专题3.2 基本不等式（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题3.2 基本不等式 教学目标 (1).理解和掌握基本不等式的证明及几何意义； (2)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教学重难点 1.重点 (1)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； (2)能用基本不等式解决不等式恒（能）成立问题. 2.难点 (1)对基本不等式及其几何意义的理解； (2)基本不等式的实际应用． 知识点01 重要不等式 1.一个重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号. 2.重要不等式的变形 如果a，b∈R，那么；. 【即学即练】 1．设a＞0，b＞0，c＞0，且ab＋bc＋ac＝1，求证a2＋b2＋c2≥1. 【证明】a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 相加可得(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac. 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1. 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 知识点02 基本不等式 1.基本不等式 如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式． 2.基本不等式的文字叙述 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.几何意义 半径不小于半弦． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【即学即练】 1．不等式≤中等号成立的条件是________. 【答案】x＝ 【解析】等号成立的条件为3x＝2－3x，即x＝. 2．若a∈R时，下列不等式成立的是________． ①a2＋≥a；②a(1－a)≤；③＋a≥2；④a2＋≥2. 【答案】①④ 【解析】由基本不等式知，①④正确，②③只有当a＞0时才成立． 知识点03 基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【即学即练】 1.函数​的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由已知函数 ， ∵x≥1，∴​， ∴​， 当且仅当​，即x＝2​时等号成立， ∴​当x＝2​时，函数​有最小值是4， 故选：C． 2.（2025届青海西宁四中高一上月考）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【解析】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 知识点04 基本不等式链（拓展） 由基本不等式可得 ， 即对两个正数而言，调和平均数几何平均数算术平均数加权平均数. 上述各不等式间取等号的条件都是a=b. 【即学即练】 1.（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 2.已知正数满足，则的最小值为 . A． B． C． D． 【答案】 【解析】由不等式链得，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为 题型01 对基本不等式的理解 【典例1】（2025•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可． 【解析】因为， 所以，故①错误； 当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误； 因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2， 所以，故③正确． 故选：C． (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【变式1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 【答案】A 【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解析】因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号， 又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误， 2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误， 故选：A． 【变式2】（2025•安徽合肥期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　） A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D． 【答案】C 【分析】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解析】因为a＞0，b＞0，a+b＝2， 所以ab≤（）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误； 因为（）2＝a+b+22+22+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以2，B错误； 因为1，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以a2+b2≥2，C正确； （）（2）2，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误． 故选：C． 题型02 利用基本不等式推导其它不等式 【典例】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 这种题型一般以小题形式出现，一般利用基本不等式并结合特殊值法求解，其中利用基本不等式进行推理时要适当凑配，使之符合积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式进行放缩. 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【解析】对于ACD，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，所以，当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 故选：B． 【变式2】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断AB，利用不等式的性质判断C，根据作差法及基本不等式判断D. 【解析】选项A：因为，所以，故A正确. 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B错误. 选项C：因为，所以，， 所以，又，所以，故C正确. 选项D：  ， 当等号成立，但是，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD 题型03 利用基本不等式比较大小 【典例】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 一般利用作差或作商法比较大小，但在作差或作商后所得式子有时满足基本不等式的形式，此时可利用基本不等式进行放缩，从而得到最终的大小关系. 【变式1】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解析】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式2】若四个正数，，，满足，，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，当且仅当时，等号成立， 又,故时，等号成立， 所以． 故选：B 题型04利用基本不等式证明无附加条件的不等式 【典例】已知、、、为正实数． (1)证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：. 【分析】（1）利用基本不等式，相加得到，再次使用基本不等式得到，从而得到结论； （2）在（1）基础上，令， 得，化简得到，证明出结论. 【解析】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【变式】已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【解析】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 题型05利用基本不等式证明有附加条件的不等式 【典例】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【解析】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 有附加条件的不等式的证明，应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，证题时要时刻注意到等号能否取到. 【变式】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，均为正实数，且满足．证明： (1)． (2)． 【分析】（1）由题意得到，，，三式相加即可证明；(2)由题意得到，再结合，，即可证明结论． 【证明】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． 题型06 利用基本不等式求最值（无条件） 【典例1】（2024•漳州期末）已知a＞1，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】凑项，a﹣1+1，从而符合积为定值. 【解析】因为a＞1，则a﹣111＝5， 当且仅当a﹣1，即a＝3时取等号． 故选：A． 【典例2】(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 【解析】(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤2＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 法二：∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2 ＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. (1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． (2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． 【变式1】（2025•江西抚州联考）若a＞0，b＞0，求的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】把变形，再由基本不等式求其最小值． 【解析】∵a＞0，b＞0， ∴ ． 当且仅当时等号成立， ∴的最小值为2． 故选：C． 【变式2】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 【变式3】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）函数在上的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由换元法设，再根据基本不等式即可求解． 