第五章 分式与分式方程 期末专题训练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

2025年贵州省毕节地区北师大版八年级数学下册 分式与分式方程专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 3．若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 5．若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 6．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 7．若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ） A． B． C．−2 D．2 9．若分式的值大于零，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 10．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 11．下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 13．等式成立的条件是 ． 14．填空：，变形的依据是 ． 15．使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ． 16．要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ． 三、解答题 17．约分： (1) (2) (3) (4) 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20． （1）计算：； （2）化简：． 21．如图，老师在黑板上出示了一道分式计算题： 计算： (1)嘉嘉用或代替，计算的结果为．你认为她用的是________，请写出详细的计算过程； (2)在（1）的条件下，若是16的平方根，求的值． 22．解下列分式方程： (1)； (2)． 23． 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 24．某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 25．2024年4月25日，社会各界热切期盼的北京国际汽车展览会在北京举办，展览会场分汽车展区和零部件展区．已知每个汽车展位的面积比每个零部件展位的面积多4平方米，汽车展位每平方米的租金为万元，零部件展位每平方米的租金为万元．用1200平方米建零部件展位的个数是用同样面积建汽车展位个数的倍． (1)求每个汽车展位和零部件展位的面积各为多少平方米； (2)某新能源汽车公司为满足客户的个性化定制需求，向客户展示了其新款车的所有系列车型及高质量的零部件，决定租用汽车展位和零部件展位共18个，且汽车展位的数量不少于零部件展位数量的2倍，该公司如何租用汽车展位和零部件展位才能使总租金最少？ 26．广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵元，且用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同． (1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？ (2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为和，若要使这批荔枝苗的成活率不低于，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全解全析 一、单选题 1．B 【分析】本题考查了分式的识别，解题关键是掌握分式的概念． 根据分式的概念，对四个式子逐一分析再作判断． 【详解】解：是多项式，不是分式，故A不符合； 是分式，故B符合； 是多项式，不是分式，故C不符合； 是单项式，不是分式，故D不符合， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式． 【详解】解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数，分母不为0，即可解答． 【详解】解：由有意义，得， 解得， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法，设，整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选D． 7．B 【分析】利用分离常数法得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知分离常数法是解题的关键． 8．A 【分析】先根据已知式子推出，则． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键． 9．A 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的值，根据题意得到是解题的关键． 10．B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 11．B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 12．A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 二、填空题 13． 【分析】依据等式的性质解题即可． 【详解】解：从左到右的变形，是分子与分母同时乘以了a 故当a≠0时，此等式成立， ∴a≠0， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 14．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可． 【详解】解： ， 依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 15． 【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质． 16． 【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键． 【详解】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是， 故答案为：． 三、解答题 17．(1)；(2)； (3)；(4)． 【分析】（1）公因式为，再约分即可； （2）公因式为，再约分即可； （3）公因式为，再约分即可； （4）公因式为，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【点睛】本题考查约分，掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 18．(1)； (2)． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 19．(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 20．（1）1；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂，利用分式的混合运算法则化简， （1）根据二次根式的混合运算，零指数幂负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行化简即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 21．(1),见解析 (2) 【分析】题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将和分别代入计算即可得到答案； 根据题意得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， 原式； 当时， 原式； 故答案为： ； （2）解： 是16的平方根， ， ， ， ， . 22．(1) (2)（增根），原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，经检验是原方程的解； （2）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，当时，所以是分式方程的增根，原方程无解． 【详解】（1）解： 解得， 经检验是原方程的解； （2）解： ， 解得， 当时， 是分式方程的增根，原方程无解． 23． 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 24．(1)每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元 (2)50 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元，根据题意可列分式方程求解即可； （2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案． 【详解】（1）解：设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元， 由题意得：     解得：， 经检验是原分式方程的解， 则：． 答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元； （2）解：设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件， 由题意得： ， 解得：． 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是50件． 25．(1)每个汽车展位的面积为24平方米，每个零部件展位的面积为20平方米 (2)当该公司租用12个汽车展位，6个零部件展位时总租金最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每个零部件展位的面积为平方米，则每个汽车展位的面积为平方米，利用展位数量总面积每个展位的面积，结合用1200平方米建零部件展位的个数是用同样面积建汽车展位个数的1.2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即每个零部件展位的面积），再将其代入中，即可求出每个汽车展位的面积； （2）设租用个汽车展位，则租用个零部件展位，根据租用汽车展位的数量不少于零部件展位数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设总租金为万元，利用总租金每个展位的租金租用数量，可列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每个零部件展位的面积为平方米，则每个汽车展位的面积为平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每个汽车展位的面积为24平方米，每个零部件展位的面积为20平方米； （2）解：设租用个汽车展位，则租用个零部件展位， 根据题意得：， 解得：， 设总租金为万元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时． 答：当该公司租用12个汽车展位，6个零部件展位时总租金最少． 26．(1)每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元． (2)应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元． 【分析】此题考查了分式方程、一次函数的应用，准确列出方程和一次函数是关键． （1）设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元，用元购买挂绿荔枝苗的株数与用元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．据此列方程并解方程检验即可； （2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株．列出函数解析式并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是元， 根据题意，得，解得， 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． （元）． 答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元． （2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗株． 根据题意，得 ． ， 随x的增大而增大． 根据题意，得， 解得， 当时，最小，最小， （株）， 答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$