专题08 函数综合4大题型-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（吉林专用）

专题09 函数综合 题型概览 题型01函数 题型02一次函数综合 题型03反比例函数综合 题型04二次函数综合 ( 题型01 )函数 1.（2025·吉林长春·二模）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   3.（2025·吉林长春·二模）如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满水杯．现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，，均是的函数，它们随着的变化而变化的过程可以描述为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·吉林长春·二模）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 ( 题型0 2 )一次函数综合 1.（2025·吉林吉林·二模）若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 2.（2025·吉林长春·二模）点、在一次函数的图象上，则 （用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C． D．或 4.（2025·吉林长春·二模）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 5.（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 6.（2025·吉林长春·二模）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为_____千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 7.（2025·吉林长春·二模）据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 8.（2025·吉林长春·二模）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ； (2)根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m． 9.（2025·吉林长春·二模）图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104    (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； (2)求y与x之间的函数解析式； (3)某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 10.（2025·吉林长春·二模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 (1)试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； (3)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 11.（2025·吉林四平·二模）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 12.（2025·吉林长春·二模）小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间（秒）之间的函数图象如图所示． (1)的值为______； (2)当汽车在第一个路口出发后，求与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 13.（2025·吉林长春·二模）小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 14.（2025·吉林吉林·二模）在特定的冬季时段，吉林雾凇厚度变化呈现出阶段性特征．某日吉林市雾凇岛的某棵垂柳上的雾凇厚度（单位：）与时刻之间的关系如图所示．为凝华期，为稳定期，为消融期．根据图象回答下列问题： (1)凝华期雾凇厚度增长速度为______． (2)求出消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式（不要求写出的取值范围）． (3)求时该垂柳上的雾凇厚度． 15.（2025·吉林长春·二模）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数关系如图②所示． (1)军车的速度为________，的值为________； (2)求大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； (3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程的取值范围． 16.（2025·吉林松原·二模）某快递物流总站送货，快递车出发小时后，因发现遗漏重要快递便驾小车沿相同路线追赶．已知快递车行驶的速度是千米/小时，小车行驶的速度是千米/小时． (1)求小车出发后多少小时追上快递车？ (2)如图，图中，分别表示小车、快递车离开物流总站的路程（千米）与小车行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求所在直线的解析式； (3)假设小车需要在1小时内追上快递车，因此出发追赶时通知快递车减速匀速行驶，求快递车至少减速至多少？ 17.（2025·吉林吉林·二模）已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 18.（2025·吉林松原·二模）甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止．当甲车回到A地时，乙车恰好到达B地，并停止．已知甲车的速度为，设甲车出发后，甲、乙两车之间的距离为，图中的折线表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离是______，乙车的速度是______； (2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式； (3)当两车相距时，直接写出x的值． 19.（2025·吉林长春·二模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为___________； (2)求出段的函数表达式； (3)求小明距地时所用的时间． 20.（2025·吉林长春·二模）如图，是一段遥控车直线的双车跑道，甲乙两遥控车分别从从、两处同时出发，沿轨道向匀速行驶，秒后甲车先到达处，两遥控车速度之差为米秒．设两遥控车行驶的时间为（秒），两遥控车之间的距离为（米），根据所给函数图象（图2）解答问题． (1)________，________． (2)求相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两遥控车之间的距离不超过米时，直接写出行驶时间的取值范围． 21.（2025·吉林延吉·二模）已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 22.（2025·吉林延边·二模）在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求小明、小红两人的速度． (2)求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． (3)请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 23.（2025·吉林松原·二模）某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． ( 题型03 )反比例函数综合 1.（2025·吉林长春·二模）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，若点、均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3.（2025·吉林吉林·二模）已知一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则该汽车通过该路段至少需要 ． 4.（2025·吉林吉林·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（    ） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为醉驾状态 D．当时，该驾驶员为非酒驾状态 5.（2025·吉林长春·二模）已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的正负 6.（2025·吉林长春·二模）已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7.（2025·吉林长春·二模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点，是直线与双曲线的交点，线段及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，双曲线经过点，且，则的值为（　　） A．12 B． C．24 D． 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11.（2025·吉林长春·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 12.（2025·吉林四平·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 13.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 14.