精品解析：辽宁省葫芦岛市协作校2024-2025学年高一下学期第二次考试数学试卷

2024—2025下学期协作校高一第二次考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册至必修第四册第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 203 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：B 2. 若一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为. 故选：B. 3. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式直接计算. 【详解】在方向上的投影向量为， 故选：C. 4. 若，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【详解】． 故选：D. 5. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数最小正周期公式，求出参数，再根据余弦函数解析式，求出对称轴方程即可. 【详解】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 6. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理确定三角形解的情况，可得不等式，即可得解. 【详解】由题意得， 即， 故选：D. 7. 若复数是关于x的方程，（a，）的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】由题意得， 则，得，所以． 故选：A. 8. 已知地在地的北偏东方向上，地在地的南偏东方向上，地在地的北偏西方向上，且地与地相距6km，则地与地之间的距离为（参考数据：取）（ ） A. 8km B. 12km C. 16km D. 9.6km 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由题意得，， 由正弦定理得，得． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数化简，即可判断A选项；写出的实部和虚部判断B选项；利用共轭复数的定义写出，判断C选项；再利用复数的几何意义判断D选项即可. 【详解】由题意得，，故A错误； 的实部是，虚部是，则实部与虚部之和为，故B正确； 的共轭复数为，故C正确； z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解判断. 【详解】在中，由已知及正弦定理得，设， 则，，得，，因此，，AB正确； 由，得C为的最大内角，而，因此C为钝角， 即是钝角三角形，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在直角梯形中，，，，，分别是的中点，是以为直径的半圆弧，点为圆弧上的一个动点，的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图形特征结合数量积运算律结合余弦函数值域计算求解. 【详解】如图，取的中点，将梯形补成长方形， 设与的夹角为， 则． 当三点共线，即时，取得最小值，， 当与重合时，取得最大值， ． 故． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长公式直接计算. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】由题意得，． 故答案为：；. 14. 已知边长为的等边三角形的内心为，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用转化法可得向量数量积，根据外接圆性质可知，再根据两角差的正切公式可得解. 【详解】 记的中点为，连接，如图所示， 则， 同理 则； 依题意可得， 则； 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若z为实数，求x的值； （2）若z为虚数，求x的取值范围； （3）若z为纯虚数，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【小问1详解】 由z为实数，得，所以. 【小问2详解】 由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. 【小问3详解】 由z为纯虚数，得且，所以. 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）- （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得； （2）由（1），二倍角正切公式，诱导公式可得答案； （3）由（1）结合两角和的余弦公式可得答案. 【小问1详解】 由题意得，所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 17. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到. （1）求点的坐标； （2）若点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转特点可知两向量模长相等且互相垂直，由此构造方程组求出，根据可得结果. （2）利用向量夹角余弦的坐标公式计算即可得出结果. 【小问1详解】 设，由题意得. ， 由题意得得， 解得或 又，所以点的坐标为. 【小问2详解】 由题意得， 则， ， 所以. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角，且． （1）求B． （2）已知，． ①求外接圆的面积； ②求内切圆的半径； ③若D，E分别是AB，BC上的点，且DE把分成面积相等的两部分，求DE的最小值． 【答案】（1） （2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互换，以及两角和的正弦公式解三角形即可. （2）先根据余弦定理解三角形，再依据正弦定理求出外接圆的半径，再根据等面积法求出内切圆的半径，根据正弦定理面积公式和余弦定理，在面积相等的情况下，求出最值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得， 因为，所以． 又B为锐角，所以． 【小问2详解】 ①由余弦定理得． 设外接圆的半径为R，由正弦定理得，得， 所以外接圆的面积为． ②设内切圆的半径为r， 因为的面积，所以． ③由题意得，得． 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立．故DE的最小值为． 19. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）讨论在上的值域； （3）求函数在上的零点之和． 【答案】（1）， （2） 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合整体代入法求单调区间； （2）由，得，由，得，对分类讨论得函数的单调区间，进一步得函数值域； （3）将原问题转换成，得或，进一步将零点排列出来即可求解. 【小问1详解】 由题意得． 由， 得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由，得，由，得． 当，即时，是增函数，所以． 当，即时，先增后减，所以． 当，即时，先增后减，所以． 综上，当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 【小问3详解】 ． 由，得，得或， 即或． 因为，所以或或或． 故在上的零点之和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025下学期协作校高一第二次考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册至必修第四册第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 203 2. 若一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 5. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数是关于x的方程，（a，）的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知地在地的北偏东方向上，地在地的南偏东方向上，地在地的北偏西方向上，且地与地相距6km，则地与地之间的距离为（参考数据：取）（ ） A. 8km B. 12km C. 16km D. 9.6km 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形 11. 如图，在直角梯形中，，，，，分别是的中点，是以为直径的半圆弧，点为圆弧上的一个动点，的值可能为（ ） A. B. 2 C. D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知，则______，______． 14. 已知边长为的等边三角形的内心为，，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若z为实数，求x的值； （2）若z为虚数，求x的取值范围； （3）若z为纯虚数，求x的值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到. （1）求点的坐标； （2）若点，求. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角，且． （1）求B． （2）已知，． ①求外接圆的面积； ②求内切圆的半径； ③若D，E分别是AB，BC上的点，且DE把分成面积相等的两部分，求DE的最小值． 19. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）讨论在上的值域； （3）求函数在上的零点之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $