2025年江苏省常州四中中考数学模拟试卷　

2025年江苏省常州四中中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在0、1、、中，最大的实数是(    ) A. 0 B. 1 C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    ) A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体 4.如图4个图形中，中心对称图形的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.若抛物线的顶点为，该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，等腰中，，，轴，AB交y轴于点E，且E是AB的中点．反比例函数的图象经过点A，交BC于点若，则k的值是(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.的立方根是______. 10.分解因式：______. 11.5G信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为          . 12.在数轴上与表示的点距离3个单位长度的点表示的数是______. 13.圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是______. 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点B的坐标是______. 15.如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则与四边形ADEC的面积比是______. 16.如图，DE是的中位线，点F在BD上，连接EF并延长，与CB的延长线交于点若，则______. 17.如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若，，则DH的长为______. 18.如图，中，，，D、E分别是BC、AC边上的动点，且，连接BE，则的面积的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 20.本小题8分 解方程和不等式组： ； 解不等式组： 21.本小题8分 如图，▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且，连接AE， 求证： 连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分． 22.本小题8分 寒假期间观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评分情况，小军同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名对电影评分十分制进行收集、整理、描述、分析.所有观众的评分均高于8分电影评分共分成四组：；；；，下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：，，，9，9，，，，，，，，，，，，，10，10， 下午20名观众的评分在C组的数据是：，，，，，，， 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 中位数 b 众数 a 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______. 根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时段的观众对电影的评分较高？说明理由写出一条理由即可； 上午有800名观众，下午有1000名观众参加了此次评分调查，估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 23.本小题8分 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD的对角线相等；③四边形ABCD的对角线互相垂直．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中． 搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是______； 搅匀后先从中任意抽出1支签不放回，再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是菱形的概率． 24.本小题8分 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 25.本小题8分 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点、B，与反比例函数的图象交于点C，且，点D在y轴的正半轴上，且，连接 求b、k的值； 求的面积． 26.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足为常数，，则称点是点的“k值关联点”.例如，点是点的“2值关联点”. 若点是点的“k值关联点”，则______且______； 如图，设点是点的“k值关联点”. ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值. 27.本小题10分 如图，已知中，，，，，垂足为D，点E是线段CD上一点不与点C、D重合，连接AE并延长交BC于点 求CD的长； 若点F是BC的中点，求的值； 若是等腰三角形，求CF的长. 28.本小题10分 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 求抛物线的解析式与直线l的解析式； 若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； 若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， 最大的数是： 故选： 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，负整数指数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用． 利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算即可得出结果． 【解答】 解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选： 3.【答案】A  【解析】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为长方体． 故选： 根据三视图的定义判断即可． 本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 4.【答案】C  【解析】解：前3个图形是中心对称图形，第4个图形不是中心对称图形， 故选： 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：， ， 故选： 根据圆周角定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：，实际用时为： 所列方程为：， 故选： 7.【答案】D  【解析】解：由题意，抛物线与y轴的交点位于x轴上方， ，故B错误． 又抛物线的顶点为， 可设抛物线为 ， ， ，即，故A错误． 顶点为， 当时，，故D正确． ，， ，故C错误． 故选： 依据题意，由抛物线与y轴的交点位于x轴上方，故可判断B；又抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，即，故，，结合，故可判断A、C；由顶点为，从而当时，，故可判断 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8.【答案】C  【解析】解：过A作于M，交x轴于N， ，， ， ， 轴，E是AB的中点， ， 的横坐标为2，C的横坐标为6， ， 的横坐标为5， 设D点的坐标为，则， 反比例函数的图象经过点A，交BC于点 ， 解得：， ， 故选： 过A作于M交x轴于N，则轴，根据勾股定理得到，设D点的坐标为，则，即可得到，解方程求得M的值，进而求得k的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对立方根的应用，注意：一个负数有一个负的立方根． 根据立方根的定义求出即可． 【解答】 解：的立方根是 故答案为： 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查提公因式法与公式法分解因式． 本题应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】 解：， ， 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】 解： 故答案为： 12.【答案】1或  【解析】解：在数轴上与表示的点距离3个单位长度的点表示的数是或 故答案为1或 此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧． 注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉任何一种情况． 把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的思想． 13.【答案】  【解析】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意得，圆锥底面周长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长为， ， 故答案为： 先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的弧长公式即可求出圆心角度数． 本题考查了圆锥的相关计算，解决本题的关键是准确找出侧面展开图中扇形的弧长和半径． 