【解析】设， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值是， 故选：C． 题型07 条件等式求最值 【典例】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 本题所用方法叫常值代换法，这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数)，求的最小值”或“已知均为正数），求的最小值”两类题型. 【变式1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【解析】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【解析】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】3 【分析】由条件等式结合基本不等式可求得取得最大值时所需满足的条件，进一步即可得解. 【解析】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 题型08 利用基本不等式解决恒成立问题 【典例】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，恒成立；恒成立. 【变式1】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【解析】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 题型09 利用基本不等式解决不等式能成立问题 【典例】已知x＞0，y＞0且1，若不等式x+y<m有解，则实数m的取值范围是( ) A．(9，+∞） B．（﹣∞，9] C．[9+∞） D．（﹣9，1） 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案． 【解析】∵x＞0，y＞0，且且1， ∴x+y＝（x+y）（）＝525＝9， 当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号． ∴（x+y）min＝9， 由x+y<m有解，即m>（x+y）min＝9， 对于含参数的不等式能成立（即不等式有解）问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解. 【变式】已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m有解，则实数m的取值范围为（　　） A．（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[-9，1] D．（9，20） 【答案】A 【分析】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求． 【解析】因为x＞0、y＞0，且1， 2x+y＝（2x+y）（）＝59， 当且仅当且1，即x＝y＝3时取等号，此时2x+y取得最小值9， 若2x+y＜m有解，则m>9 故选：A． 题型10 基本不等式链的应用 【典例】（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式链及不等式的性质求解. 【解析】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链可以在各平均数间灵活进行放缩、转化. 【变式1】（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【解析】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 【变式2】（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【解析】解：对A选项：，，， ，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确； 对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确； 对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误. 故选：ABC. 题型11 与基本不等式有关的数学文化题 【典例】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【解析】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 式可得，故C正确. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值. 【解析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量 20g（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据题设得，再应用基本不等式求的范围，即可得答案. 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，则， ， . 题型12 基本不等式在实际生活中的应用——最值问题 【典例】(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【解析】(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m. 由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40. 当且仅当x＝y＝10时等号成立． 所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m. (2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2. 由≤＝＝9，可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立． 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2. 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 【变式1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时，则，当且仅当，即时等号成立． 【变式2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 题型13 利用基本不等式解决方案设计问题 【典例】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 此类题型往往给出多种方案，从中选择成本最省或利润最高的一种方案出来，此时求最值往往需要借助函数思想或者基本不等式. 【变式】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【解析】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 1、 单选题 1.已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【解析】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【解析】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 4．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【解析】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 6．（25-26高一上·全国·课后作业）一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【答案】C 【解析】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克． 7．已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当且仅当，时等号成立，所以． 8．（24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由基本不等式和一元二次不等式，得到，不等式化为在上恒成立，由对勾函数单调性得到最小值为，从而得到答案. 【解析】，由基本不等式得， 令，则，解得或（舍去）， 在上恒成立， 故在上恒成立， 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【解析】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10.若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得. 【解析】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B， ，， 又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误； 对于C，，，所以， 则，并且时等号成立.，所以C正确； 对于D，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知非零实数满足，则（   ） A．的最大值为 B． C． D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】A：配方法结合二次函数性质直接判断；B：利用基本不等式直接判断；C：结合“1”的代换判断；D：先根据确定取等条件，由此可判断. 【解析】A：因为，当时取等号，所以的最大值为，故正确； B：因为为非零实数，所以， 当且仅当时，等号同时成立，所以成立，故正确； C：因为， 当且仅当，即时取等号，故正确； D：因为，当且仅当，即时取等号， 当时，此时，不符合题意，所以等号取不到，故错误； 故选：ABC. 2、 填空题 12. 24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 13．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【解析】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 14．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值为 【答案】 【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解析】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 四、解答题 15.（2025湖北黄冈高一上联考）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【解析】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 16.（2025四川眉山高一上期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【解析】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 17.（2025•广西桂林联考）已知a＞0，b＞0． （1）若，求证：a+b≥16； （2）求证：a+b+1． 【分析】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证； （2）由基本不等式可得a+1≥2，b+1≥2，a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，三个式子相加即可得证． 【证明】（1）因为，a＞0，b＞0， 所以a+b＝（a+b）（）＝1010+216，当且仅当，即a＝4，b＝12时等号成立，所以a+b≥16． （2）因为a＞0，b＞0， 则a+1≥2，b+1≥2，a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立， 所以a+1+b+1+a+b≥222， 所以a+b+11． 18．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【解析】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【解析】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 基本不等式 教学目标 (1).理解和掌握基本不等式的证明及几何意义； (2)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 教学重难点 1.重点 (1)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； (2)能用基本不等式解决不等式恒（能）成立问题. 2.难点 (1)对基本不等式及其几何意义的理解； (2)基本不等式的实际应用． 知识点01 重要不等式 1.一个重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ ，当且仅当 时取等号. 2.重要不等式的变形 如果a，b∈R，那么 ； . 【即学即练】 1．设a＞0，b＞0，c＞0，且ab＋bc＋ac＝1，求证a2＋b2＋c2≥1. 知识点02 基本不等式 1.基本不等式 如果a，b都是非负数，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的 ，称为a，b的 ，该不等式又被称为均值不等式． 2.基本不等式的文字叙述 两个非负数的算术平均数 它们的几何平均数． 3.几何意义 半径 半弦． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【即学即练】 1．不等式≤中等号成立的条件是________. 2．若a∈R时，下列不等式成立的是________． ①a2＋≥a；②a(1－a)≤；③＋a≥2；④a2＋≥2. 知识点03 基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【即学即练】 1.函数​的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（2025届青海西宁四中高一上月考）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 知识点04 基本不等式链（拓展） 由基本不等式可得 ， 即对两个正数而言，调和平均数几何平均数算术平均数加权平均数. 上述各不等式间取等号的条件都是a=b. 【即学即练】 1.（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2.已知正数满足，则的最小值为 . A． B． C． D． 题型01 对基本不等式的理解 【典例1】（2025•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【变式1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　） A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．2b＞2 D．2b＜2 【变式2】（2025•安徽合肥期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　） A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D． 题型02 利用基本不等式推导其它不等式 【典例】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 这种题型一般以小题形式出现，一般利用基本不等式并结合特殊值法求解，其中利用基本不等式进行推理时要适当凑配，使之符合积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式进行放缩. 【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 利用基本不等式比较大小 【典例】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 一般利用作差或作商法比较大小，但在作差或作商后所得式子有时满足基本不等式的形式，此时可利用基本不等式进行放缩，从而得到最终的大小关系. 【变式1】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式2】若四个正数，，，满足，，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型04利用基本不等式证明无附加条件的不等式 【典例】已知、、、为正实数． (1)证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：. (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【变式】已知，都是正数，求证：. 题型05利用基本不等式证明有附加条件的不等式 【典例】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明． . 有附加条件的不等式的证明，应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，证题时要时刻注意到等号能否取到. 【变式】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，均为正实数，且满足．证明： (1)． (2)． 题型06 利用基本不等式求最值（无条件） 【典例1】（2024•漳州期末）已知a＞1，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C． D． 【典例2】(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． (1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． (2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． 【变式1】（2025•江西抚州联考）若a＞0，b＞0，求的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【变式2】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）函数在上的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型07 条件等式求最值 【典例】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 本题所用方法叫常值代换法，这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数)，求的最小值”或“已知均为正数），求的最小值”两类题型. 【变式1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式3】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 题型08 利用基本不等式解决恒成立问题 【典例】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，恒成立；恒成立. 【变式1】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 题型09 利用基本不等式解决不等式能成立问题 【典例】已知x＞0，y＞0且1，若不等式x+y<m有解，则实数m的取值范围是( ) A．(9，+∞） B．（﹣∞，9] C．[9+∞） D．（﹣9，1） 对于含参数的不等式能成立（即不等式有解）问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解. 【变式】已知x＞0、y＞0，且1，若2x+y＜m有解，则实数m的取值范围为（　　） A．（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[-9，1] D．（9，20） 题型10 基本不等式链的应用 【典例】（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链可以在各平均数间灵活进行放缩、转化. 【变式1】（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 题型11 与基本不等式有关的数学文化题 【典例】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量 20g（填“大于”“小于”或“等于”） 题型12 基本不等式在实际生活中的应用——最值问题 【典例】(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 【变式1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 题型13 利用基本不等式解决方案设计问题 【典例】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 此类题型往往给出多种方案，从中选择成本最省或利润最高的一种方案出来，此时求最值往往需要借助函数思想或者基本不等式. 【变式】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 1、 单选题 1.已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 10.若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知非零实数满足，则（   ） A．的最大值为 B． C． D．的最小值为2 2、 填空题 12.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 13．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 . 14．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值为 四、解答题 15.（2025湖北黄冈高一上联考）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 16.（2025四川眉山高一上期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 17.（2025•广西桂林联考）已知a＞0，b＞0． （1）若，求证：a+b≥16； （2）求证：a+b+1． 18．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 19．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$