（2025·吉林长春·二模）如图，点、点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，连结，与相交于点．若点为的中点，的面积为2，则（阴影）的面积为（   ） A．16 B．8 C．6 D．4 15.（2025·吉林松原·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 16.（2025·吉林松原·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 17.（2025·吉林吉林·二模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)直接写出的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． 18.（2025·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 19.（2025·吉林延吉·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 题型0 4 )二次函数综合 1.（2025·吉林长春·二模）抛物线与直线的交点情况是（　　） A．有两个交点 B．有且只有一个交点 C．至少有一个交点 D．没有交点 2.（2025·吉林长春·二模）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的值可以是 ．（写出一个即可）． 3.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 4.（2025·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）经过点、．点是这条抛物线上一点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，抛物线在、两点之间（包含、两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，求的取值范围； (4)点是坐标平面内一点，当时，四边形的面积被抛物线的对称轴分成两部分，直接写出的值． 6.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； (3)将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； (4)以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 7.（2025·吉林吉林·二模）如图，抛物线（c是常数）经过点．点A在此抛物线上，过点A作轴，轴，以，为一组邻边作矩形．点A的横坐标为m（），点B的纵坐标为，点D的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点A和点B重合时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 8.（2025·吉林吉林·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连结、． (1)求此抛物线对应的函数关系式． (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围． (3)当的边与x轴平行时，求的面积． (4)连接，当的面积等于此抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出m的值． 9.（2025·吉林松原·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)抛物线的解析式为________； (2)点E是直线下方的抛物线上的动点，直接写出的面积的最大值：______； (3)若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (4)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 10.（2025·吉林延吉·二模）已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． (1)求抛物线解析式； (2)连接，当与轴平行时，求点坐标； (3)抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 11.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是___________； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连结，以为边构造矩形．当，且抛物线的顶点到所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 12.（2025·吉林长春·二模）已知抛物线的顶点坐标为，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面中一点（、不重合），横坐标为，轴，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连结． (1)求、的值； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)延长至点使得，连结． ①若点在第四象限，且，则当抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为时，求的值． ②设直线与抛物线的交点为，点在抛物线对称轴右侧，连接，当点到直线的距离为点到直线距离的倍时，直接写出的值． 13.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）． ①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值； ②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值． 14.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. (1)求此抛物线对应的函数关系式： (2)当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； (3)当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： (4)作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 15.（2025·吉林长春·二模）抛物线经过点、． (1)求这条抛物线对应的函数解析式． (2)当时，有最大值为7，求的值． (3)点在抛物线上，点的横坐标为． ①抛物线与轴的交点为，过点作平行于轴，交轴于点，与此抛物线的另一交点为，连接，，点在轴下方，且，求的值． ②点也在抛物线上，其横坐标为，设此抛物线上、两点之间的图象为（含、两点）．若点与点关于原点成中心对称，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边与坐标轴分别平行，当矩形的边与图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 16.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）． ①当时，求的值； ②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围． 17.（2025·吉林四平·二模）抛物线（为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．点在该抛物线上且在轴上方，设其横坐标为．过点作轴的平行线与直线交于点两点的距离记为． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当随着的增大而减小时，直接写出的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 18.（2025·吉林松原·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； (3)过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 19.（2025·吉林松原·二模）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 20.（2025·吉林延边·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是_________； (3)当的长为2时，求点A的坐标； (4)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 21.（2025·吉林长春·二模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 22.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当点A恰好落在y轴上时，求△ABC的面积； (3)当该二次函数的图象在△ABC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当点O恰好落在△ABC内部时，直接写出m的取值范围． 23.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，当点P不在x轴上时，作点P关于点O的对称点C，以为邻边构造．设抛物线的顶点为E． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点E恰好落在边上时，求m的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当点E在内部时，过点E作的平行线交于点F、交于点G，作的平行线交于点H、交于点K，当四边形与四边形的面积相等时，直接写出m的值． 24.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点，、，当点不在轴上时，连结，，，得到．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求证：是等腰直角三角形． (3)当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； (4)当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数综合 题型概览 题型01函数 题型02一次函数综合 题型03反比例函数综合 题型04二次函数综合 ( 题型01 )函数 1.（2025·吉林长春·二模）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满水杯．现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，，均是的函数，它们随着的变化而变化的过程可以描述为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵满满一水壶水可以装满水杯，现在水壶中还有一半的水， ∴现在水壶中的水可以装满个水杯， ∵设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒）， ∴当与相等时就停止， 即减小时，增大，当水杯中装满水时水壶就停止倒水， 故选． 4.（2025·吉林长春·二模）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意； D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意； 故选：C ( 题型0 2 )一次函数综合 1.（2025·吉林吉林·二模）若点在一次函数的图象上，则代数式 ． 【答案】 【详解】解：点在直线上， ，即， 故答案为：． 2.（2025·吉林长春·二模）点、在一次函数的图象上，则 （用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 【答案】＜ 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：＜． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴的解集为， 故选：B． 4.（2025·吉林长春·二模）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，该函数图象经过第一、三、四象限， 当时，该函数图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C． 5.（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【详解】（1）解：如图． （2）观察发现描出的各点在同一条直线上， 设这条直线的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：. 这条直线对应的函数表达式为； 检验：当时，； 当时，． 表中所有数据都满足函数，所以这些点在同一条直线的图象上； （3）∵把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm， ∴每增加一个型碗，高度增加为（）， ∴个型碗增加的高度为（）， ∴一个型碗的高度为（）， ∵由（1）可知型碗满足函数， ∴把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，这些碗的总高度为（）． 6.（2025·吉林长春·二模）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为_____千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【详解】（1）解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； （2）解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； （3）解：途中需要充电，理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 7.（2025·吉林长春·二模）据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． (1)填空：无人机上升时的速度是________，________； (2)求段的函数表达式； (3)无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 【详解】（1）解：无人机上升时的速度是_，， 故答案为：8；17； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； （3）解：令，即， ． 答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2． 8.（2025·吉林长春·二模）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ； (2)根据以上判断，当时，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为 （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 9.（2025·吉林长春·二模）图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104    (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； (2)求y与x之间的函数解析式； (3)某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）由（1）中函数图象猜测y与x之间满足一次函数关系， 设， 代入得：， 解得：， ∴， 代入其余数据进行验证，均满足该关系式， ∴y与x之间的函数解析式为； （3）当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时，即， 解得：， 则温差， 当时， 解得：， ∵数值相差的最大值为16，， ∴随x的增大而增大， ∴； 当摄氏温度大于其对应的华氏温度时，即， 解得：， 则温差， 当时， 解得：， ∵数值相差的最大值为16，， ∴随x的增大而减小， ∴； ∴当任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16时，， ∴该温度区间的最大温差是摄氏度． 10.（2025·吉林长春·二模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 (1)试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； (3)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 【详解】（1）解：只要描点正确，连线和不连线都给分； （2）解：在同一条直线上； 设函数关系式为，（）由题意得： 解得 ∴y与x的函数关系式 （3）解： 解得 答：此时单层部分的长度为 11.（2025·吉林四平·二模）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 12.（2025·吉林长春·二模）小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间（秒）之间的函数图象如图所示． (1)的值为______； (2)当汽车在第一个路口出发后，求与的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； (3)当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 【详解】（1）解：； （2）设汽车从第一个路口出发后，与的函数关系式为（）， ， 的图象经过和， ，解得， ． （3）能，当时，， 解得：， （秒）， ， 小王可以直接通过第二个路口． 13.（2025·吉林长春·二模）小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； （2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合实际， ∴只有当水温为时，油和水继续加热， ∴， 解得， ∴加热的时间为分钟． 14.（2025·吉林吉林·二模）在特定的冬季时段，吉林雾凇厚度变化呈现出阶段性特征．某日吉林市雾凇岛的某棵垂柳上的雾凇厚度（单位：）与时刻之间的关系如图所示．为凝华期，为稳定期，为消融期．根据图象回答下列问题： (1)凝华期雾凇厚度增长速度为______． (2)求出消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式（不要求写出的取值范围）． (3)求时该垂柳上的雾凇厚度． 【详解】（1）解：由函数图象可知，凝华期雾凇厚度增长了， 则凝华期雾凇厚度增长速度为， 故答案为：2． （2）解：设消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 所以消融期雾凇厚度与时刻的函数解析式为． （3）解：将代入得：， 答：时该垂柳上的雾凇厚度为． 15.（2025·吉林长春·二模）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数关系如图②所示． (1)军车的速度为________，的值为________； (2)求大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； (3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程的取值范围． 【详解】（1）解：军车的速度为， 大巴车的速度为， ∴， 故答案为：60，2； （2）解：由（1）知大巴车的速度为， 结合图象，得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）解：部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：， 此时， ∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地， ∴， 解得， 即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为， 此时， 结合图象可知，． 16.（2025·吉林松原·二模）某快递物流总站送货，快递车出发小时后，因发现遗漏重要快递便驾小车沿相同路线追赶．已知快递车行驶的速度是千米/小时，小车行驶的速度是千米/小时． (1)求小车出发后多少小时追上快递车？ (2)如图，图中，分别表示小车、快递车离开物流总站的路程（千米）与小车行驶的时间（小时）的函数关系的图象．试求所在直线的解析式； (3)假设小车需要在1小时内追上快递车，因此出发追赶时通知快递车减速匀速行驶，求快递车至少减速至多少？ 【详解】（1）解：设小车行驶的时间为小时，则快递车行驶的时间为小时． 根据题意，得， 解得， ∴小车出发后1.5小时追上快递车． （2）（2）∵小车出发后小时追上快递车，与物流总站相距千米． ∴点的坐标是． 由题意，得点A的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴所在直线的解析式为． （3）解：设快递车速度减速至， 则， 解得， ∴快递车至少减速至． 17.（2025·吉林吉林·二模）已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 故答案为：2，6； （2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 由题意得经过和， ∴， 解得， ∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为； （3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 乙车的速度为， ∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 当时，两车相距时，得， 解得， 当，两车相距时，得， 解得． 答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距． 18.（2025·吉林松原·二模）甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止．当甲车回到A地时，乙车恰好到达B地，并停止．已知甲车的速度为，设甲车出发后，甲、乙两车之间的距离为，图中的折线表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离是______，乙车的速度是______； (2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式； (3)当两车相距时，直接写出x的值． 【详解】（1）解：由图象可得， 、两地的距离是， 乙车的速度为：， 故答案为：600，75； （2）解：， 点的实际意义：在两车行驶4小时时，甲车到达地，此时甲乙两车的距离是； 甲车行驶4小时时，乙车行驶了， 当甲车与乙车相遇时，又行驶了， ，，， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， ， 解得， 即线段所表示的与之间的函数表达式为； （3）解：当时， ， 解得； 当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 由上可得，当两车相距时，的值是或或． 19.（2025·吉林长春·二模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为___________； (2)求出段的函数表达式； (3)求小明距地时所用的时间． 【详解】（1）解：由图象可得，从地到地的距离为：， 故答案为：1500； （2）解：由图象可得，小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； （3）解：令，则， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 20.（2025·吉林长春·二模）如图，是一段遥控车直线的双车跑道，甲乙两遥控车分别从从、两处同时出发，沿轨道向匀速行驶，秒后甲车先到达处，两遥控车速度之差为米秒．设两遥控车行驶的时间为（秒），两遥控车之间的距离为（米），根据所给函数图象（图2）解答问题． (1)________，________． (2)求相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当两遥控车之间的距离不超过米时，直接写出行驶时间的取值范围． 【详解】（1）解：∵两遥控车速度之差为米秒， ∴根据图可知，（秒）， 则， 故答案为：，； （2）解：设相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式， 把，代入得：， 解得：， ∴相遇后两遥控车之间的距离与时间的函数解析式为； （3）解：设当时的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴当时的解析式为， ∵两遥控车之间的距离不超过米， ∴， 解得：， ∴当两遥控车之间的距离不超过米时，行驶时间的取值范围为． 21.（2025·吉林延吉·二模）已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值． 【详解】（1）解：甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； （2）解：乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为， 由（1）可得：函数过，， ∴， 解得：， ∴乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为：； （3）解：由（1）知，， 当时，设， 把，代入， 得，，解得，， ∴， ∴，，不合题意，t不存在； 当时，由（2）知，， 若，则， 若，则； 当时，， ∴，． 故甲乙相距时甲行驶的时间为： 、、． 22.（2025·吉林延边·二模）在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求小明、小红两人的速度． (2)求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． (3)请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【详解】（1）解：根据图象，得到，小红走完用时间为， 故小红的速度为：； 根据图象，得到，小明走完用时间为， 故小明的速度为：． （2）解：根据题意，小明从地前往地用时间为， 故直线经过点和， 设解析式， 故 ， 解得， 故解析式为． （3）① ， 解得 ； ②，解得 ； ③ ， 解得 . 综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意. 23.（2025·吉林松原·二模）某实验基地装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点的距离为，记；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时（含停顿时间），关于的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题： (1)轨道的长度为______，的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 ． (2)滑块从点A到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，请直接写出的值． 【详解】（1）解：由图可知：当时，,， ； 根据图2可知：当时，是滑块右端与重合后，再次从右向左滑动，距离的时候， 可知返回时间为， 一半的时间为， 此时； 滑块从右向左匀速滑动的速度为； 故答案为：91，19.5，6； （2）解：当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 当时， 设，将，代入得， ，解得， ； 综上，； （3）解：同（2）方法可得滑块从点到点A的滑动过程中， 与的函数关系式为， ①当时，令，解得； ②当时，令，解得； ③当时，令，解得； ④当时，令，解得； 综上，或或或． ( 题型03 )反比例函数综合 1.（2025·吉林长春·二模）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，若点、均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：反比例函数， ∴函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，当时，，当时，， 点、均在反比例函数（是常数，）的图象上， A. 当时，则，，在第三象限，，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，则，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，则，∴，∴，故该选项正确，符合题意；     D. 当时，在第一象限， ，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3.（2025·吉林吉林·二模）已知一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则该汽车通过该路段至少需要 ． 【答案】/ 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， 则反比例函数的解析式是， 把代入解析式得， 则当汽车通过该段路段的时间最少是． 故答案为：． 4.（2025·吉林吉林·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（单位：），的阻值随呼气酒精浓度（单位：）的变化而变化如图1，血液酒精浓度（单位：）与呼气酒精浓度的关系见图2．下列说法错误的是（    ） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为醉驾状态 D．当时，该驾驶员为非酒驾状态 【答案】D 【详解】解：A.该选项说法正确，故不符合题意； B. 该选项说法正确，故不符合题意； C. 当时，，,所以该驾驶员为醉驾状态，该选项说法正确，故不符合题意； D. 当时，,所以该驾驶员为酒驾状态，该选项说法错误，故符合题意； 故选：D． 5.（2025·吉林长春·二模）已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】A 【详解】解：∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选A． 6.（2025·吉林长春·二模）已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【详解】解：反比例函数， ∴函数图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，当时，，当时，， 已知和点两点在反比例函数的图象上， 当时，，则，故A选项正确，符合题意； 当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意； 当时，，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 7.（2025·吉林长春·二模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 8.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点，是直线与双曲线的交点，线段及其下方的双曲线围成的封闭区域为G．图形G内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵点，是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴； ∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且； 所以，当时，，， ∴， ∴点是图形G内的整数点； 同理可得，当时的整数点是； 当时的整数点是； 当时，无整数点； 综上，符合条件的整数点共有3个， 故选：B． 9.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，双曲线经过点，且，则的值为（　　） A．12 B． C．24 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作于D， ∵A点的坐标为， ∴菱形的边长， ∵， ∴， 解得， 在中，根据勾股定理得，， ∴点C的坐标为， ∵函数的图象经过C点， ∴． 故选：B． 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点且垂直于轴的直线， 将代入， 解得：，故， 将直线绕点逆时针旋转后， 直线， 联立， 解得：或， ， ， ，由图可知：， ， 解得：， 故选：C． 11.（2025·吉林长春·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，作轴于D，轴于E， ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设A点坐标为，得出，， ∴C点坐标为， ∵， ∴点C在比例函数图象上． 故选：D． 12.（2025·吉林四平·二模）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【详解】任务1：设 I 关于 R 的函数表达式为 把 ，代入，得 ∴I 关于 R 的函数表达式为 任务2：由图 3 得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流， 当代入，得到，解得 把代入，得到，解得 13.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． （2）解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 14.（2025·吉林长春·二模）如图，点、点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，连结，与相交于点．若点为的中点，的面积为2，则（阴影）的面积为（   ） A．16 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】解： 如图，过点作轴，交轴于点， ∵点为的中点，的面积为2， 的面积等于的面积为2， ， , ， ， 由反比例函数图象的性质可得， ， 故选：C． 15.（2025·吉林松原·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； （2）解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 16.（2025·吉林松原·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得，解得， 反比例函数的解析式为； 把代入，可得， ， 把，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， 如图，当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，即轴，且， 设点，则， 则可得， 整理得， 解得， ，， 即点D的坐标为或 17.（2025·吉林吉林·二模）如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． (1)直接写出的取值范围； (2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． 【详解】（1）解：∵、， ∴正方形的边长为2， ∴点D、C的坐标分别为：、， 当函数过点A时，则， 当函数过点C时，则， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴， ∴， 即反比例函数解析式为， 边所在的直线为， 当时，， ∴反比例函数与边的交点的坐标为． 18.（2025·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵直线与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 19.（2025·吉林延吉·二模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． ( 题型0 4 )二次函数综合 1.（2025·吉林长春·二模）抛物线与直线的交点情况是（　　） A．有两个交点 B．有且只有一个交点 C．至少有一个交点 D．没有交点 【答案】D 【详解】解：将代入，得， 整理得，， ， 抛物线与直线没有交点． 故选：D． 2.（2025·吉林长春·二模）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的值可以是 ．（写出一个即可）． 【答案】2（大于1即可） 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴无实数根， ∴， 解得，， ∴的值可以是2． 故答案为：2（大于1即可）． 3.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 4.（2025·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 5.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）经过点、．点是这条抛物线上一点，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，抛物线在、两点之间（包含、两点）的图象的最低点到轴的距离比最高点到轴的距离大1，求的取值范围； (4)点是坐标平面内一点，当时，四边形的面积被抛物线的对称轴分成两部分，直接写出的值． 【详解】（1）解：将、代入得 ， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为， （2）解：依题意， 解得： （3）解：当时， 解得：或（舍去） 当时，，符合题意， 当时，， 解得：或（舍去） 综上所述，的取值范围为或或； （4）解：∵、 ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入得 解得： ∵点是这条抛物线上一点，其横坐标为．则， ∴ ∴ 设直线的解析式为代入得， 解得： ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵顶点坐标为，抛物线对称轴为直线 ∴当时，，如图，此时对称轴不经过，不合题意 当时，如图，设分别交于点，交于点，延长分别交于点， ∵四边形的面积被抛物线的对称轴分成两部分， ∴或 ∵ ∴ ∵分别到的距离为 ∴ 设，则 设，则 ∵ 设的距离为， 即 ∴ ∴ 如图，过点作，设交轴于点， ∴ ∴ ∴ 即 解得： 当时，同理可得 ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 6.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； (3)将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； (4)以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵点P 在该抛物线上，横坐标为m， ∴， ∵的面积被x轴平分， ∴是的中线， ∵点A的坐标为． ∴， 整理得， ， ∴， 故； （3）解：∵设点 A 的坐标为，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B， ∴直线的解析式为， 依题意，， ∴顶点坐标为， 则关于对称轴对称的点为， ∵将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，且图象G与直线只有一个公共点时， 当经过点，得， 解得； 当经过点，得， 解得， 当时，， ∴直线的解析式为， 此时点， 直线与图象G之间无交点， ∴， 当点P在直线的下方， 则， 解得， 当经过点，得， 整理得， 解得或， 当直线在点的上方，点Q的下方（或经过点Q）时， 则； ∵， ∴， 综上：故图象G与直线只有一个公共点时，则或且或或； （4）解：∵以为对角线作矩形，轴， ∴当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时， 则整理得， 解得或， 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而增大，不符合题意； 综上：抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时， m的取值范围为或或． 7.（2025·吉林吉林·二模）如图，抛物线（c是常数）经过点．点A在此抛物线上，过点A作轴，轴，以，为一组邻边作矩形．点A的横坐标为m（），点B的纵坐标为，点D的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点A和点B重合时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点A在此抛物线上，点A的横坐标为m， ∴，， 当时，， 解得：（舍去），． 当时，， 解得：（舍去），． ∴的值为或． （3）解：根据题意，，，， 当时， 如图，当在函数图象上时，， 解得：，（舍去）， 如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值不全是y随x的增大而增大时，故不符合题意； 当时，点A和点B重合， 故当时，抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大，符合题意； 如图，当时，抛物线没有在矩形内的部分，不符合题意； 当时， 当时，点A和点B重合， 故如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值y随x的增大而增大，符合题意； 如图，当时，抛物线在矩形内的部分的函数值不全是y随x的增大而增大，不符合题意； 综上，或． 8.（2025·吉林吉林·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连结、． (1)求此抛物线对应的函数关系式． (2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围． (3)当的边与x轴平行时，求的面积． (4)连接，当的面积等于此抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出m的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； 当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即，且时，解得：且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小； （3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴； （4）解：由题意得：，点P到y轴的距离为， ∴， 当时，则有， 当时，则有， ∴，， 由（2）可分：①当点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大， ∴最高点与最低点纵坐标的差为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ②当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小， ∴最高点与最低点纵坐标的差为， ∴， 当时，即，解得：（不符合题意，舍去）； 当时，即，解得：（不符合题意，舍去）； ③当点P、点Q都在对称轴的两侧时，即，此时y的最小值为， ∴最高点与最低点纵坐标的差为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：符合条件m的值为1或． 9.（2025·吉林松原·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)抛物线的解析式为________； (2)点E是直线下方的抛物线上的动点，直接写出的面积的最大值：______； (3)若此抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标； (4)以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，直接写出a的值． 【详解】（1）解： 抛物线经过点，． ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）解： 设直线为，过点，． ， 解得， 故直线的表达式为． 作轴，交于F，交x轴于H， 设E点坐标为，则F点坐标为． ． ， 当时，的面积的最大值：8， 故答案为：8． （3）解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为． 当时，抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于． 当时，，解得，． 综上所述点的坐标为或或． （4）解：由（3）知抛物线的顶点坐标为，以，，，四个点为顶点作矩形，， 当时，，如图， 此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当时，函数有最低点，最低点纵坐标为， 解得（舍去）或． 当时； 当时，如图 第一种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得(舍去)或． 当时； 第二种情况当离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为， 为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为， ，解得或（舍去） 当时； 当时，如图 结合函数图像可知，此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0， 当a为横坐标时，为内部最低点，纵坐标为， ，解得（舍去）或 ． 当时； 综上所述：当时，a的值为或或或 ． 10.（2025·吉林延吉·二模）已知抛物线，经过，点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． (1)求抛物线解析式； (2)连接，当与轴平行时，求点坐标； (3)抛物线上点之间的部分（包括点）为图象． 当时，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围． 以原点为中心，边长为构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于时，直接写出的值． 【详解】（1）∵抛物线，经过， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）由（）得：抛物线解析式为， ∵点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴当时，；当时，； ∴，， ∵与轴平行， ∴，解得：（舍去），， ∴； （3）由（）得：抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又由（）得：，， ∵当时，即， ∴或， 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为抛物线解析式顶点， ∴； 当时，即时，图象的最高点为，最低点为， ∴； ∴与之间的函数关系式； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时，解得：或， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：或， 如图，点，点在正方形的内部，当时，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，解得：（舍去）或； 如图，点，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标， ∴，无实数根； 如图，点，点在正方形的内部，即时， ∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为抛物线解析式顶点， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时， ∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标， ∴，解得：， 综上可知：的值为：或或或． 11.（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是___________； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连结，以为边构造矩形．当，且抛物线的顶点到所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 【详解】（1）解：把，两点的坐标代入中，得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：，对称轴为直线， 当时，函数在时，有最大值为2， 函数在时，有最小值为0， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：点，分3种情况进行讨论： ①当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得或（舍去）， ②当时， 同理可得， ， 不等式无解， ③当时，图象在顶点处最高，在处最低， ， ， 解得或（舍去）， 综上的取值范围是或； （4）解：由题意知轴，轴， 抛物线的顶点到所在直线的距离等于， 当时，与顶点重合，此时， 当时，点在点的左侧或右侧， ， 解得或（当时，点在点的左侧） 的值为1或0或． 12.（2025·吉林长春·二模）已知抛物线的顶点坐标为，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面中一点（、不重合），横坐标为，轴，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连结． (1)求、的值； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)延长至点使得，连结． ①若点在第四象限，且，则当抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为时，求的值． ②设直线与抛物线的交点为，点在抛物线对称轴右侧，连接，当点到直线的距离为点到直线距离的倍时，直接写出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵轴，点和点都在抛物线上， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得，； （3）解：①∵点在第四象限，且， ∴， ∴，， 当时，点在点右侧， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，， ∴抛物线与轴的交点， 当时， ∵抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为， ∴，即， 解得，（舍去）； 当时， ∵抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为， ∴，即， 解得（舍去）； 综上，； ②当时，如图， 显然点到直线的距离小于点到直线的距离，不符合题意，舍去； 当或时，点到直线的距离大于点到直线的距离，此时点在点左侧， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点分别为，， 当时，当点在点左侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∴， 解得或（舍去）； 当时，当点在点右侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，作轴于点， ∴， ∵点到直线的距离为点到直线距离的倍， ∴设，则， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当时，点、点都在点右侧，显然点到直线的距离小于点到直线的距离，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 13.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连结、、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）． ①若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值； ②连结、，若点M在对称轴右侧，当时，直接写出m的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C， ∴点M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为， ∴， ∴； （3）解：①设点A到的距离为h，点A到的距离为； 由（2）知，， ∴， ∴， 即； ∵抛物线在△ABC内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2， 即点M到的距离为2， ∴， 解得； 当点A在上方时，如图； ∵，轴， ∴点的纵坐标为， 由题意得， ∴， 整理得：， 解得：； 由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线， ∴； 当点A在下方时，则得点的纵坐标为， 同理得：， 整理得：， 解得：； 由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线， ∴； 综上，m的值为或； ②如图，取的中点H，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过M作于G，则点G是的中点，点G的横坐标为m； ∵ ∴由中心对称知，点B的横坐标为， 其纵坐标为： 同理，点C的横坐标为， ∴点H的横坐标为； ∴点P的横坐标为； ∵点P在抛物线上， ∴当时，， 即点P的坐标为； ∵轴， ∴点B，点P的纵坐标相同， 即， 整理得：， 解得：， 由于点M在抛物线对称轴的右侧，则， ∴． 14.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. (1)求此抛物线对应的函数关系式： (2)当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； (3)当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： (4)作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是， 根据对称轴的公式得：，即， 函数的关系式为． （2）和关于原点对称且在同一条直线上， 和在轴上， 点的坐标为， 将代入函数关系式得：，， 或 （3）如图，图一和图三之间是只有一个交点，图二这个时刻只有一个交点， 由题可知，，，函数与轴交点为，顶点为， 在轴左侧， ． 由图一得：， 解得（舍），． 由图二可得： 解得（舍），． 由图三得： 解得（舍），． 线段与此抛物线有且只有一个公共点时， m的取值范围为或． （4）有题可知，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，则两个交点的距离恰好是这条边的一半， 如图，为的中点，即恰好是抛物线与轴两个交点， ， 解得： ，． 是中点， ， 或即，， 如图与抛物线交于两个点、，即， 先计算、， 即， 由根与系数关系得： ， 整理得， 15.（2025·吉林长春·二模）抛物线经过点、． (1)求这条抛物线对应的函数解析式． (2)当时，有最大值为7，求的值． (3)点在抛物线上，点的横坐标为． ①抛物线与轴的交点为，过点作平行于轴，交轴于点，与此抛物线的另一交点为，连接，，点在轴下方，且，求的值． ②点也在抛物线上，其横坐标为，设此抛物线上、两点之间的图象为（含、两点）．若点与点关于原点成中心对称，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边与坐标轴分别平行，当矩形的边与图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （2）抛物线中二次项系数， 当时，函数的最小值为， 将代入 得，， 解得，， 当时，有最大值为7， （3）①如图，点的坐标为 轴，交抛物线于点， 点关于对称， ， ， ， ， 解得，或， 抛物线与轴的交点，且点在轴下方， ． ②抛物线，顶点坐标为 把代入得，， ， 在矩形中， 与点关于原点成中心对称， ， ， ， 当抛物线的顶点在上时，，解得 当点在上时，， 解得（不合题意，舍去） 当点在上时，， 解得，（不合题意，舍去） 当点在抛物线上时，， 解得，（不合题意，舍去） 当点在抛物线上时，， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，矩形的边与图象有1个公共点； 当时，矩形的边与图象有2个公共点； 当时，当矩形的边与图象只有一个公共点； 当时，矩形的边与图象无公共点； 当时，矩形的边与图象只有一个公共点； 当，矩形的边与图象只有两个公共点； 综 上所述，矩形的边与图象只有一个公共点时或或． 16.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)试说明线段的长度为4； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）． ①当时，求的值； ②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）证明：∵点在抛物线上，其横坐标是， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵作点关于点的对称点，作点关于点的对称点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， 即线段的长度为4； （3）解：①∵抛物线， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A和点B的纵坐标相同， ∴轴， ∵直线与抛物线（是常数）有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴关于的方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴； 设是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得：或； ②当时，此时， 当点向上运动时，； 当点向下运动时，． 连接交于点， 解方程得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵要保证P、Q都在线段上， ∴， 解得， 又∵点M不在坐标轴上， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点是的中点，轴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 同理可得点为的中点，点为的中点， ∴， ∴，解得或（舍去） ∴当时，有； 综上所述，． 17.（2025·吉林四平·二模）抛物线（为常数）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．点在该抛物线上且在轴上方，设其横坐标为．过点作轴的平行线与直线交于点两点的距离记为． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当随着的增大而减小时，直接写出的取值范围； (4)当时，直接写出的值． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：根据题意得， 轴， ， ， 当时，；当时，； （3）解：当时，，随的增大而减小； 当时，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 综上所述，当随的增大而减小时，或； （4）解：， 当时，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 解得或； 综上所述，当时，或或． 18.（2025·吉林松原·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； (3)过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可知： ， ∴，， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得：； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示： 不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 综上所述：当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 19.（2025·吉林松原·二模）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． （2）解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得，解得：， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， 当时，的面积最大． （3）解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． （4）解：①设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． ②由（1）得抛物线，由（4）①得， 如图所示： 点横坐标为，，且四边形是平行四边形， ，轴， 设，， 有两种情况，如下： I、由①可得，当时，或， ， ， 当时，解得或，皆舍去， 当时，解得或； II、当时，， ， ； 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 20.（2025·吉林延边·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是_________； (3)当的长为2时，求点A的坐标； (4)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，且当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是； （3）解：∵轴， ∴与对称轴垂直， ∴点B和点C关于抛物线对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵， ∴， 解得或， 在中，当时，，当时，， ∴点A的坐标为或； （4）解：如图所示，当点A在对称轴上时，则， ∴点A的坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点D在对称轴上时， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴ 综上所述，平行四边形的面积为或2． 21.（2025·吉林长春·二模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 22.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当点A恰好落在y轴上时，求△ABC的面积； (3)当该二次函数的图象在△ABC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当点O恰好落在△ABC内部时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ∴顶点为； （2）解：∵点A恰好落在y轴上， ∴根据A横坐标为0，点B横坐标为1 ∴， 如图所示， ∴ ∴， ∴； （3）解：当该二次函数的图象在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时， ∴， ∴， 解得，， ∴m的取俏范围是． （4） 解：当时，则，如图，过作轴的平行线，过作这条平行线的垂线，垂直分别为，则∠D=∠E=， ∵∠BAC=，AB=AC， ∴∠DAC=-∠BAC=∠ABE ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴， ∴设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为， 当直线过时， ∴， 解得：， 当在上时， ∴， 解得：， ∴当时，当点O恰好落在内部时， 此时， 当时，如图， 同理可得：当点O恰好落在内部时，； 综上：或 23.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，当点P不在x轴上时，作点P关于点O的对称点C，以为邻边构造．设抛物线的顶点为E． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点E恰好落在边上时，求m的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当点E在内部时，过点E作的平行线交于点F、交于点G，作的平行线交于点H、交于点K，当四边形与四边形的面积相等时，直接写出m的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线可得：，解得：． ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点为E的坐标为， 如图：∵点E恰好落在边上， ∴、B的纵坐标为， ∵点P关于点O的对称点C， ∴点P的纵坐标为4， ∵点P是该抛物线上一点，其横坐标为m， ∴，即，解得：或． 当时，点P的坐标为，点C的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点E恰好落在边上，即符合题意； 当时，点P的坐标为，点C的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点E恰好落不在边上，即符合题意； 综上，． （3）解：设点P的坐标为，则点C的坐标为，， ∵， ∴抛物线的顶点为E的坐标， ∴当时，y随x的增大而减小， 如图：当，点B、一定在第三象限，故线段一定在直线上方或重合， ∵E ，， ∴直线解析式为， 所以过点平行于直线解析式为， 联立直线、抛物线得 ，解得：，， 即：直线与抛物线的交点为，， 故由图可知点P在直线与直线之间的抛物线上， ∴，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 如图：当，点一定在第二象限，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 综上，当或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； （4）解：如图：设点P的坐标为，则点C的坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为 ∵且过， ∴设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：，即， ∴ ∵且过， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， ∵，四边形与四边形的面积相等且 ∴， ∴，解得：． 24.（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点，、，当点不在轴上时，连结，，，得到．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求证：是等腰直角三角形． (3)当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； (4)当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）证明：当时，，， ∵点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图，当在上时，    ∴，整理得：， 解得：， 如图，当直线经过顶点，    设解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵上， ∴，解得：， ∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且； （4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时， 如图，为中点时，    ∵，点， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时，    ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时，    ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 综上可知：的值为或或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$