14.【答案】  【解析】解：， ，， 绕点O按逆时针方向旋转得到，，， 故答案为： 作出图形，根据旋转变换的性质求出OA，AB的长度，然后写出点B的坐标即可． 本题考查了坐标与图形的变化-旋转，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，作出图形更形象直观，容易理解． 15.【答案】  【解析】解：，， ∽， ， 与四边形ADEC的面积比是， 故答案为： 通过证明∽，可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：是的中位线， ，， ∽， ， ， ， ， 故答案为： 根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，正确记忆各知识点是解题关键． 17.【答案】3  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， 四边形CEFG是正方形， ，， ， ，， ， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 证明∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到∽ 18.【答案】  【解析】解：过点A作于H，过点E作交BA的延长线于设， ，，， ，， ， ， ，， 在中，， ， ，， ， ， ∽， ， ， 整理得， ， 时，y的值最小，最小值为， 的面积的最小值， 过点A作于H，过点E作交BA的延长线于设，利用相似三角形的性质求出y的最小值，可得结论． 本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 19.【答案】解：原式 ， 当，时，原式  【解析】原式利用单项式乘多项式法则，平方差公式计算，去括号合并同类项得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 20.【答案】；    【解析】， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验，把代入， 分式方程的解为； ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； 先分别求出两个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分即可． 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ， ， 在与中 ， ≌， ； 证明：连接AC交BD于点O，连接AF、 由得，≌， ，， ， ， 四边形AECF为平行四边形， 、EF互相平分．  【解析】证明≌，即可推出 连接AF、CE，证明四边形AECF为平行四边形即可． 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 22.【答案】；；15；   上午的观众对电影的评分较高，理由见解析；   1230名．  【解析】解：在上午20名学生的评价评分中，出现的次数最多，故众数； 把下午20名学生的评价评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是：，，故中位数； ，即； 故答案为：；；15； 上午的观众对电影的评分较高，理由如下： 因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高； 名， 答：估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1230名． 分别根据众数和中位数的定义可得a与b的值，用“1“分别减去其它三组所占百分比可得m的值； 根据平均数、众数和中位数的定义解答即可； 利用样本估计总体即可． 本题考查扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】 ； 画树状图如图： 共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是菱形的结果有2种， 四边形ABCD一定是菱形的概率为  【解析】解：搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是， 故答案为：； 画树状图如图： 共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是菱形的结果有2种， 四边形ABCD一定是菱形的概率为 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是菱形的结果有2种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24.【答案】解：设甲组有x名工人，则乙组有名工人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．  【解析】设甲组有x名工人，则乙组有名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲组的人数，再将其代入中，即可求出乙组的人数． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25.【答案】解：将点代入一次函数， 得， 解得， ， ， 过点C作轴于点H，如图所示： 则， ，， ≌， ，， ， 将C点坐标代入反比例函数解析式， 得 ， ， ，   【解析】将点A坐标代入一次函数解析式，求出b的值，再证≌，易得，，求出C点坐标，即可求出k的值； 根据，求出BD，再求的面积即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的综合，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出点C坐标是解决本题的关键． 26.【答案】1，1；   ①，； ②，或，  【解析】点是点的“k值关联点”， ， 解得， 故答案为：1，1； ①点是点的“k值关联点”， ， ， 当轴， ， 解得， ； ②点是点的“k值关联点”， ， ， 点Q在直线上， 过P作轴，过A作轴交PM于M，当Q在P下方时，如图： ，， ，， ， 以M为圆心，5为半径作，直线与交于与M在AP的同侧， ， ，此时Q满足条件， 由可得， 解得此时Q，M不在AP的同侧，舍去或， ； 当在P上方时，如图： 同理可得，， ， 解得舍去或， ； 综上所述，，或， 由点是点的“k值关联点”，得，即可解得答案； ①由点是点的“k值关联点”，可得，又当轴，知，解得，故； ②由点是点的“k值关联点”，知，点Q在直线上，过P作轴，过A作轴交PM于M，当Q在P下方时，求出，，以M为圆心，5为半径作，直线与交于与M在AP的同侧，此时Q满足条件，可得，解出k的值可得Q的坐标；当在P上方时，同理可得， 本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，圆周角定理，两点间的距离公式等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 27.【答案】；  ；   3或或  【解析】解：中，，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：， ； 过点F作作于点P，如图1所示：   ， ， 点F是BC的中点， 是的中位线， ， ，， ， 又， ∽， ， ， ， 在中，； 当是等腰三角形，有以下三种情况： ①当时，过点F作于点K，如图2所示： ， ，， ，， ， 是的平分线， 又，， 设， ， ，， ∽， ， ， 解得：， ； ②当时，过点F作于点M，如图3所示： ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，， ∽， ， ， ； ③当时，过点E作于点N，如图4所示： ， ， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又， ∽， ， ， 综上所述：若是等腰三角形，则CF的长是3或或 先由勾股定理求出，进而由三角形的面积公式即可求出CD的长； 过点F作作于点P，证明FP是的中位线得，证明和相似得，进而得，然后在中，根据正切函数定义即可得出的值； 当是等腰三角形，有以下三种情况：①当时，过点F作于点K，证明AF是的平分线，设，则，证明和相似得，由此可得出CF的长；②当时，过点F作于点M，证明，进而得，证明和相似得，由此即可得出CF的长；③当时，过点E作于点N，证明得，进而得，EN是的中位线，则，再证明和相似，由此即可得出CF的长，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 28.【答案】解：抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， 直线l经过、， 设直线l的解析式为， 则， 解得，， 直线l的解析式为； 如图1中，过点P作轴交AD于点设，则 ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，PF的值最大，最大值为， 此时的面积的最大值为， 如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AT，则， 设DT交y轴于点Q，则， ， 直线DT的解析式为， ， 作点T关于AD的对称点， 则直线的解析式为， 设交y轴于点，则， ， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或  【解析】由题意设抛物线的解析式为，再利用待定系数法解决问题即可． 如图1中，过点P作轴交AD于点设，则因为，所以PF的值最大值时，的面积最大，求出PF的最大值即可． 如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AT，则，设DT交y轴于点Q，则，作点T关于AD的对称点，设交y轴于点，则，分别求出直线DT，直线的解析式即可解决问题． 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$