，证明为定值是解题的关键． 先证四边形是矩形，再证，，进而可得，，推出为定值，由垂线段最短，可知当时，取最小值，也取最小值． 【详解】解：矩形中， ，， 点、、分别为矩形的边、、的中点，， ，四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 点为边上一动点， 当时，取最小值，最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂公式，零指数幂公式，去绝对值，二次根式的加减等知识点，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的加减运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 17. （尺规作图）如图，请在边，，上分别确定点，，，使得四边形为菱形，请作出菱形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，四边形AMNP即为所求． 【解析】 【分析】作∠CAB的角平分线交BC于点N，作线段AN的垂直平分线交AB于点M，交AC于点P，连接NP，NM，四边形AMNP即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了菱形的性质与判定，角的平分线作法，线段的垂直平分线作法．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可证，进而问题可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 有、、、四个训练场地．抽签决定各班训练位置，规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取．已知小明和小亮都是“体育委员”． （1）小明抽到的训练地点是“场地”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一训练场地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能的情况数，再找出小明与小亮抽到同一训练场地的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：小明抽到的训练地点是“A场地”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 　 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有16种且它们出现的可能性相等，其中小明与小亮抽到同一训练场地的有4种结果， 所以小明与小亮抽到同一训练场地的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法求解简单随机事件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题． 【答案】合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱 【解析】 【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱， 根据题意得： 解得： 答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21. 如图，为了测量建筑物的高度，从距离建筑物底部处60米的点(点与建筑物底部在同一水平面上)出发，沿坡度的斜坡前进米到达点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据：) 【答案】63米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图作于N，于M．解直角三角形分别求出，即可解决问题． 【详解】如图：作于N，于M． 在中， ∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ，即， 解得：或(负数舍去)， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴(米)． 答：建筑物的高度约为63米． 22. 如图，平行四边形中，，点、分别为边、上的动点，且，设，四边形的面积为，解答下面的问题： （1）求与的函数关系式； （2）当点为边中点时，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，一次函数与几何综合等知识，运用高相等时，三角形面积之比求解是解题的关键． （1）连接，则，过点A作于点E，根据题意可知利用平行四边形的面积公式和含角的直角三角形的性质求出平行四边形的面积，得到，根据高相等时，三角形面积之比等于底边长之比分别求出，再求和即可得解； （2）先求出x，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：连接，则． 过点A作于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， 由高相等时，三角形面积之比等于底边长之比可知：， ∴， ∴四边形的面积为：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 当点为边中点时，， ∴， 23. 学校组织了“环保知识竞赛”，竞赛结束后随机抽取部分学生成绩进行统计，按成绩分为五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答以下问题： 等级 成绩 （1）本次调查一共随机抽取了______名学生成绩，知识竞赛成绩的中位数落在_____等级： （2）补全频数直方图； （3）若该校一共有6000名学生，请你估计该校本次知识竞赛成绩达到等级和等级的总人数． 【答案】（1）200；C （2） 补全频数分布图如下： （3）2700 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由A等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以C等级对应百分比可得C等级的人数，再用总人数减去50，45，70，20得到E等级人数，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据C、E等级人数补全图形即可； （3）总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生人数为：(人)， C等级的人数为：(人)， 所以频数直方图中E等级人数是：(人) 由于一共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，而第100、101个数据都落在C等级， 所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级． 故答案为：200；C； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(人)． 答：该校本次知识竞赛成绩达到A等级和B等级的总人数2700人． 24. 如图，的边上有一点，过点，，，且与相切于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：作直径，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，由切线的性质和圆周角定理可知，，得，再利用圆周角定理可得结论； （2）先证明，得，根据，求出， 再根据，求出，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 25. 如图是篮球运动员慕梓睿在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为轴，出手点竖直方向为轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，慕梓睿投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员雷莹在原点右侧且距原点1.5米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问雷莹能否碰到篮球？并说明理由． 【答案】（1） （2）雷莹不能碰到篮球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解； （2）当时，得，求解可得． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，把代入解析式得， 解得． ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：雷莹不能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴雷莹不能碰到篮球． 26. （1）如图1，平行四边形，连接，，则图中与面积相等的三角形有___________； （2）如图2，，，则的面积最大值是___________； （3）如图3，市政部门计划在幸福林带修建一个四边形区域的大型游乐场，要求设计院按如下标准设计：段长度为600米，且满足，要求四边形的面积尽可能的大，并计划在上处和处设计两个门，沿建一个观光游览路线，并要求观光游览路线两侧的面积相等，问设计院能否按市政部门的要求设计出来？若能，求出的长或的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）上存在点M，使两侧的面积相等，此时，． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质解答，即可； （2）过点A，B，C作圆O，连接，，作于点D，可得当点C到的距离最大时，的面积最大，当过点O时，点C到的距离最大，证明是等边三角形，结合锐角三角函数可得，即可求解； （3）把绕点D逆时针旋转60度得到，连接，可得四边形是菱形，从而得到，，再由，可得点A，D，E三点共线，从而得到，过A，B，E作圆O，连接，作于点D，由（2）得：当点E到的距离最大时，的面积最大，当过点O时，点E到的距离最大，再由求出， 假如上存在点M，使两侧的面积相等，则，过点A作，过点D作，连接，再结合锐角三角函数可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）设平行四边形的边上的高为h， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 同理， ∴图中与面积相等的三角形有； 故答案为：； （2）如图，过点A，B，C作圆O，连接，，作于点D， ∵，为定值， ∴当点C到的距离最大时，的面积最大， , ∴当过点O时，点C到的距离最大， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 此时， 即的面积最大值是； 故答案为： （3）如图，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接， ∵， ∴是等边三角形， 由旋转的性质得：是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴点A，D，E三点共线， ∴， 过A，B，E作圆O，连接，作于点D， 由（2）得：当点E到的距离最大时，的面积最大， 当过点O时，点E到的距离最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 假如上存在点M，使两侧的面积相等，则， 如图，过点A作，过点D作，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴上存在点M，使两侧的面积相等，此时，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，圆内接三角形，直角三角形30度角的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握平行四边形的性质，直角三角形30度角的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $